河南省叶县高级中学2026-2027学年高二上学期10月末调研考试数学试题

2026-2027学年高二数学10月末调研考试 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，则在方向上投影的数量为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，， 得， 所以在方向上投影的数量为： ． 2．已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示的是双曲线，所以， 因为双曲线的离心率为，所以 . 所以双曲线的实轴长为. 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线方程化为斜截式，结合直线倾斜角与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】由. 因为该直线的倾斜角为， 所以. 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何性质，利用已知条件得出，再区分焦点x轴、y轴两类讨论求． 【详解】由题意知，，则有， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 综上可得，m的值为或． 5．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 6．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式先求出的范围，然后排除两向量共线的情况，即可求得结果. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，由于，所以. 所以，即，解得. 若两向量与共线，则存在使得，即， 可得方程组，解得. 当时，两向量共线，此时夹角为，不符合夹角为钝角的条件，所以要排除. 所以实数的取值范围为. 7．已知A，B是平面上的两定点，，动点满足，，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则， 设动点，则由可得，整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，得直线的方程为， 则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 则圆心到直线的距离为， 所以MN距离的最小值为. 8．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间直角坐标系得到平面的法向量和平面外的点与平面内一点连线的方向向量，利用向量计算点到平面的距离． 【详解】平面，且，故以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系； ，，且，； 为的中点，，故，； 则，，； 设为平面的法向量，则 ，即，解得， 令，可得； 设点到平面的距离为， 则，故点到平面的距离为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线与圆截得弦长的最小值为 C．若是圆上的点，则的最大值为 D．当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 【答案】AC 【分析】本题考查直线过定点、直线与圆相交的弦长最值、圆上点的线性表达式最值、圆上点到直线距离为定值的点的个数问题， 结合直线与圆的位置关系逐一分析选项即可. 【详解】选项A：将直线的方程整理为，对任意，当，时等式恒成立，故直线过定点，A正确. 选项B：由题知，圆圆心为，半径，定点到圆心的距离为， 直线与圆相交时弦长为，其中为圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，最大，弦长最小，此时. 故最小弦长为，不是，B错误. 选项C：如图所示； 设，令， ，其中为直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值，此时圆心到直线的距离为， ， ， 最大值为，C正确. 选项D：如图所示； 当时，直线方程为，圆心到直线的距离， ，， 故仅靠近圆心的平行于且距离为的直线与圆相交的个交点满足到直线距离为1，不是4个，D错误. 10．如图，在正四棱柱中，，E，F分别是，的中点，则（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项中线面平行、线线垂直及线面垂直的关系. 【详解】以点为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，，，，，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 选项A：，， 所以，即， 又平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 选项B：，， ， 所以，故选项B正确； 选项C：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，所以， 又， ， 所以与平面不平行，故选项C错误； 选项D：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以. 又， 与不共线， 所以不垂直于平面，故选项D错误. 11．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】 已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆，则点P的轨迹方程为， 又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点， 因为，且，所以， 又，解得. 当时，两圆外切，，满足条件； 当时，两圆内切，，满足条件. 所以. 13．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【分析】根据已知条件先确定直线的方向向量，进而根据向量模的坐标公式和勾股定理求出结果即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线经过点，且为一个方向向量， 又点的坐标为，所以， 故点到直线l的距离为． 14．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【分析】利用对称性构造直角三角形，结合双曲线的定义和勾股定理列方程，即可求解出，进而得到渐近线的斜率. 【详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义解出p的值，得到点的坐标； （2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到到直线距离，最终求得的面积 【详解】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 16．（15分）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】(1)（i）或. （ii）2 (2) 【详解】（1）将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. （2）设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 17．（15分）已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. 【详解】（1）根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； （2）直线的方程为， 设，由得， ， 所以． （3）设，则， 则两式相减得． 设，则所以， 即， 所以，所以直线OQ的斜率. 18．（17分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点． (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面的夹角大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)连接，设交于，由题意知平面． 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 设底面边长为，则高， 于是S ，D ，C ， ＝ ，＝ ， ∵，故，从而． (2) (3)存在， 【分析】（1）由题设知，连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积证明； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果； （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题设知，平面PAC的一个法向量 ， 平面的一个法向量 ， 设所求角为，则， ∴平面与平面的夹角为． （3）存在，，理由如下： 在棱上存在一点使平面．由（2）知是平面的一个法向量， 且 ， ． 设，则 而. 即当时 ，而平面，故平面. 19．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，再结合是椭圆的焦点，即可求解椭圆的标准方程； （2）直线为水平直线时，不存在；当直线不是水平直线时 设直线方程为，，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，则表示出，由于在线段上，，其中，求得，再求出直线的方程； （3）当不是水平直线时，利用韦达定理表示出 ，利用，求出定点为；当是水平直线时，直接验证定点的坐标. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： （2）直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学10月末调研考试 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，则在方向上投影的数量为（    ） A．4 B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知A，B是平面上的两定点，，动点满足，，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线与圆截得弦长的最小值为 C．若是圆上的点，则的最大值为 D．当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 10．如图，在正四棱柱中，，E，F分别是，的中点，则（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面 11．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆，若圆上存在点使，则正数的取值范围是______. 13．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 14．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 16．（15分）已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， (1)若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 (2)求满足条件的点的轨迹方程． 17．（15分）已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 18．（17分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点． (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面的夹角大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19．（17分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $