-2026-2027学年苏科版九年级上册数学 期中考前模拟拔高卷一（第1章-3章）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷一（第1章-3章） 一、选择题（共16分） 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点在反比例函数图象上的条件转化为横纵坐标乘积为6，简化计算． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； A选项：点的横纵坐标乘积为，故点在图象上； B选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； C选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； D选项：点的横纵坐标乘积为，故此点不在图象上． 2．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，列方程与不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，且， 由得， 由得， ∴． 3．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用方程解的定义，将看作整体，与原方程中的取值对应求解． 【详解】解：∵方程的解为，， ∴，， 令，解得， 令，解得， 即方程的解为，． 4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 5．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． ∴函数图象位于第二、四象限，故D错误． ∵时，在每个象限内，随的增大而增大， ∴A中未限定象限，说法错误，故A错误． 当时，，随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴，故B错误． 当时，分两种情况： ①当时，随的增大而增大， ∵时，， ∴． ②当时，． 综上，或，故C正确． 6．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据弧相等得出弦相等，推出，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，将三等分，分点为、，连接、、、， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即， 即． 7．如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 二、填空题（共20分） 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式，以及二次项系数，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 整理得：，解得：， ∴的取值范围为且． 10．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 【答案】 【分析】三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如下图， 分别作出与的垂直平分线交于点E，则点E的横坐标为3，纵坐标为3， 外接圆的圆心坐标是． 11．若是方程的一个根，则式子的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为． 12．如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 【答案】 【分析】一季度是、、三个月利润之和，不是只有连续增长后的三月份利润，这是易错点．按“增长后量增长前量增长率)”依次写出每月利润，再求和列方程，解方程后根据实际意义舍去负根． 【详解】解：设、月份利润的月均增长率为． 由题意，各月利润分别为： 月份：万元； 月份：万元； 月份：万元． 一季度总利润为万元， 整理得： 因式分解： 解得，． ∵增长率为正数，，舍去． ∴． 该公司、月份利润的月均增长率为． 14．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 15．如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∵点A在反比例函数的图象上，且， ∴， 即， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴． 16．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 17．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 【答案】 【分析】连接，根据直角尺的性质得出，利用的圆周角所对的弦是直径判断为圆的直径，再根据勾股定理求出的长，进而求得半径； 【详解】解：连接， ∵工人师傅用直角尺作测量， ∴， ∵是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴圆形镜面的半径为． 18．如图，以等边三角形的边为直径画，分别交于点，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，由图可知阴影部分面积由、、扇形的面积组成，由已知条件可得、都是等边三角形，扇形的圆心角，即可分别算出三部分面积，然后相加即可． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由图可知：． 三、解答题（共64分） 19．用题后括号里指明的方法求下列方程的根． (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把右边的式子移到左边，使右边为，再提取公因式分解； （2）系数已确定，直接套求根公式，并注意把化简为． 【详解】（1）解：移项，得， ， 或， ，． （2）解：，，， ， ， ， ，． 20．某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答．本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． 【详解】（1）连接， ∵它的地基是半径为的正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为（米）． （2）如图，过点O作于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 21．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 22．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加． 据统计，某小区2017年底拥有家庭轿车81辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到144辆． (1)若该小区2017年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，估计该小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到多少辆？ (2)为缓解停车压力，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位数量的4.5倍，求该小区最少可建车位多少个？ 【答案】(1)256辆 (2)93个 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意列方程列出方程求解即可； （2）设构建室内车位x个，则露天车位为个，构建总车位数为w个，根据题意，，，求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：256 ， 解得：，（舍去）． ∴． 答：小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到256辆． （2）设构建室内车位x个，则露天车位为个，构建总车位数为w个，根据题意，，， ∴，根据一次函数的性质，w随x的增大而减小，当时，w有最小值， 此时， 答：至少建立93个车位． 23．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 24．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例．观测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)求出正比例函数和反比例函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； (2)研究表明，当空气中的每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)； (2)解：此次消毒有效；理由： 把分别代入到和中，解得：和 因1，所以此次消毒有效． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察图像只给出了坐标，可以考虑用待定系数法求函数的表达式，药物燃烧时是正比例函数，设表达式为，把代入求出k，在图像中读出x的取值范围；药物燃烧后图像是反比例函数，同样对待定系数法可确定反比例函数的解析式，并根据图像读出x的取值范围． （2）要判断消毒是否有效，就需要求出此次消毒持续的时间，把分别代入正比例函数和反比例函数求出开始和结束的时间，时间差即可消毒持续的时间，与10作比较判断是否有效． 【详解】（1）解：药物燃烧时，函数图像是第一段，是正比例函数， 设表达式为，把代入得：， 解得：， 所以函数表达式为， 药物燃烧后图像是反比例函数，设表达式为，把代入得：， 解得：， 所以药物燃烧后函数的表达式为； （2）略 25．在平面直角坐标系中，对于点，，当满足时，则称点P，Q互为“对消点”．如，互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，求a，b的数量关系． (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 【答案】(1)①或；②或 (2) 【分析】（1）①设，求出点A的纵坐标为3，然后根据“对消点”的定义得到，进而求解即可； ②根据“对消点”的定义得到，然后化简求解即可； （2）首先求出和的中点坐标，然后得到四边形为平行四边形，设A的“对消点”为，得到，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，设， ∵点A在函数图象上，且点A的横坐标为2， ∴代入得， ∴点A的纵坐标为3， ∵点A，B为函数图象上互为“对消点”． ∴， ∴，， ∴B的坐标为或； ②由题意，∵点A，B为函数图象上互为“对消点”，且A，B的横坐标分别为a，b， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：如图， 由题意，∵，，，， ∴的中点为，的中点为． ∴与互相平分． ∴四边形为平行四边形，且中心为． 设A的“对消点”为， ∴，即点P所在的直线为． 又∵A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分， ∴该直线过平行四边形的中心， ∴， ∴． 26．如图1，直角三角形中，，的对边记作a，的对边记作b，它的外接圆的半径是r． 【探究发现】小聪在探究中发现，，且这个比值和r之间存在着某种数量关系． （1）请你直接写出它们之间的数量关系： ； 【推广探究】小聪进一步研究发元，（1）中的结论不仅在直角三角形中成立，在任意三角形中均成立．并且还满足； （2）如图2．锐角三角形中，的对边是a，的对边是b，的对边是c，它的外接圆的半径是r，请利用图2证明（1）中的结论； 【尝试应用】（3）如图3，中，若，，，请利用以上结论直接写出，和外接圆半径r的长： ； ； ． 【答案】（1）； （2）证明：连接，并延长，交于点D，连接，如图所示： ∴是的直径，，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴； （3），， 【分析】本题主要考查圆周角的性质及三角函数，熟练掌握圆周角的性质及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得为直径，即，然后根据正弦的意义可知，然后问题可求解； （2）连接，并延长，交于点D，连接，由题意易得，，然后可得，同理可得，进而问题可求解； （3）过点A作于点D，由题意易得，，然后可得，进而根据三角函数及题中所给定义可进行求解． 【详解】解：（1）∵是的外接圆，且， ∴为直径，即， ∴， ∴； 故答案为； （2）略 （3）过点A作于点D，如图所示： ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴； 故答案为，，． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中考前模拟拔高卷一（第1章-3章） 一、选择题（共16分） 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（     ） A． B．0 C．1 D． 3．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 6．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 10．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______． 11．若是方程的一个根，则式子的值为________． 12．如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 14．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 15．如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______． 16．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 17．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 18．如图，以等边三角形的边为直径画，分别交于点，若，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（共64分） 19．用题后括号里指明的方法求下列方程的根． (1)（因式分解法） (2)（公式法） 20．某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． (1)求地基的周长是多少？ (2)求地基的面积是多少？ 21．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 22．随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加． 据统计，某小区2017年底拥有家庭轿车81辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到144辆． (1)若该小区2017年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，估计该小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到多少辆？ (2)为缓解停车压力，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位数量的4.5倍，求该小区最少可建车位多少个？ 23．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 24．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例．观测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)求出正比例函数和反比例函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； (2)研究表明，当空气中的每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 25．在平面直角坐标系中，对于点，，当满足时，则称点P，Q互为“对消点”．如，互为“对消点”． (1)已知函数图象上的点A，B互为“对消点”． ①若A的横坐标为2，求B的坐标； ②记A，B的横坐标分别为a，b，求a，b的数量关系． (2)已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若A的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求t的值． 26．如图1，直角三角形中，，的对边记作a，的对边记作b，它的外接圆的半径是r． 【探究发现】小聪在探究中发现，，且这个比值和r之间存在着某种数量关系． （1）请你直接写出它们之间的数量关系： ； 【推广探究】小聪进一步研究发元，（1）中的结论不仅在直角三角形中成立，在任意三角形中均成立．并且还满足； （2）如图2．锐角三角形中，的对边是a，的对边是b，的对边是c，它的外接圆的半径是r，请利用图2证明（1）中的结论； 【尝试应用】（3）如图3，中，若，，，请利用以上结论直接写出，和外接圆半径r的长： ； ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $