精品解析：四川南充市2027届高三上学期高考适应性考试（一诊）数学试题

南充市高2027届高考适应性考试（一诊） 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 4. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 3 4 5 6 2.5 3 4 由最小二乘法得到的回归直线方程是，则实数（ ） A. 4.3 B. 4.4 C. 4.5 D. 4.6 6. 设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，的定义域均为，满足，且为奇函数，若，则（ ） A. -2026 B. 0 C. 2026 D. 4052 8. 已知正方形的边长为1，点，分别在边与上（包含端点），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆截得弦长的最小值为 C. 若是圆上的点，则的最大值为 D. 当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 10. 已知正方体的棱长为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积恒为定值 B. 存在，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形不恒为梯形 D. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有且只有1个零点 B. 若，则 C. 若恰有2个零点，，则 D. 若恰有3个极值点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为________． 13. 已知，则______． 14. 已知向量满足，，且（且），若对任意，都有．则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解全校学生体育锻炼情况，随机抽取200名学生进行调查，得到每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否与性别有关； （2）从“每天体育锻炼时间低于1 h”的学生中按性别采用分层随机抽样，抽取8名学生进行体能测试，再从这8人中随机抽取3人进行进一步调查，记这3名学生中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． （1）证明：； （2）点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）当时． （ⅰ）若角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 18. 已知椭圆 ：的离心率为，短半轴长为 ． （1）求 的方程； （2）设直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ，点 为坐标原点，且，当 的面积最大时，求点 的轨迹方程． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高2027届高考适应性考试（一诊） 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再求出模. 【详解】因为，所以． 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据集合的描述求出集合中的全部元素，再按交集定义找出同时属于集合的元素． 【详解】由，且，得可能取值为， 所以可能取值为，即， 所以． 3. 等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 14 B. 24 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，，解得， 则. 4. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为是两条不同的直线，是三个不同的平面， 所以逐一分析各个选项如下： 对于选项A：若，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，则的位置关系有平行或异面，故D错误． 5. 已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 3 4 5 6 2.5 3 4 由最小二乘法得到的回归直线方程是，则实数（ ） A. 4.3 B. 4.4 C. 4.5 D. 4.6 【答案】C 【解析】 【分析】回归直线方程经过样本中心，求出样本中心即可求解. 【详解】, 代入回归直线方程，得 . 6. 设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，因为，所以，得，则， 则直线的斜率为， 故的方程为，即 7. 已知函数，的定义域均为，满足，且为奇函数，若，则（ ） A. -2026 B. 0 C. 2026 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出为的一个周期，再结合得出即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，即， 因为，所以，即， 则，则，则为的一个周期， 因为，，所以； 则. 8. 已知正方形的边长为1，点，分别在边与上（包含端点），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用旋转全等得到半角模型核心关系式，设，借助直角三角形勾股定理建立的约束等式；再把目标式转化为，利用平方和公式变形为关于的函数，结合基本不等式求出的取值范围，最后代入求目标表达式的最小值即可. 【详解】设 ，， 由正方形半角模型（旋转）：， 为 ， ∴， ， 整理得：， 化简得：， ， 由 ，令 ， ， 由基本不等式得：， ， ， 解得：（负根舍去），当且仅当 时取等号， 把 代入： ， 的最小值为 . 当，满足，，落在范围内，符合题意. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆截得弦长的最小值为 C. 若是圆上的点，则的最大值为 D. 当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查直线过定点、直线与圆相交的弦长最值、圆上点的线性表达式最值、圆上点到直线距离为定值的点的个数问题， 结合直线与圆的位置关系逐一分析选项即可. 【详解】选项A：将直线的方程整理为，对任意，当，时等式恒成立，故直线过定点，A正确. 选项B：由题知，圆圆心为，半径，定点到圆心的距离为， 直线与圆相交时弦长为，其中为圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，最大，弦长最小，此时. 故最小弦长为，不是，B错误. 选项C：如图所示； 设，令，，其中为直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值，此时圆心到直线的距离为，， ，最大值为，C正确. 选项D：如图所示； 当时，直线方程为，圆心到直线的距离，，， 故仅靠近圆心的平行于且距离为的直线与圆相交的个交点满足到直线距离为1，不是4个，D错误. 10. 已知正方体的棱长为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积恒为定值 B. 存在，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形不恒为梯形 D. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量运算、体积公式、截面性质、外接球半径计算分别判断各选项. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知，，，，由，可设点的坐标为，. 选项A：过点作的垂线交于点，由题可得平面，且， 为等腰直角三角形，， ，三棱锥的体积恒为定值，A正确. 选项B：，，， ，，B正确. 选项C：如图所示； 在上取点，使得，，在中，， ，且， 又与平行且相等，四边形为平行四边形，与平行且相等， 且，平面， 平面截正方体所得的截面图形恒为梯形，C错误. 选项D：如图所示； 由，，设球心的坐标为， ，，， 球心的坐标为，半径， .D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有且只有1个零点 B. 若，则 C. 若恰有2个零点，，则 D. 若恰有3个极值点，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A；将代入，构造函数研究单调性与最值，判断零点个数；对于B：恒成立，分离参数构造函数求最小值，确定范围；对于C：零点条件同构得到；对于D：极值点为和两根，要证即证，构造偏移函数证明. 【详解】函数的定义域为，， 对于A：当时，， 等价于，即， 设，， 令，， 当时，；当时，， ，当且仅当取等号， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ，当且仅当取等号， 故有且只有个零点，A正确； 对于B：对任意恒成立，即， 由，分离参数得， 设，由A可知， 变形得，当且仅当时取等号，，所以，B正确； 对于C：， 记，零点满足， ，， 在单调递减；在单调递增， ；在单调递减，在单调递增， 不妨设，该零点情形满足， ，因此， 构造辅助函数：， ，在单调递增，， 即，代入，， 结合，得， 又，在单调递增， ，C错误； 对于D：，极值点满足或， 恰有个极值点，说明方程有两个不等正根， 且，第三个极值点为， 由，得， 设，，在单调递减，单调递增， 若，，则， 构造函数，， ， 令，在上成立，在单调递减， ，故， ，又，则，在单调递减， ，即， ，在单调递增， 所以，即， 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可得为双曲线的标准方程，故， 所以双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，可得，， ， ， 所以 . 14. 已知向量满足，，且（且），若对任意，都有．则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由递推公式解特征方程，得到数列通项的线性组合形式；再将表示为与的线性组合，利用恒成立的条件求出，最后计算． 【详解】因为，利用特征方程解可知， 解得或， 所以， 联立方程组法消掉得： ， 设，则， 所以，所以， 所以， 设， 因为，， 所以， 所以的对称轴为， 又因为在前后振荡， 若对称轴在的左侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的右侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 所以对称轴在的左侧不成立； 若对称轴在的右侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的左侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 所以对称轴在的右侧不成立； 所以对称轴只能是，即， 解得，即， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解全校学生体育锻炼情况，随机抽取200名学生进行调查，得到每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否与性别有关； （2）从“每天体育锻炼时间低于1 h”的学生中按性别采用分层随机抽样，抽取8名学生进行体能测试，再从这8人中随机抽取3人进行进一步调查，记这3名学生中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 认为该校学生每天体育锻炼时间与性别有关； （2） X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）代入列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较得出独立性检验结论； （2） 先按分层抽样规则确定抽取样本的男女生人数，再根据超几何分布的概率公式计算分布列及期望． 【小问1详解】  提出零假设：该校学生每天体育锻炼时间与性别无关， 由列联表得，，，，， 代入卡方公式得  ， 已知对应的临界值为，由于， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生每天体育锻炼时间与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.01； 【小问2详解】  “每天体育锻炼时间低于1h”的学生共80人，其中男生30人、女生50人， 分层抽样抽取8人的抽样比为，故抽取男生人，女生人， 随机变量的所有可能取值为， ，  ， ， ， 因此的分布列如下， 0 1 2 3 数学期望 16. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为4的等边三角形，平面平面． （1）证明：； （2）点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）取中点为，连接， 是边长为4的等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 又，，是平行四边形，，又， ，又平面且， 平面，又平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直定理和性质即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，由求出点坐标，由二面角的向量公式即可求出余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，， 因，所以，所以， 由题意可知，平面平面，故平面的法向量为， 向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 即， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）当时． （ⅰ）若角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）的面积为；（ⅱ）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，由，求得，结合余弦定理即可求得，再利用面积公式即可求解； （ⅱ）由向量的数量积的运算公式和正弦定理得到，又由，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以， 【小问2详解】 （ⅰ）因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积为； （ⅱ）由向量的数量积的运算公式，可得， 因为，所以， 由正弦定理可知，则， 所以， 因为且，所以， 所以 ， 因为，可得，所以， 所以，即的取值范围为． 18. 已知椭圆 ：的离心率为，短半轴长为 ． （1）求 的方程； （2）设直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ，点 为坐标原点，且，当 的面积最大时，求点 的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率与短半轴列方程即可求出椭圆方程， （2）联立直线和椭圆，借助韦达定理得到弦中点坐标，写出 的面积表达式，用基本不等式确定面积最大时 满足的关系式，再通过中点坐标关系消去参数 ，得到中点 的轨迹方程． 【小问1详解】 由题意得，解得 ， ，， 所以椭圆 的方程为 ； 【小问2详解】 由，得 是 的中点， 设，，， 由，得 ， 由直线 与椭圆 交于不同两点，得 ， 化简得，，， 所以，， ， 原点 到直线 的距离， 所以， 令 ，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，即， 因为，， 所以 ，即， 由，得，代入，得，即， 将，代入，得， 化简得 ，所以点 的轨迹方程为． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （3）已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 【答案】（1）切线方程为：； （2）实数的取值范围为； （3）证明：由题意得：， 极值点满足，即， 将代入，等式成立，所以是方程的根， 结合，得， 令，，则极值点满足， ， ， 设， ，在单调递增，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以在上仅有一个根，所以， 需证， 代入，，可得：， 又，所以只需证：，， 令，， 则， 分母，只需证分子小于零，设， 则，， 设，则， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以， 所以在上恒成立，故在上单调递增，故， 故在单调递减，故，故在上单调递增， 所以，故在上单调递减，， 故即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，代入算出在处的导数（切线斜率）与函数值，直接写出水平切线方程，属于基础导数切线问题； （2）利用局部保号性可求参数的取值范围； （3）先观察得到是极值点方程的根，利用构造函数的对偶对称性得到两根互为倒数，换元后多次求导逐层分析单调性，证明目标不等式. 【小问1详解】 已知，定义域为， ， 当时，， ， 切点为，斜率为， 所以切线方程为. 【小问2详解】 已知在单调递增，则，故， 设，则， 若即，则存在，使得，， 故，总有，矛盾； 故，此时， 设，则， 故在为增函数，故，故此时恒成立， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $