精品解析：四川省射洪中学校2026-2027学年高三上学期第一次模拟数学试题（普通班）

射洪中学高2024级高三普通班上期第一次模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 （选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 7. 已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 11. 如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（ ） A. 点到直线的距离为定值 B. 的最小值为 C. D. 有最大值 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为第二象限角，，则______. 13. 在的展开式中，含项的系数是______. 14. 已知函数，若函数为偶函数，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，其最小正周期为． （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）将函数图象向右平移个单位得到的图象，求函数的最大值并求此时的取值集合． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 17. 某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，记，求的分布列及期望． 18. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，且． （1）求角； （2）为上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高三普通班上期第一次模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 （选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知集合，，所以， 所以. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，的虚部为. 3. 已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，不共线，所以若向量与共线，则它们对应系数成比例，即，即. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】由已知得，解得且， 即函数定义域为. 故选：C. 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 6. 咸宁马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先选后排可得答案. 【详解】将5名志愿者分配到4个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有种. 故选：C. 7. 已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有三个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 11. 如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（ ） A. 点到直线的距离为定值 B. 的最小值为 C. D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建系，设，根据重心坐标公式判断A；利用坐标计算模长，再结合基本不等式求最值判断B；利用极化恒等式判断C；利用坐标计算，再结合不等式求最值判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以， 因为为的重心，所以，故点到直线的距离为定值， 故A正确； 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为，则B错误； 设交于点，所以为线段的中点， 则， 同理， 所以，故C正确； 因为， 所以 ，等号成立时， 则有最大值，故D正确. 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为第二象限角，，则______. 【答案】－ 【解析】 【详解】因为为第二象限角，， 所以， 所以. 13. 在的展开式中，含项的系数是______. 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是. 故答案为：160 14. 已知函数，若函数为偶函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，通过已知条件得出为奇函数，再根据即可求出. 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 为奇函数，即， ， 即， 即， ，解得，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，其最小正周期为． （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）将函数图象向右平移个单位得到的图象，求函数的最大值并求此时的取值集合． 【答案】（1），，， （2）， . 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期的公式求出，利用正弦函数的图像和性质求解； （2）利用平移求出，利用正弦函数的图像和性质求解. 【小问1详解】 由题意知最小正周期为，则， 单调递减区间满足：，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 【小问2详解】 将函数图象向右平移个单位得到， ，，， ，， ，此时，， 解得，， 则函数的最大值为，此时的取值集合为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 17. 某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，记，求的分布列及期望． 【答案】（1）65 （2） 3 1 -1 期望为1 【解析】 【分析】（1）先判断出样本的中位数落在内，再根据数据特征得到中位数为65； （2）求出分层抽样抽取学生6人中，和的人数，从而得到的可能取值为，求出相应的概率，得到分布列和数学期望值. 【小问1详解】 ，， 故样本的中位数落在内， 又，故中位数为； 【小问2详解】 和的人数比为， 分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为3,2,1，对应的的取值为， 所以的可能取值为， ，，， 故分布列为 3 1 -1 期望为. 18. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，且． （1）求角； （2）为上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及同角三角函数关系求解即可. （2）根据平面向量的线性运算得到， 再根据数量积运算律及基本不等式得到，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及，得， 因为，所以，则. 若，则，不满足条件，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由，得，，， 在中，由正弦定理得，， 在中， 由正弦定理得， 所以． （ii）由得，，则， 因此， 即，当且仅当时取等号， 则， 所以， 故当，时，的面积取得最大值． 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 【答案】（1）; （2）（i）证明：，其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）证明：由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后分类讨论时，是否恒成立，即可求解； （2）（i）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决； （ii）由（i）知成立，只要证出即可，构造新函数，通过函数的单调性证明成立，从而证得不等式. 【小问1详解】 ，求导可得， 观察可知在上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $