江苏省徐州市第三中学等校2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题

2026一2027学年度第一次校标考试 高一数学教师用卷 满分150分考试时间120分钟 题号 答案 1 A 2 A 3 D 4 D 5 C A D P C 9 ACD 10 ABD 11 ACD 12 4 13 (3u2 14 -1,0,1 评分通则 单选每题5分，填空每题5分。多选每题6分：全对6分，有错0分，部分选对每 个正确选项2分。 解答题按证据点累计评分；括号内为增量分，标明“本问”为小计。合法等价解法同 等给分；同一错误不重复扣分，后续方法分依实际推理证据酌给 15.(本题满分15分)计算： (1)厘+27；(5分) 26 (2)1e2-oe23+1og3g;(5分) 1og48 (3)0g22+0s5P+ee1ie0(5分) 2 命题意图：检验分数指数与根式互化、负指数、对数运算与换底：第三问需识别 平方和补成完全平方的结构。 答案： (1)9 (2)2;(3)1。 解析与评分标准： (1)原式=2+后+27后。（根式转指数2分） =21+。(指数运算2分) =号。（结果1分，本问5分） (2)l10g212-l0g23=log24=2。(1分) 1og48=是1og35=。(各1分，共2分) 原式=子+号+号=2。(2分，本问5分) , 3 (3)由换底公式.昭=g2,8=g5。(2分) 原式=(g2)2+4g5)2+2g2g5=Qg2+lg5)2。（2分) =(g10)2=1。(1分，本问5分) 第16题(13分) 16.(本题满分13分)已知集合A={1,B={-1,1}。其中(x,y)表示有序数 对，两个有序数对相等，当且仅当对应位置的数分别相等。 (1)定义M={(x,y)Ix∈A,y∈B,N={(x,y)Ix∈B,y∈A}。写出M,N, 并求M∩N。(6分) (2)定义集合S=(mm=x+W2,xeB,yeA}.若beZ,且o∈S, 求b的值。(7分) 命题意图：理解有限集合的描述法与集合成员关系，能由集合定义列举元素，并 据此求解含根式的分式方程。陌生记号本身不作为提高层级的理由。 答案：(1)MnN={1,1):(2)b=1。 解析与评分标准： (1)M={(1,-1),(1,1)},N={(-1,1),(1,1)乃。（各2分，共4分） 所以MnN={(1,1)}。(2分，本问6分) (2)由定义，S={V2-1,V2+1}。(2分) 由题设，1=V2-1,或15=V2+1。(2分) 当=V吃-1时，-1+W2=2+1,解得b=1+V2.当=2+1 时，-1+bV2=√2-1，解得b=1。(各1分，共2分) 由b∈Z,而1+v2度Z,故b=1。(1分，本问7分) 第17题(15分) 17.(本题满分15分)已知x>0,y>0,且2x+y=12,记p=xy,Q=是+ (1)求P的最大值，并写出取得最大值时x,y的值。（6分) (2)某同学认为：“当P取得最大值时，Q也取得最小值。” 判断该同学的说法是否正确。若正确，请说明理由；若不正确，求出Q的最小值 及取得最小值时x,y的值。(9分) 命题意图：第一问直接识别两个正量的定和结构，考查水平一；第二问把最值计 算与判断联结，需自主把定值条件与目标式相乘，恢复互为倒数的两个正比值， 再比较两问取等点，考查水平二。保持原解题工具，观察学生能否认识到同一约 束下不同目标的最值未必同时取得。 答案：(1)最大值为18，x=3,y=6;(2)判断错误，Q的最小值为，在 x=y=4时取得。 解析与评分标准： (1)因为2x>0,y>0,由基本不等式，2xy≤(2)=36。(3分) 所以xy≤18。(1分)当且仅当2x=y,结合2x+y=12,得x=3,y=6,两 者均正。(1分)故最大值为18，且可取得。(1分，本问6分) (2)利用2x+y=12,得Q=(2x+)(促+)(2分) =(5+号+)(1分) 因为号>0，兰>0，由基本不等式，兰+≥2·受=4，所以原式≥= y x 是。(2分) 当且仅当号=兰，即x=y,结合2x+y=12,得x=y=4,满足原条件。(1 分) 因此Q的最小值为三，在x=y=4时取得。(1分) 当P取得最大值时，X=3,)y=6,此时Q=号+-ξ>景放该同学的判断错 66 误。(2分，本问9分) 评分说明：第二问各步骤增量分为2、1、2、1、1、2分，共9分。最后2分中， 指出判断错误并比较两问取等点得1分，给出两个目标不能同时取得最值的有效数 值比较或等价证据得1分。只用反例否定判断而未求出最小值，按实际证据给分； 把第一问等号条件沿用到第二问，不给错误取等及错误最小值结论分。采用代数 恒等式等合法证明，按同等证据给分。 教材联系：教材印刷第56页练习第3题为定和求积原型：第53页例1(1)提供比 值与倒数和结构。本题改变条件并设置错误判断，两个目标的取等点不同。 第18题(17分) 18.(本题满分17分)已知关于x的函数f(x)= ax- ,其中a为实常数。 (1)当a=2时，解不等式f(x)≤0。(4分) (2)当a≠0时解关于x的不等式f(x)≤0。(7分) (3)若不等式f(x)>1在区间(1，+o)内有解，求a的取值范围。(6分) 命题意图：围绕同一含参分式连续设问。第一问识别参数为零时退化成一次不等 式；第二问检查参数为零、零点重合与零点次序，完成分类；第三问将比较0迁移 到比较1，方法一利用正性分离参数并验证存在性，方法二求解集并判断与指定区 间的交集是否非空。不调用函数单调性。 答案：(1)(G,1(2)见分类；(3)0<a<1。 解析与评分标准： (1) 当a=2时，f()= 。（2分)， 故解集为（侵1。(2分，本问4分） (2)当a≠0时原不等式等价于(x-1)(ax-1)≤0且ax-1≠0。 当a<0时，&<1，解集为(-∞，司)U[1,+o)。(2分) 当0<a<1时，1<是解集为[1)。(2分) 当a=1时，f(x)=1(x≠1)，解集为0。(1分) 当a>1时，&<1，解集为（日，1。(2分，本问7分） (3)方法一：分离参数。 当x>1时，x-1>0。由f(x)>1先知ax-1>0,从而 x-1>1台0<ax-1<x-1. ax-1 (判断分母正性并建立上述等价关系，2分) 因为x>1,继续得1<a<1。(1分)因此若区间内有解，必有0<a<1。(1 分) 反过来，若0<a<1,取x>后则x>1且<a<1,故原不等式成立。(1 分) 因此a的取值范围为(0,1)。(1分，本问6分) 方法二：求解集，再考查与指定区间的关系。 f(x)>1台 (1-a)x ax-1>0. (等价变形并保留分母不为零的限制，1分)记该不等式的解集为H,分类如下： 参数范围 解集H a<0 (Go a=0 (-0,0) 0<a<1 (-,0)u(后，+） a=1 0 a>1 (0,) (分类共3分：a≤0两种情形合计1分，0<a<1情形1分，a≥1两种情形合 计1分。) 题意等价于Hn(1,+o)≠⑦，而不是要求整个H包含于该区间。(1分) 由上表，怡当0<a<1时，>1且Hn(1,+o)=(任，+∞)≠o。故所求范围为 (0,1)。(1分，本方法6分) 评分说明：两种方法择一评分，不重复累计，第三问满分6分。方法一须先确认分 母正性，不能直接乘以符号未定的分母；必要性与存在见证均需说明。方法二须 正确处理退化参数及分母零点，并以交集非空表达“区间内有解”；若只针对x>1 分类并完整证明，也按同等证据给分。 第19题(17分) 19.(本题满分17分)设A={1,2,3,4,5,6,7},函数f:A→A。若对每个x∈A, 都有f(f(x)=x,则称f满足条件P。记 E={xEAIf(x)=x), T=CAE. (1)下表给出一个函数f。判断它是否满足条件P,并写出集合E,T。(4分) X 1 2 3 5 6 f(x) 2 1 3 6 > 4 5 (2)设f满足条件P。 i)证明f(x)IxeT}=T。(5分) ⅱ)证明集合E中元素的个数为奇数。(8分) 命题意图：由对应表进入有限函数结构。第二问第小问用补集表达非不动点并 完成双向包含；第ⅱ小问按输入与对应值的大小将补集分成两部分，通过互相唯 一对应证明两部分元素个数相等，再用个数关系证明奇偶性。补集在推理中实际 参与运算。 答案：（1)满足条件P;E={3},T={1,2,4,5,6,7):（2)i)、i)见证明。 解析与评分标准： (1)表中12,46,57，且f(3)=3,故每个元素连续作用两次都回到 自身，满足条件P。（2分) E={3},T={1,2,45,6,7}。（各1分，共2分，本问4分) (2)i)若T=②，则f(x)Ix∈T}=o=T。以下设T≠⑦。（空集处理纳入论 证完整性，不另设分) 任取x∈T,有f(x)≠x。令y=f(x),则f)=f(f(x)=x≠y,所以y∈ T。(2分) 这说明f(x)Ix∈T)cT。(1分) 反过来，任取y∈T,由上述结论知fy)∈T,又y=ffy),所以y∈f(x)I x∈T}。因此T≤f(x)Ix∈T)。(1分) 由两边包含关系，得f(x)Ix∈T)=T。(1分，本问5分) (2)i)用n(B)表示有限集B的元素个数。令 T={x∈TIx<f(x)以，T2={x∈TIx>f(x)以 由T的定义，T1nT2=o,T1UT2=T。(2分) 由(2)1)及条件P,有 xET1→(x)ET,f(f(x)=x<f(x)→f(x)ET2; y∈T2→fOy)ET,f(y)<y=f(fy)→fy)ET1: 上述对应再次作用f均返回原元素，故T1,T2中的元素一一配对，从而(T)= n(T2)。(3分) 于是n(T)=n(T1)+n(T2)=2n(T1)。(1分) 又E∩T=O,EUT=A,故 n(E)=n(A)-n(T)=7-2n(T1), 所以n(E)为奇数。(2分，本问8分) 评分说明：(2)ⅱ)按“分组及不交覆盖2分、互相唯一对应与等势3分、补集个 数关系1分、不动点个数与奇偶结论2分”给分。空集情形自动包含在上述个数关 系中。只断言两部分元素个数相等而未说明对应的唯一性，至多得6分；只观察 (1)的表格不能证明一般结论。用不交二元素配对或有限删除配对等直接计数证 明，只要完整说明覆盖与不重叠，均按同等证据给分。全解未使用反证法。 教材联系：教材印刷第105页习题5.1第8题的对应表及嵌套取值为原型；条件 P、补集不变性和奇偶性为改编新增任务。 2026—2027学年度高一年级第一学期第一次校标考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 设集合 ，，则 的元素个数为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 2． 设 ，命题 ，命题 ，则 是 的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．函数 的定义域是（　　） A．　　 B． C．　　D． 4．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（　　） A．，　　 B．， C．，　　D．， 5．已知 ，则 的值为（　　） A．　　B． C．　　D． 6． 关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．　　B． C．　　D． 7． 设 ，，则 （　　） A．　　B． C．　　D． 8． 已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A．　　B． C．　　D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是（　　） A．命题“”为真命题　　 B．对实数 ， 是 的充分条件 C．命题“”的否定是“”　　 D．对非空集合 ， 是 的充分不必要条件 10． 理想天平平衡时，两侧物体的质量与对应力臂长的乘积相等，即 。一架不等臂天平的左、右力臂长分别为 ，其中 。店员先将质量为 （）的砝码放在左盘，在右盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为 ；再将该砝码放在右盘，在左盘放入黄金，待天平平衡后取出黄金，称得黄金质量为 。下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 　　 B． C．　　 D． 11．设 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 集合 的所有子集中，含有元素 且不含元素 的子集共有________个。 13．函数 的图象由图中的两条线段构成，其中 ，，， 为坐标原点；空心圆表示不取该点，实心圆表示取该点。则集合 ____________。 14． 设函数 的定义域为 。若其值域恰有 个元素，则实数 的所有可能值为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分15分） 计算： （1）；（5分） （2）；（5分） （3）。（5分） 16．（本题满分13分） 已知集合 ，。其中 表示有序数对，两个有序数对相等，当且仅当对应位置的数分别相等。 （1）定义 ，。写出 ，并求 。（6分） （2）定义集合 。若，且，求𝑏的值。（7分） 17．（本题满分15分） 已知 ，且 ，记 ，。 （1）求 的最大值，并写出取得最大值时 的值。（6分） （2）某同学认为：“当 取得最大值时， 也取得最小值。” 判断该同学的说法是否正确。若正确，请说明理由；若不正确，求出 的最小值及取得最小值时 的值。（9分） 18．（本题满分17分） 已知关于 的函数 ，其中 为实常数。 （1）当 时，解不等式 。（4分） （2）当 时解关于 的不等式 。（7分） （3）若不等式 在区间 内有解，求 的取值范围。（6分） 19．（本题满分17分） 设 ，函数 。若对每个 ，都有 ，则称 满足条件 。记 （1）下表给出一个函数 。判断它是否满足条件 ，并写出集合 。（4分） ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）设 满足条件 。 i）证明 。（5分） ii）证明集合 中元素的个数为奇数。（8分） 学科网（北京）股份有限公司 $