福建省泉州市晋江市第二中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

晋江二中2026-2027学年高一数学9月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 5．已知 ，，则是的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知命题为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8.甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 10.已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11.已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.不等式的解集为________ 13.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 14.已知，则的最小值为________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 16.已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17.（1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 18.已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 19.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江二中2026-2027学年高一数学9月考卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 4．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】D 5．已知 ，，则是的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 6.已知命题为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 7．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 8.甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，” C． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【详解】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 10.已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11.已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确；B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.不等式的解集为________ 【答案】 【详解】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 13.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【解析】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 14.已知，则的最小值为________. 【解析】由，得， 令，得，且， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 【解析】（1）由，， 可知，； （2）由已知，， 当时，， 所以当时，. 16.已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）集合， 若，则， 当时，则； 当时，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 即（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围为. 17.（1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 【解析】（1）由，，则， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）由，， 则， 当且仅当、，即时，等号成立， 即的最小值为. 18.已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【解析】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，， 所以，又矩形面积，解得， 故的取值范围为. （2）（i）设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则. 因为，，所以. 又，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 1 学科网（北京）股份有限公司 $