江苏省连云港市灌南高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

灌南高级中学 2026—2027 学年第一学期第一次月考 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A D B B B CD BCD AC 1.集合 ,,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 是开区间 , 是半开半闭区间 ,交集要保留 这个端点. 【解答】,, 所以 ,选 B. 2.若 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 时两边同乘负数不等号方向改变,逐项判断. 【解答】由 得 ,两边同除以 得 ,A 错; 时 ,所以 ,B 错; ,因为 ,,所以 ,即 ,C 正确; ,,D 错.故选 C. 3.下列式子的互化正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验,注意偶次方根的结果非负. 【解答】A:,当 时等于 ,错误; B:,不是 ,错误; C:(),正确; D: 时 无意义,错误.故选 C. 4.若关于 的方程 和 的解集分别为 ,,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 说明 是两个方程的公共根,代入即可. 【解答】因为 ,所以 ,解得 ; 因为 ,所以 ,解得 , 所以 ,选 A. 5.设 ,则“”的充要条件是( ) A., 不都为 B., 都不为 C., 中至多有一个是 D., 都不为 【答案】D 【分析】把不等式恒等变形为乘积形式,再判断等价条件. 【解答】, 即 且 ,也就是“, 都不为 ”,选 D. 6.下列命题中正确的是( ) A.当 时, B.当 时, C.当 时, D.当 时, 【答案】B 【分析】考查基本不等式的取值规律: 时 , 时 ;等号能否取到不影响不等式本身的成立. 【解答】A: 时 (等号要在 处才能取到),所以“”错误; B: 时 ,, 当且仅当 时取等号,所以 B 正确; C: 时 (等号要在 处),所以“”错误; D: 时 (等号要在 处),所以“”错误. 故选 B. 7.若命题“,”是真命题,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】全称命题为真即 小于 的最小值,注意“”不含等号. 【解答】因为 ,且 时 , 要使 对一切实数 成立,只需 , 所以 ,选 B. 8.已知正实数 , 满足 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先把两个分母凑成定和:,再用“乘 1 法”. 【解答】因为 ,所以 , , 当且仅当 ,即 , 时取等号, 所以最小值为 ,选 B. 9.下列说法中正确的有( ) A.命题 :,,则命题 的否定是 , B.“”是“”的必要不充分条件 C.“,”是真命题 D.“”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【分析】逐项判断:否定要“改量词、否结论”;充要条件要双向验证;存在性命题举出一个例子即可. 【解答】A: 的否定应为 ,,所给结论把“”写成了“”,错误; B: 推不出 (如 ,), 也推不出 ,故不是必要条件,错误; C:取 , 成立,正确; D:方程有一正一负根 两根之积 ,而 时 自动成立,所以是充要条件,正确.故选 CD. 10.已知关于 的不等式 的解集为 或 ,则下列说法正确的是( ) A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】BCD 【分析】由解集在两根外侧知 ,再用韦达定理把 、 用 表示,逐项判断. 【解答】因为 的解集为 或 ,所以 ,且 、 是方程 的两根, 由韦达定理 ,,即 ,, A:,错误; B: 即 ,因为 ,所以 ,正确; C:,正确; D: 即 ,两边同除以 得 ,即 , 也就是 ,解得 ,正确.故选 BCD. 11.已知实数 满足 ,下列选项中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】由 出发,用平方关系逐项求值,注意开方要带正负号. 【解答】由 得 ,A 正确; ,所以 ,B 错误; ,且 ,所以 ,C 正确; ,D 错误.故选 AC. 12.已知 ,,,则 . 【答案】 【分析】两集合相等则元素相同,注意集合元素的互异性. 【解答】由 知 ,解得 或 ; 当 时 ,元素重复,不合题意; 当 时 ,,符合, 所以 . 13..(用分数指数幂表示) 【答案】 【分析】先把根式写成分数指数幂,再用同底数幂的乘法法则. 【解答】,, 所以原式 . 14.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 吨. 【答案】 【分析】先写出总费用关于 的函数,再用基本不等式求最小值及取等的 . 【解答】一年购买次数为 ,总运费为 (万元),总存储费用为 (万元), 所以总费用 , 当且仅当 ,即 时取等号, 所以 吨. 15.(13 分)设集合 ,. (1)若 ,求实数 的取值范围; (2)是否存在实数 ,使 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 【答案】(1);(2)存在, 【分析】;(1) 即 ,注意 的情形;(2)由 知 ,先求出 再检验. 【解答】由 得 . (1) 即 . 若 ,则 ,解得 ,符合; 若 ,因 中元素之积为 ,故 ,只能 ,此时 是重根,需 且 ,矛盾,无解, 所以 的取值范围是 . (2)存在.由 且 知 且 , 将 代入 得 ,即 , 此时 ,,符合题意, 所以存在 满足条件. 16.(15 分)设集合 ,. (1)是否存在实数 ,使得 是 的充要条件?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由; (2)是否存在实数 ,使得 是 的必要不充分条件?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)存在,;(2)存在, 【分析】(1)充要条件即 ;(2)必要不充分条件即 是 的真子集,注意 的情形. 【解答】(1)存在. 是 的充要条件即 , 所以 且 ,解得 ,故存在 . (2)存在. 是 的必要不充分条件即 且 . 当 ,即 时, 且 ,符合; 当 时,,由 得 且 ,即 , 又 时 ,不符合“不充分”,所以 , 综上 . 17.(本小题 15 分)已知集合 ,集合 . (1)若命题“,都有 ”是真命题,求实数 的取值范围; (2)若命题“,”是真命题,求实数 的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】(1)“,”即 ;(2)“,”即 ,先注意 的情形. 【解答】,,当 ,即 时 . (1)当 时,,符合; 当 时,,由 得 且 ,即 ,与 矛盾,无解, 所以 . (2)当 时 ,,不符合; 当 时,,由 得 且 ,即 , 所以 . 18.(17 分)设 为实数,. (1)若方程 有实数根,求 的取值范围; (2)若不等式 的解集为 ,求 的取值范围; (3)若不等式 的解集为 ,求 的取值范围. 【答案】(1);(2);(3) 【分析】先按二次项系数是否为零分类,再用判别式;解集为 与解集为 分别对应“开口向下且 ”和“开口向上且 ”. 【解答】(1)当 ,即 时,,方程有实根 ,符合; 当 时,,解得 , 又 , 所以 的取值范围是 . (2) 的解集为 ,即 对一切实数 成立, 需 且 ,即 且 或 , 所以 . (3) 的解集为 ,即 对一切实数 成立, 需 且 ,即 且 或, 所以 . 19.(17 分)已知关于 的二次函数 . (1)若 的解集为 或 ,求实数 , 的值; (2)若实数 , 满足 ,求关于 的不等式 的解集; (3)已知二次函数有两个正实数零点 ,,且满足 ,求 的最大值. 【答案】(1),;(2)答案见解答(按 分类讨论);(3)最大值为 【分析】(1)由解集端点即方程的两根,用韦达定理;(2)因式分解后按根的大小分类;(3)用韦达定理把条件化为 ,再由“两个正零点”确定 ,最后求最值. 【解答】(1)因为 的解集为 ,所以 ,且 、 是方程 的两根, 由韦达定理 ,,解得 ,. (2)当 时,, 即 . 当 时,,且除以 不等号反向,解集为 ; 当 时,不等式为 ,解集为 ; 当 时,,解集为 ; 当 时,不等式为 ,解集为 ; 当 时,,解集为 . (3)设两个正零点为 ,,由韦达定理 ,, 由两根都为正得 ,,即 ,, 由 得 ,即 , 又两个零点不相等,所以 ,即 ,解得 , 于是 , 因为 ,所以 ,, 所以 ,当且仅当 时取等号, 故 的最大值为 . 灌南高级中学高一第一次月考数学试卷 第 1 页(共 4 页) 学科网(北京)股份有限公司 $ 灌南高级中学 2026—2027 学年第一学期第一次月考 高一年级数学试卷 考试时长：120 分钟　　满分 150 分　　命题人：李彦琼　　做卷人：孙春庭 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 ，则（　　） A． B． C． D． 3．下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于 的方程 和 的解集分别为 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．设 ，则“”的充要条件是（　　） A．， 不都为 B．， 都不为 C．， 中至多有一个是 D．， 都不为 6．下列命题中正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 7．若命题“，”是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法中正确的有（　　） A．命题 ：，，则命题 的否定是 ， B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”是真命题 D．“”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 10．已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的解集为 C． D． 的解集为 11．已知实数 满足 ，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 ，，，则 ______． 13．______．（用分数指数幂表示） 14．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 ______吨． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13 分）设集合 ，． (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 16．（15 分）设集合 ，． (1)是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 17．（本小题 15 分）已知集合 ，集合 ． (1)若命题“，都有 ”是真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数 的取值范围． 18．（17 分）设 为实数，． (1)若方程 有实数根，求 的取值范围； (2)若不等式 的解集为 ，求 的取值范围； (3)若不等式 的解集为 ，求 的取值范围． 19．（17 分）已知关于 的二次函数 ． (1)若 的解集为 或 ，求实数 ， 的值； (2)若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集； (3)已知二次函数有两个正实数零点 ，，且满足 ，求 的最大值． 灌南高级中学高一第一次月考数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $