精品解析：福建省泉州市晋江市第一中学2025-2026学年高一上学期第二阶段考试数学试题

晋江一中2025年秋季高一年第二阶段考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知点是第四象限点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 是成立充分不必要条件 10. 已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若是图象的一条对称轴，则 C. 若在区间内无最大值，则 D. 若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 11. 已知定义域为的函数满足：，，则（ ） A. 是周期为2的函数 B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 13. 函数在区间单调递减，则的取值范围是___________． 14. 已知函数，且正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断的奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 18. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，解析式； （2）求函数的值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江一中2025年秋季高一年第二阶段考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集定义计算． 【详解】由题意， 故选：C． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；举反例判断BCD. 【详解】对于选项A：若，由不等式的性质可得，故A正确； 对于选项BD：例如，可得，，故BD错误； 对于选项C：利用，可得，即，故C错误； 故选：A. 3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 4. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，由题中条件，即可求解. 【详解】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4， 所以，则； 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由的函数值判断. 【详解】解：令函数，定义域为， 因为，所以是偶函数，排除A，D， 当时，，排除C， 故选：B 6. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可. 【详解】由题知：函数是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以，则的最大值为14. 故选：C 7. 已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合偶函数的性质及单调性可得在上单调递增，再结合，，的大小，从而可求解. 【详解】由题意可得在上单调递增，且， 因，所以， 因，所以， 因，所以，故， 又因为，则，故， 所以， 又因，故， 综上可得：，故A正确. 故选：A. 8. 已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，即， 再通过函数的单调性可知，即可求出的值，得到函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间． 【详解】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增． 而，，故，即． 因为，， 由于，即有，所以． 故，即的零点所在区间为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 是成立的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定判断A；由一元二次不等式解集求出判断B；求出函数图象过的定点判断C；求出不等式的解，结合充分不必要条件定义判断D. 【详解】对于A，命题，存在量词命题，其否定是全称量词命题， 因此，，A正确； 对于B，由不等式的解集为， 得且和是一元二次方程的两个根， 则，解得，因此，B错误； 对于C，由，得函数（且）的图象恒过定点，C错误； 对于D，由，得，则是成立的充分不必要条件，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若是图象的一条对称轴，则 C. 若在区间内无最大值，则 D. 若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数满足：，，则（ ） A. 是周期为2的函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B. 【详解】由， 则， 所以函数是周期为2的函数，故A正确； 由，取，得， 而，所以，故C正确； 由，取，得， 则，故D正确； 取， 则， ，满足题意， 而函数不为偶函数，故B错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及分式中分母不能为零，求出函数定义域即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 函数在区间单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，内层函数在区间上单调递减，可得出，且使得在处的函数值非负，由此可得出关于的不等式组，解出不等式组即可得出实数的取值范围. 【详解】设， 则二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线. 由于函数在上单调递减， 则函数在上为减函数， 则有， 由于在为正数， 则当时，， 于是有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数. 14. 已知函数，且正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】探讨给定函数的性质，由此得出，再利用基本不等式1的妙用求出最小值，转化为不等式得解. 【详解】函数函数的定义域为R， ， 若成立，则， 又，而上单调递增， 则函数在上单调递增，由，得， 因此当且仅当时成立，由，得，即， 于是， 当且仅当时取等号，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 17. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性函数的定义判定证明. （2）①利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证；②利用奇函数性质及单调性脱去法则“g”，再解析指数不等式. 【小问1详解】 是R上的奇函数． 显然定义域为R，对于任意的，都有，， 所以是R上的奇函数. 【小问2详解】 ①由，得， 任取， 由，且函数在R上单调递增，得，即， 因此，即， 所以在上单调递减. ②由（1）及①知，是上单调递减的奇函数， 不等式， 则有，即， 因此，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 【答案】（1）20 （2）；最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数代入计算即得； （2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值； （3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得. 【小问1详解】 因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且， 则，解得， 所以的值为20. 【小问2详解】 设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）求函数的值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； 【小问2详解】 对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； 【小问3详解】 ， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $