专题09 一元一次方程应用 重难点十三大题型突破 -2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题09 一元一次方程应用重难点十三大题型突破 【题型1 配套问题】 【题型2 工程问题】 【题型3 销售盈亏】 【题型4 比赛积分】 【题型5 方案选择】 【题型6 数字问题】 【题型7几何问题】 【题型8 动点问题】 【题型9 和差倍分问题】 【题型10 电费和水费问题】 【题型11 行程问题】 【题型12 古代问题】 【题型13 其他问题】 【题型1 配套问题】 1．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？ 2．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 3．某服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套学生服装．现计划用米长的这种布料生产学生服装，该服装厂分别用多少米长的布料生产上衣和裤子才能恰好配套？这些布料一共能生产多少套学生服装？ 4．炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 【题型2 工程问题】 5．满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 6．整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 7．思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 8．为了方便群众出行，甲、乙两个工程队共同承接了某地公路改造任务．若甲队单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成． (1)甲、乙两队合作需要几天完成？ (2)若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，还需要几天才能完成？ 【题型3 销售盈亏】 9．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 10．合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 11．某超市购进甲、乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒的数量比乙种水果礼盒的数量少15盒，甲种水果礼盒每盒的进价为80元，乙种水果礼盒每盒的进价为70元，该超市购进甲、乙两种水果礼盒共花费了6300元. (1)该超市购进甲、乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该超市将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒10盒和乙种水果礼盒20盒后，超市决定将剩余的甲种水果礼盒打八折出售，请问剩余的乙种水果礼盒打几折出售，才能使得两种水果礼盒全部销售完后所获得的总利润为2300元？ 12．某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 13．列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 【题型4 比赛积分】 14．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 15．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 16．某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 17．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 18．某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 【题型5 方案选择】 19．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 20．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 21．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 22．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 23．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【题型6 数字问题】 24．观察下面三行数： 2，，8，，32，，… 4，，10，，34，，… ，5，，17，，65，… (1)第一行的第7个数是______，第一行的第n个数是______； (2)设第一行第n个数为x，则第二行第n个数为______；第三行第n个数为______； (3)取出每行的第n个数，若这三个数的和等于，求这三个数； (4)第二行能否存在连续的两个数的和为390，若存在，求这二个数，若不存在，请说明理由. 25．【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 26．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 27．阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设， 则， 所以，所以， 所以，解得． (1)根据材料，判断是否为有理数：________（填“是”或“不是”）； (2)请仿照上述方法将化为分数形式． 【题型7几何问题】 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 29．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          30．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【题型8 动点问题】 31．，两点在数轴上的位置如图所示，其中为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且满足． (1)______；______； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（）． ①当时，的长为______，点表示的有理数为______； ②当时，求t的值； (3)在（2）的条件下，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动，那么当动点，相距2个单位长度时，试求的长． 32．【阅读理解】如图，点，点在数轴上分别表示有理数，．点到点之间的距离表示为，在数轴上，点到点之间的距离为． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ；数轴上有理数和对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ； (2)若，则 ； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则 ②若，则 ； 【拓展探究】 (4)如图，，分别为数轴上的两点，若此时点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁甲从点出发时，以个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 33．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 操作一：【画出数轴】 (1)画一条数轴（注意数轴的三要素）； 操作二：【折叠数轴】 (2)若你以原点为中心折叠数轴，则可使表示1的点与表示的点重合，同时表示的点与表示_________的点重合； (3)折叠数轴，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题： ①表示4的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点在点的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是_________； 操作三：【剪裁数轴】 (4)在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 34．已知a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，且． (1)直接写出______；______；线段长=______； (2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应的数； (3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，，求点Q运动的速度． 【题型9 和差倍分问题】 35．小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数． 36．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 37．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 38．饺子是中华民族的传统美食，包饺子也是一项非常有趣的活动，除夕当晚，李华一家就制作了美味的水饺和蒸饺（爸爸负责擀皮，李华和妈妈负责包制）．已知爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），所包的水饺数量是所包的蒸饺数量的2倍还多10个，请根据以上信息求出水饺和蒸饺各包了多少个？（用一元一次方程解答） 【题型10 电费和水费问题】 39．我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 40．为引导居民合理、节约用电，优化电力资源配置，浙江省对居民生活用电实行“阶梯电价”与“峰谷分时电价”相结合的政策．每日至为峰电时段，每日至次日为谷电时段．阶梯电价按用户“年用电量”累计计算，每年清零． 下面是阶梯电价的划分方式和收费标准：                        电价单位：元/千瓦时 阶梯分段标准 峰电电价 谷电电价 说明 第一阶梯全年用电量不超过2760千瓦时的部分 第二阶梯全年用电量超过2760千瓦时，但未超过4800千瓦时的部分 在第一阶梯电价基础上每千瓦时加收元 第三阶梯全年用电量超过4800千瓦时的部分 在第一阶梯电价基础上每千瓦时加收元 计费方式举例： 假设某居民家庭1月至7月累计用电总量为3000千瓦时，8月用电总量为600千瓦时，其中峰电用了400千瓦时，谷电用了200千瓦时，则8月电费为：元． 【思考】小王同学对年阶梯用电比较感兴趣，于是他爸爸妈妈统计了一下自家2025年1月至7月用电情况，给出了部分信息如下表所示（电量单位：千瓦时，电费精确到元）： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 总用电量 925 905 452 180 178 320 820 峰电 268 428 200 130 120 _________ 500 谷电 657 477 252 50 58 _________ 320 电费 _________ 年度累计用电总量 925 1830 2282 2462 2640 2960 3780 (1)请你计算小王同学家4月份的电费． (2)小王同学家6月份应缴纳电费元，小王同学百思不得其解．请你帮助小王同学计算6月份峰电电量和谷电电量分别为多少千瓦时？ 41．滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 42．根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 (1)小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． (2)小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 【题型11 行程问题】 43．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 45．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 46．列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲． (1)求甲的速度； (2)问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米． 47．如图1是某校根据场地实际，建成的米跑道，共有八条分道．每条分道宽米（分道线宽度忽略不计），由两条直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长米．第一分道（最内圈）弯道半径为米，各分道的长度计算算式依次如下（取）： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 … (1)如图1，请你计算跑道中第六分道的长度；（计算结果保留位小数） (2)学校还有一个米跑道，共有四条分道，道宽仍为米，直道长为米，其最内圈半径长为米．小海同学在数学课上设计该跑道比赛的起跑线和终点线，所画示意图如图2．为了公平比赛，请你通过计算说明小海的设计是否有误，如果有误请指出错误的数据，并进行修正；（计算结果保留位小数） (3)小海和小沧从米跑道的最内圈同一位置，同时同向出发，小海跑步的平均速度为米/秒，其刚跑完一圈时领先小沧米．假设他们跑步的平均速度不变，若小沧先跑秒后小海才出发，那么从小海起跑到两人第二次相遇前，经过多少秒两人相距米？ 【题型12 古代问题】 48．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 49．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 50．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 51．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【题型13 其他问题】 52．有大、小两瓶酒精溶液，质量比为，其中大瓶中溶液的浓度为．现在把这两瓶溶液混合起来，得到的酒精溶液浓度恰好是原来小瓶酒精溶液浓度的2倍，那么原来小瓶酒精溶液的浓度是百分之几? 53．材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 54．实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 55．综合与实践 全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 开私家车二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？ (2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量； (3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次方程应用重难点十三大题型突破 【题型1 配套问题】 【题型2 工程问题】 【题型3 销售盈亏】 【题型4 比赛积分】 【题型5 方案选择】 【题型6 数字问题】 【题型7几何问题】 【题型8 动点问题】 【题型9 和差倍分问题】 【题型10 电费和水费问题】 【题型11 行程问题】 【题型12 古代问题】 【题型13 其他问题】 【题型1 配套问题】 1．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？ 【答案】(1)用木材制作桌面，木材制作桌腿 (2)每张餐桌的标价为800元 【分析】（1）设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿．根据“木材可制作15个桌面，或者制作300条桌腿”建立方程求出其解即可； （2）可设每张餐桌的标价是y元，根据全部出售后总获利31500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿． 根据题意得：， 解得：， 则． 答：用15立方米做桌面，用3立方米做桌腿才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）解：（张）， 设每张餐桌的标价是y元， 根据题意得：， 解得：． 故每张餐桌的标价是800元． 2．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 3．某服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套学生服装．现计划用米长的这种布料生产学生服装，该服装厂分别用多少米长的布料生产上衣和裤子才能恰好配套？这些布料一共能生产多少套学生服装？ 【答案】米生产上衣，米生产裤子，可生产套． 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用． 设用米布料做上衣，则用米布料做裤子，根据题意，列出方程，解出，再根据裤子的布料为米，用裤子布料计算生产套数即可． 【详解】解：设用米布料做上衣，则用米布料做裤子， 根据题意得： ， 解得：， 裤子所用的布料为：（米）， 共能生产（套）． 答：米生产上衣，米生产裤子，可生产套． 4．炒米饼是阳江本地特色小吃，某食品厂赶制春节组合大礼包，每个礼包含3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼．已知工人每人每天手工制作咸香味炒米饼30盒或原味炒米饼40盒，工厂共安排20名工人生产这两种口味．怎样分配工人，才能让每天生产的炒米饼刚好配套成大礼包？（用方程解决问题） 【答案】安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． 设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套，即可建立方程． 【详解】解：设安排名工人生产咸香味炒米饼，则安排名工人生产原味炒米饼，根据题意，每个礼包需3盒咸香味炒米饼、1盒原味炒米饼，且刚好配套， ∴ 解得：， 则生产原味炒米饼的工人：（名） 答：安排16名工人生产咸香味炒米饼，4名工人生产原味炒米饼，可刚好配套． 【题型2 工程问题】 5．满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管小时可将全池水排完，单独打开乙管小时可将全池水排完，若两管同时打开小时后，关闭甲管让乙管排水小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 【答案】小时后可将余下水放完 【分析】设小时后可将余下水放完，根据工作效率工作时间工作总量，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设小时后可将余下水放完， 根据题意可列方程：， 解得：， 答：小时后可将余下水放完． 6．整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】先安排4人工作 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设先安排人工作， 由题意得，， ​， ， 解得． 答：先安排 4 人工作． 7．思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1) 思行中学一共有60间教室 (2) 甲工程队共粉刷16天 (3) 选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 8．为了方便群众出行，甲、乙两个工程队共同承接了某地公路改造任务．若甲队单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成． (1)甲、乙两队合作需要几天完成？ (2)若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，还需要几天才能完成？ 【答案】(1)12天 (2)9天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）设甲、乙两队合作需要天完成，将整个工程看作单位1，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设还需要天才能完成，根据甲队先做5天，剩下部分由两队合作，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作需要天完成，根据题意，得： ， 解得， 答：甲、乙两队合作需要12天完成． （2）解：设还需要天才能完成，根据题意，得： ， 解得：． 答：还需要9天才能完成． 【题型3 销售盈亏】 9．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是15只 【分析】（1）设该商店购进甲型号的节能灯只，则可以购进乙型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲型号的节能灯只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是15只． 10．合肥是全国综合性国家科学中心，科创文创产品深受青少年喜爱．合肥某科创文创店，用元购进、两款合肥本土科创联名文具，其中款文具的数量比款文具数量的一半多件．两款文具的进价和售价如下表： 科创联名文具 款 款 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该文创店购进、两款文具各多少件？ (2)该文创店将购进的、两款文具全部售完后，一共可获得多少利润？ 【答案】(1)购进款文具件，款文具件 (2)全部售完后一共可获得利润元 【分析】（1）先设购进款文具的数量为未知数，根据款文具的数量比款文具数量的一半多件表示出款文具的数量，再结合总进价为元，列一元一次方程求解出两款文具的数量； （2）根据单件利润售价进价分别求出两款文具的单件利润，再结合各自的数量，计算总利润． 【详解】（1）解：设购进款文具件，则购进款文具件． 可列方程：． 解得：． 款文具数量：（件） 答：购进款文具件，款文具件． （2）解： 款单件利润：元， 款单件利润：元 总利润：元 答：全部售完后一共可获得利润元． 11．某超市购进甲、乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒的数量比乙种水果礼盒的数量少15盒，甲种水果礼盒每盒的进价为80元，乙种水果礼盒每盒的进价为70元，该超市购进甲、乙两种水果礼盒共花费了6300元. (1)该超市购进甲、乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该超市将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒10盒和乙种水果礼盒20盒后，超市决定将剩余的甲种水果礼盒打八折出售，请问剩余的乙种水果礼盒打几折出售，才能使得两种水果礼盒全部销售完后所获得的总利润为2300元？ 【答案】(1)该超市购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒 (2)剩余的乙种水果礼盒打7折出售 【分析】（1）根据甲、乙两种礼盒的数量关系设未知数，结合总进价为6300元的条件列一元一次方程，求解得到两种礼盒的购进数量； （2）先计算出剩余的两种礼盒数量，设剩余乙礼盒的折扣为未知数，根据总利润为2300元的条件列方程，求解得到折扣数． 【详解】（1）解：设该超市购进甲种水果礼盒盒，则购进乙种水果礼盒盒， 根据题意得 解得， 则， 答：该超市购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒； （2）解：设剩余的乙种水果礼盒打折出售， 由题意得，剩余甲种水果礼盒数量为（盒），剩余乙种水果礼盒数量为（盒）， 根据总利润为2300元得 解得， 答：剩余的乙种水果礼盒打折出售． 12．某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 【答案】这批产品的销售款是2400000元． 【分析】设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨，根据“从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元”列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨， 公路运输费合计：元， 铁路运输费合计：元， 根据题意得， 解得， ∴产品的重量为吨， ∴这批产品的销售款是元， 答：这批产品的销售款是2400000元． 13．列方程解应用题：某超市第一次用 1 万元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的 2 倍．已知甲种商品的进价 30 元/件，售价 35 元/件；乙种商品的进价 40 元/件，售价 50 元/ 件． (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的 3 倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多 200 元，求第二次乙商品是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)一共可获得利润2000元 (2)第二次乙商品按原价打折销售 【分析】（1）设购进乙种商品x件，则购进甲商品件，根据题意，得，解方程求出甲、乙两种商品的件数，再根据两种商品的进价和售价即可计算出总利润． （2）设乙商品打x折，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进乙种商品x件，则购进甲商品件， 根据题意，得， 解得， 则， 故一共获利：（元）， 答：该超市第一次购进的甲、乙两种商品全部售完后一共可获得利润2000元． （2）解：设乙商品打x折， 根据题意，第二次购进乙种商品300件，购进甲商品200件， 根据题意，得， 解得， 答：第二次乙商品按原价打折销售． 【题型4 比赛积分】 14．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 15．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 16．某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 17．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 18．某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计： 队伍 胜场数 平场数 负场数 总积分 A队 3 1 1 15 B队 2 3 0 14 C队 2 0 3 11 D队 1 1 3 E队 2 3 0 14 F队 0 2 3 7 (1)胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分； (2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数； (3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场． 【答案】(1)4；2；1；9 (2)G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； (3)此次联赛共有8场平场 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分，再根据A队的积分情况建立方程求解即可； （2）根据表格中的数据和（1）所求可得A队6场比赛最少要积16分，那么G队的积分至少为17分，设G队胜了m场，则G队负了场，平了场，据此建立方程求解即可； （3）可求出一共要进行21场比赛，设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场，每个胜负场中两个球队共积5分，每个平场中两个球队共积4分，根据总积分为97分建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场得x分，则平一场得分，负一场得分， 由题意得，， 解得， ∴，， ∴胜一场得4分，平一场得2分，负一场得1分， ∴表格中D队的总积分是分； （2）解：∵A队比赛了5场已经积15分，而A队剩下的那场比赛最少还要积1分， ∴A队6场比赛最少要积16分， ∵G队要取得总分第一名（不存在并列情况）， ∴其他6个队伍的总积分要尽可能的低， ∵除去A，G两队外，其他5个队伍的积分都有可能低于16分， ∴G队的积分一定要超过A队的积分， ∴G队最少要积17分； 设G队胜了m场，则G队负了场，平了场， ∴G队积分， 当时，解得， 答：G队总分至少是17分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），此时G队的胜场数为3场； （3）解：∵比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场）， ∴每个队伍都要与其他6个队伍之间比赛一场， 又∵相同两个队之间的比赛只算一场， ∴一共要进行场比赛， 设这21场比赛中有a场胜负场（分出胜负），则有场平场， ∵球队胜一场积4分，负一场积1分，平一场积2分， ∴每个胜负场中的两个球队共积分，每个平场中的两个球队共积分， ∴， 解得， ∴， 答：此次联赛共有8场平场． 【题型5 方案选择】 19．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 20．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 21．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 22．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)110；； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； （2）解：若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 23．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 【题型6 数字问题】 24．观察下面三行数： 2，，8，，32，，… 4，，10，，34，，… ，5，，17，，65，… (1)第一行的第7个数是______，第一行的第n个数是______； (2)设第一行第n个数为x，则第二行第n个数为______；第三行第n个数为______； (3)取出每行的第n个数，若这三个数的和等于，求这三个数； (4)第二行能否存在连续的两个数的和为390，若存在，求这二个数，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)128， (2)， (3)这三个数分别为，， (4)解：不存在，理由如下： 设第一行连续的两个数为，，则第二行连续的两个数为， 由题意，，解得， ∵，， ∴不存在2的整数次幂的值为386， 即第二行不存在连续的二个数的和为390. 【分析】（1）根据给出的数据，找到规律进行作答即可； （2）观察可知第二行的数据是第一行的数据分别加2得到的，第三行的数据比第一行的数据的相反数大1，即可得出结果； （3）根据（2）的结果，列出方程进行求解即可； （4）根据题意列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：，，， ， ∴第一行的第7个数是，第一行的第n个数是； （2）解：观察可知，第二行的数据是第一行的数据分别加2得到的，第三行的数据比第一行的数据的相反数大1， 设第一行第n个数为x，则第二行第n个数为，第三行第n个数为； （3）解：由（2）和题意可得，， 解得， ∴，， 故这三个数分别为，，； （4）略 25．【探究发现】 “河图洛书”是中国优秀传统文化的瑰宝，可转化为如图1所示的“三阶幻方”，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”． 【尝试运用】 (1)在图2所示的“三阶幻方”中，的值为_____； (2)如果将9个连续的正整数填入一个“三阶幻方”，使得“幻方和”是2025，那么这9个数中最小的数是______； (3)如图3，现将“幻方”稍作改进变成“幻圆”，将，4，，8，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先找到中心数，计算“幻方和”，通过每行、每列、每条对角线上数字之和都相等的关系列等式求解即可． （2）设9个连续的正整数中最小的数为，按照“幻方和”的定义列方程求解即可． （3）由于“幻圆”的横、竖的和都相等，求得“幻圆和”后即可求出横、竖方向的和，进而可列方程求解及内正方形缺失的数，最后对剩余两个数进行判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，中心数为， “幻方和”为， 第二行：，解得第二行第一个数为； 第一列：，解得第一行第一个数为； 第一行：，解得； 第三列：，解得； 故． （2）解：设9个连续正整数中最小的数为， 则个连续正整数依次为 ，，，，，，，，， 总和为 ， 三阶幻方有行，行全部数字相加就是个数的总和， 个数总和为， 则有， 解得． （3）解： 个数的总和为， 且横、竖两组4个数的和相等， 每组的和为， 对横方向可列方程为： ， 解得， 已使用数字、、、、， 竖方向剩余数字为、、， 由于横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等， 已求得“幻圆”和为， 内正方形缺少的数为； 由于和外正方形上部这两个数同时位于竖向和外正方形上， 故或； 则 ， 或． 26．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 27．阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设， 则， 所以，所以， 所以，解得． (1)根据材料，判断是否为有理数：________（填“是”或“不是”）； (2)请仿照上述方法将化为分数形式． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了有理数的定义，一元一次方程的应用； （1）根据分数是有理数可得答案； （2）设，求出，然后计算即可． 【详解】（1）解：因为材料中将化为分数，分数是有理数， 所以是有理数， 故答案为：是； （2）设， 则， 所以 所以， 解得，即将化为分数形式为． 【题型7几何问题】 28．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 29．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 30．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 【题型8 动点问题】 31．，两点在数轴上的位置如图所示，其中为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且满足． (1)______；______； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（）． ①当时，的长为______，点表示的有理数为______； ②当时，求t的值； (3)在（2）的条件下，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动，那么当动点，相距2个单位长度时，试求的长． 【答案】(1)， (2)①，；②或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性及得，，解方程即可； （2）①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当时，计算出，及点表示的位置即可；②根据题意点可表示为，再根据列出方程，解方程即可； （3）点以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动，表示出点：；根据点，相距2个单位长度列出方程，解关于的一元一次方程，再代入即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，． （2）①∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， 当时，，点表示的有理数为:． ②根据题意点可表示为，则， ∴，即或， 解得或． （3）∵点以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动， ∴点可表示为， ∵点，相距2个单位长度， ∴， 即或， 解得或， ∵， ∴或． 32．【阅读理解】如图，点，点在数轴上分别表示有理数，．点到点之间的距离表示为，在数轴上，点到点之间的距离为． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ；数轴上有理数和对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ； (2)若，则 ； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则 ②若，则 ； 【拓展探究】 (4)如图，，分别为数轴上的两点，若此时点对应的数为，点对应的数为．若当电子蚂蚁甲从点出发时，以个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)或 (3)①6；②或6 (4)经过12秒或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点的距离为3，据此求解即可； （3）①根据点P的位置，化简绝对值即可得到答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可得到答案； （4）设运动时间为秒，点表示甲蚂蚁的位置，点表示乙蚂蚁的位置，表示出点和点表示的数，根据两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上有理数和对应的两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （3）解：①∵点在点，之间， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴，解得； 当时， ∵， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时， ∵， ∴，解得； 综上所述，或； （4）解：设运动时间为秒，点表示甲蚂蚁的位置，点表示乙蚂蚁的位置， 则点表示的数为，点表示的数为， ∵两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或； ∴经过12秒或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 33．综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 操作一：【画出数轴】 (1)画一条数轴（注意数轴的三要素）； 操作二：【折叠数轴】 (2)若你以原点为中心折叠数轴，则可使表示1的点与表示的点重合，同时表示的点与表示_________的点重合； (3)折叠数轴，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题： ①表示4的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为16（点在点的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是_________； 操作三：【剪裁数轴】 (4)在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 【答案】(1)一条数轴如图： (2)5 (3)①；②，6 (4)0或1或2 【分析】（1）数轴是规定了原点，正方向和单位长度的一条直线，即可作图； （2）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解； （3）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为，①求出表示4的点与表示的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式求值即可；②因为数轴上A，B两点之间的距离为，所以A，B到折痕的点距离为8，据此列式求解即可； （4）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当时，当时，当时，分别求出、、的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等， ∵表示1的点与表示的点重合， ∴折痕过原点， 则表示的点与表示5的点重合； （3）若使表示2的点与表示的点重合， 则说明折痕过表示的点， ①表示的点与表示4的点的距离为：， ， ∴表示4的点与表示的点重合； ②∵数轴上A，B两点之间的距离为， ∴A，B到折痕处的距离为8， ∵点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为：， 点B表示的数为：； （4）解：8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，分以下几种情况讨论： 如图1，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：； 如图2，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是0或1或2． 34．已知a、b两数在数轴上所对应的点为A、B，且． (1)直接写出______；______；线段长=______； (2)数轴上在B点右边有一点C，点C到A、B两点的距离和为13，求点C在数轴上所对应的数； (3)若P、Q两点分别从A、B出发，同时沿数轴正方向运动，P点的速度是Q点速度的2倍，且3秒后，，求点Q运动的速度． 【答案】(1)，； (2) (3)点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒 【分析】（1）根据绝对值的性质及方程求解即可； （2）设点C对应的数为x，，然后列出方程求解即可； （3）设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒．得出3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：，确定，，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； ∴线段； （2）解：设点C对应的数为x，， ∴ ； ∴点C在数轴上所对应的数为6； （3）解：设Q运动速度为v单位/秒，则P速度为单位/秒． 3秒后，P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ， 解得 ②当时， ， 解得 答：点Q运动的速度为单位/秒或单位/秒． 【题型9 和差倍分问题】 35．小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数． 【答案】7人 【分析】设共有x个小朋友，则苹果有个，根据题意列方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设共有个小朋友， 根据题意，得． 解得． 答：小朋友的人数为7人． 36．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 【答案】(1)两支蜡烛原来的高度为． (2)一共持续了小时 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出代数式是关键． （1）蜡烛原来的高度为，根据题意可列方程，求解即可； （2）根据两支蜡烛的燃烧速度计算出相差所需的时间，再计算出两支蜡烛剩余的燃烧时间，最后求和即可． 【详解】（1）解：设蜡烛原来的高度为，则2小时后，粗蜡烛的高度为，细蜡烛的高度为， 根据题意，可列方程， 解得． 答：两支蜡烛原来的高度为． （2）解：两支蜡烛每小时相差， ∴相差时，经过的时间为（小时）， 则细蜡烛还可以燃烧（小时），粗蜡烛还可以燃烧（小时）， ①当先熄灭粗蜡烛时， 一共持续（小时）； ②当先熄灭细蜡烛时， 一共持续（小时）． 综上所述，从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了小时． 答：一共持续了小时． 37．在2026年元旦文艺汇演中，我校信息社团打造的校园AI数字人“小七”惊艳亮相，其炫酷造型与灵活交互瞬间点燃现场氛围，赢得阵阵喝彩．当天“小七”的信息搜索量，比社团成员小宇科普分享搜索量的5倍少20次；若小宇的搜索量增加40次，小七的搜索量减少10次，此时小七的搜索量恰好是小宇新搜索量的4倍，求小宇的搜索量和小七的搜索量各是多少次？ 【答案】小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次，分析变化后的搜索量，根据“变化后小七的搜索量是小宇搜索量的4倍”，可列出方程，最后求解方程并求得小宇和小七的搜索量． 【详解】解：设小宇原本的搜索量为x次，则小七的搜索量为次， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴小七的搜索量为：（次） 即小宇原本的搜索量是190次，小七的搜索量是930次． 38．饺子是中华民族的传统美食，包饺子也是一项非常有趣的活动，除夕当晚，李华一家就制作了美味的水饺和蒸饺（爸爸负责擀皮，李华和妈妈负责包制）．已知爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），所包的水饺数量是所包的蒸饺数量的2倍还多10个，请根据以上信息求出水饺和蒸饺各包了多少个？（用一元一次方程解答） 【答案】蒸饺包了26个，水饺包了62个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设蒸饺包了个，得到水饺包了个，根据爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），列出方程进行求解即可． 【详解】解：设蒸饺包了个，则水饺包了个， 由题意得， 解得， 水饺， 答：蒸饺包了26个，水饺包了62个． 【题型10 电费和水费问题】 39．我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 40．为引导居民合理、节约用电，优化电力资源配置，浙江省对居民生活用电实行“阶梯电价”与“峰谷分时电价”相结合的政策．每日至为峰电时段，每日至次日为谷电时段．阶梯电价按用户“年用电量”累计计算，每年清零． 下面是阶梯电价的划分方式和收费标准：                        电价单位：元/千瓦时 阶梯分段标准 峰电电价 谷电电价 说明 第一阶梯全年用电量不超过2760千瓦时的部分 第二阶梯全年用电量超过2760千瓦时，但未超过4800千瓦时的部分 在第一阶梯电价基础上每千瓦时加收元 第三阶梯全年用电量超过4800千瓦时的部分 在第一阶梯电价基础上每千瓦时加收元 计费方式举例： 假设某居民家庭1月至7月累计用电总量为3000千瓦时，8月用电总量为600千瓦时，其中峰电用了400千瓦时，谷电用了200千瓦时，则8月电费为：元． 【思考】小王同学对年阶梯用电比较感兴趣，于是他爸爸妈妈统计了一下自家2025年1月至7月用电情况，给出了部分信息如下表所示（电量单位：千瓦时，电费精确到元）： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 总用电量 925 905 452 180 178 320 820 峰电 268 428 200 130 120 _________ 500 谷电 657 477 252 50 58 _________ 320 电费 _________ 年度累计用电总量 925 1830 2282 2462 2640 2960 3780 (1)请你计算小王同学家4月份的电费． (2)小王同学家6月份应缴纳电费元，小王同学百思不得其解．请你帮助小王同学计算6月份峰电电量和谷电电量分别为多少千瓦时？ 【答案】(1)元 (2)小王同学家6月份峰电电量是200千瓦时，谷电电量是120千瓦时 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）首先判断出4月份整月电费均在第一阶梯，再根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）设小王家6月份峰电电量为千瓦时，谷电电量为千瓦时，求出320千瓦时中120千瓦时是按第一阶梯收费的，200千瓦时是按第二阶梯收费，根据收费标准列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴4月份整月电费均在第一阶梯， （元） 答：小王同学家4月份的电费是元 （2）解：设小王家6月份峰电电量为千瓦时，谷电电量为千瓦时， ∵千瓦时， ∴320千瓦时中120千瓦时是按第一阶梯收费的，200千瓦时是按第二阶梯收费． 由题意得：， 解得：， （千瓦时） 答：小王同学家6月份峰电电量是200千瓦时，谷电电量是120千瓦时． 41．滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式． 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟． (1)李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ (2)6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】(1)14.95元 (2)4.3千米 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理解滴滴网约车各费用项计价方式是解题的关键． （1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可． （２）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程，解方程，即可解答． 【详解】（1）解：（千米） 4.2千米千米 （元） 答：李叔叔需要支付14.95元． （2）解：设李叔叔本次里程最长x千米． ， 解得， 答：李叔叔本次里程最长4.3千米． 42．根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 (1)小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． (2)小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 【答案】(1)元 (2)小刚家实际用水量为吨 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握等量关系． （1）根据表格中的信息用a表示出全年水费总额即可； （2）先求出小刚家用水量为第二阶梯，设小刚家实际用水量为x吨，根据小刚家2024年水费总额为867元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小华全年水费总额为： 元； （2）解：∵小刚家庭人口为6人， ∴年用水量基数第一阶梯调整为不超过吨，第二阶梯调整为超过吨不超过吨的部分，第三阶梯调整为超过吨的部分， ∵（元）， （元）， 又∵， ∴小刚家用水量为第二阶梯， 设小刚家实际用水量为x吨，根据题意得： ， 解得：， 答：小刚家实际用水量为吨． 【题型11 行程问题】 43．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 45．下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1) 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 46．列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲． (1)求甲的速度； (2)问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米． 【答案】(1)甲的速度为每小时10千米 (2)乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米 【分析】（1）设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时，根据题意列方程解决即可； （2）设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时，分两种情况：相遇前或相遇后，分别列方程解决即可； 【详解】（1）解：设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时， 由题意可列方程：， 解得：， 所以，甲速度为10千米/时； （2）解：由（1）可知，甲速度为10千米/小时，则乙速度为千米/小时， 乙到达B地所用时间小时， 设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时， 相遇前：甲比乙多行驶6千米，可列方程， 解得：，满足题意， 相遇后：乙比甲多行驶6千米，可列方程， 解得，满足题意， 综上所述，乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙相距6千米． 47．如图1是某校根据场地实际，建成的米跑道，共有八条分道．每条分道宽米（分道线宽度忽略不计），由两条直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长米．第一分道（最内圈）弯道半径为米，各分道的长度计算算式依次如下（取）： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 … (1)如图1，请你计算跑道中第六分道的长度；（计算结果保留位小数） (2)学校还有一个米跑道，共有四条分道，道宽仍为米，直道长为米，其最内圈半径长为米．小海同学在数学课上设计该跑道比赛的起跑线和终点线，所画示意图如图2．为了公平比赛，请你通过计算说明小海的设计是否有误，如果有误请指出错误的数据，并进行修正；（计算结果保留位小数） (3)小海和小沧从米跑道的最内圈同一位置，同时同向出发，小海跑步的平均速度为米/秒，其刚跑完一圈时领先小沧米．假设他们跑步的平均速度不变，若小沧先跑秒后小海才出发，那么从小海起跑到两人第二次相遇前，经过多少秒两人相距米？ 【答案】(1)米 (2)第二分道错误，应为：米 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了有理数的混合运算、代数式求值、一元一次方程与实际问题，关键是读懂题意列出正确的代数式或方程求解： （1）根据跑道的长度等于一个圆的周长与两个直道长度之和进行计算即可； （2）根据设计数据算出每一赛道与第一赛道的长度差，将它们与图中标示的数据对照即可得出结论； （3）先列方程求出小沧的速度，然后分两种情况列方程讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得： （米）； （2）答：第二分道有误，理由如下： ∵小海设计的比赛跑道： 第分道长度：， 第一分道长度：， ∴第分道比第一分道前移：， 当时，前移：， 当时，前移：， 当时，前移：， ∴第二分道错误，应为：米； （3）解：设小沧的速度为米/秒， ， 解得：， 设从小海起跑到两人第二次相遇前，经过秒两人相距米， 若在第一次相遇前：， 解得：； 若在第一次相遇后第二次相遇前，小海在小沧前：， 解得：； ∵， 解得：， ∴第一次相遇的时间为：秒， 若在第一次相遇后第二次相遇前，小海在小沧后： 设第一次相遇后又经过秒，小海在小沧后相距米， ， 解得：，此时； 综上：秒或秒或秒； 答：从小海起跑到两人第二次相遇前，经过秒或秒或秒两人相距米． 【题型12 古代问题】 48．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 49．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 50．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【答案】 和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为，总碗数为，列出方程求解，再计算碗的数量即可． 【详解】解：设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为， 由题意得， 方程两边同乘，得， 即， 解得， 则饭碗数为（只）， 汤碗数为（只）， 答：和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 51．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1)依题意， 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 ∴， ∴， 解得， ， ∴有个人，有两银子； (2)设有两银子， 根据题意得， ∴， ∴， ∴， 则， ∴有个人，有两银子． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型13 其他问题】 52．有大、小两瓶酒精溶液，质量比为，其中大瓶中溶液的浓度为．现在把这两瓶溶液混合起来，得到的酒精溶液浓度恰好是原来小瓶酒精溶液浓度的2倍，那么原来小瓶酒精溶液的浓度是百分之几? 【答案】原来小瓶酒精溶液的浓度是 【分析】令大小瓶的质量分别为3、2，设原来小瓶酒精溶液的浓度为，那么根据溶液的浓度=，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设原来小瓶酒精溶液的浓度是， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：原来小瓶酒精溶液的浓度是． 53．材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 54．实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意先得出水杯中温水的体积是 ，进一步可得开水的体积； （2）根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列方程求解即可； （3）根据题意先得出的边界值，再根据越大水温越低，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，温水的流速为，接收温水的时间为， 水杯中温水的体积是， 开水的体积是． （2）解：根据题意可得，开水降低的温度为，温水升高的温度为． 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度， ， 解得，． （3）解：当混合温度为时， 根据题意可得，， 解得，； 由（2）可知，当混合温度为时，， 又饮水适宜温度是（包括与），且越大水温越低， ． 答：的取值范围是． 55．综合与实践 全球气候变暖，与二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．2020年，我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳排放量的一种生活方式． 排碳计算公式： 开私家车二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 (1)小阳家本月用水12吨，小阳家本月家用自来水的碳排放量是多少？ (2)若小阳家开私家车的耗油量比天然气使用量的5倍多，且开私家车的碳排放量和家用天然气的碳排放量共，求小阳家本月私家车的耗油量和天然气使用量； (3)综合以上信息，若小阳家计划下个月绿色出行，将私家车耗油量、天然气使用量每一项都比本月的用量减少了，家用自来水用量减少，请你计算一下小阳家下个月这几项总的碳排放量是多少？ 【答案】(1) (2)私家车耗油量为，天然气使用量为 (3) 【分析】（1）直接代入数值计算自来水碳排放量； （2）设未知数，根据总碳排放量的数量关系列一元一次方程，求解得到两种用量； （3）先根据减少的百分比分别求出下个月各项用量，再代入公式计算总碳排放量即可． 【详解】（1）解：已知家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量，小阳家本月用水吨， ， 答：小阳家本月家用自来水的碳排放量是； （2）解：设小阳家本月天然气使用量为，则私家车耗油量为． 根据题意，开私家车碳排放量加天然气碳排放量等于， 可得：， 解得： 则私家车耗油量为． 答：小阳家本月私家车耗油量为，天然气使用量为； （3）解：私家车耗油量：， 天然气使用量：， 自来水使用量：， 总碳排放量为三种排放量相加：， 答：小阳家下个月这几项总的碳排放量是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $