精品解析：江苏省苏州市相城区望亭中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

望亭中学2026—2027学年高一年级第一学期阶段性检测 数学试卷 （2026.10） 总分：150分 时间：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设全集，集合，，，则（ ） A. 集合A的真子集个数是7 B. C. D. 10. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数m的值为______. 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 若“条件”是“条件”的充分不必要条件，则m的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求集合A，B； （2）求. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 若正数a，b满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米. （1）若每块矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为1米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 19. 若不等式的解集是. （1）求的值； （2）已知，是关于的方程的两个实数根，若，求实数的值； （3）若，解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望亭中学2026—2027学年高一年级第一学期阶段性检测 数学试卷 （2026.10） 总分：150分 时间：90分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 又，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题即可得解； 【详解】命题“，”的否定是，，， 故选：C 3. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由可知，元素1，2一定属于集合. 由可知，中除1，2外的其余元素只能从集合中选取，选取的元素可以是0个、1个、2个或3个. 故所有满足条件的分别为： ，，，，，，，，共8个. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，由，但 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 6. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 7. 已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数大于零恒成立的条件直接求解. 【详解】由二次函数大于零恒成立的条件可知，若为真命题，则有. 故选：B 8. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设全集，集合，，，则（ ） A. 集合A的真子集个数是7 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用真子集的个数公式可判断A选项；利用并集运算可判断B选项；利用补集和交集运算可判断C选项；利用集合的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，集合的元素个数为， 则集合的真子集个数是，A正确； 对于B选项，因为，，则，B正确； 对于C选项，因为全集，集合，， 则，，则，C错误； 对于D选项，，，显然集合B不是集合C的子集，D错误. 10. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，，故A，C.正确； 当时，满足，但是，，B和D错误. 11. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：， 因为，所以， 则，即，故B正确； 对于C：由， ， 函数在单调递减， ，所以，满足，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即， 联立，得时取等号，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数m的值为______. 【答案】 3 【解析】 【详解】由可得，已知，分两类讨论： 若，代入得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，整理得，解得或： 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，满足集合元素的互异性，符合条件. 综上，实数的值为3. 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：3. 14. 若“条件”是“条件”的充分不必要条件，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由充分不必要条件的定义，结合题意可得，由此列方程组，求解可得m的取值范围. 【详解】由题意得，. 由，得. 所以m的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求集合A，B； （2）求. 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【小问1详解】 等价于 ，即，即， 等价于，即或，则或， 由得，解得，所以 【小问2详解】 由（1）可知或，， 所以或. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 由解得，即， 所以，即. 【小问2详解】 因为，所以， ①若，则，解得，符合题意， ②若，则，解得 综上，实数的取值范围是. 17. 若正数a，b满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将，变形为，再利用基本不等式可求得的最小值；或由基本不等式得，代入，消去，并求解不等式可得的最小值. （2）将，变形为，再根据，结合基本不等式可得的最小值；或由基本不等式得，代入，消去，并求解不等式可得的最小值. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 又， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 方法二： 因为，当且仅当时，等号成立. 又， 所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 方法二： 因为，， 当且仅当时，等号成立. 又， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米. （1）若每块矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为1米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 【答案】（1）15米 （2）长为20米，宽为15米时整个绿化面积最小，最小值为726平方米 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，根据面积公式及长宽关系列出不等式求解即可. （2）设草坪的宽为米，长为米，表示出整个绿化区域的长和宽，构建面积函数，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设每块矩形草坪的宽为米，长为米. 因为每块草坪的面积为300平方米，所以，则. 因为矩形草坪的长比宽至少多5米，所以，即.. 因为，所以，整理得， 即，解得. 又，所以. 所以草坪宽的最大值为15米. 【小问2详解】 设每块矩形草坪的宽为米，长为米，则，且. 由图可知，整个绿化区域（大矩形）的水平方向长度为（米），竖直方向长度为（米）. 设整个绿化面积为平方米，则. 因为，所以，当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立，此时. 所以当草坪的长为20米，宽为15米时，整个绿化面积最小，最小值为726平方米. 19. 若不等式的解集是. （1）求的值； （2）已知，是关于的方程的两个实数根，若，求实数的值； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系求解即可. （2）根据韦达定理和完全平方公式求解即可. （3）通过分类讨论参数的取值范围求解含参一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可得和1是方程的两根，所以，解得. 经检验，满足条件，所以. 【小问2详解】 将代入方程，整理得. 由韦达定理得，，. 所以， 整理得，即，故. 此时方程判别式，恒有两个实根，故均符合要求. 【小问3详解】 将代入不等式得. 当时，不等式可化为，解得. 当时，不等式可化为. 令，解得或. 当时，函数开口向下，此时， 所以不等式的解为或. 当时，函数开口向上，此时， 所以不等式的解为. 综上，该不等式的解集为 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $