精品解析：福建省泉州市晋江市第二中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

晋江二中2026-2027学年高一数学9月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以． 2. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 5. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 6. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 8. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解为________ 【答案】 【解析】 【详解】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】将命题“，使得”是假命题，转化为命题“，使得”是真命题，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件通过因式分解得出，采用换元法设，，将目标式转化为关于 、 的关系式，最后利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由，得， 令，得，且， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算直接可得解； （2）根据交集的结果可得参数范围. 【小问1详解】 由，， 可知，； 【小问2详解】 由已知，， 当时，， 所以当时，. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再由题设，分是否为空集列不等式组求解即可； （2）由充分不必要条件得到是的真子集，再求解即可； 【小问1详解】 集合， 若，则， 当时，则； 当时，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 即（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围为. 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）借助基本不等式计算即可得； （2）配凑法后利用基本不等式计算即可得； （3）多次使用基本不等式即可得. 【详解】（1）由，，则， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）由，， 则， 当且仅当、，即时，等号成立， 即的最小值为. 18. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】（1） （2）（i）米或米，平方米； （ii） 设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则. 因为，，所以. 又，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【解析】 【分析】（1）计算面积列不等式解一元二次不等式即可； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【小问1详解】 设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，， 所以，又矩形面积，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 （i）设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江二中2026-2027学年高一数学9月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 5. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解为________ 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是______. 14. 已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 18. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 19. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $