精品解析：河南省实验中学2026-2027学年高三上学期10月测评数学试题

河南省实验中学2026—2027学年高三年级10月测评 数学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用交集的定义即可求解. 【详解】对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 2. 在中，角、、的对边分别是、、，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】原式可化为，利用正弦定理可得，根据余弦定理可得为锐角，结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】不等式可化为， 即， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以为锐角， 因为不一定为锐角，故不能得到是锐角三角形， 例如，，满足，但不是锐角三角形， 若是锐角三角形，则一定为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 3. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可. 【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”. 由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故. 而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名， 故选取方式有种，从而. 故，A正确. 故选：A. 4. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【详解】当时，，所以，由图可知A错误； 由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误； 当时，，由图可知D错误； 由奇函数定义可知函数为奇函数，当时， 当时，，选项C均符合图像特征，故C正确； 故选：C. 5. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 8. 已知，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，利用导数可求得在上的单调性，从而确定，，结合，令即可得到大小关系. 【详解】令，，则， 在上单调递增，，即； 令，，则， 在上单调递增，，即； 又当时，，当时，； 则当时，，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【详解】由图可知，，，又， 解得，，， ∴. 对于选项A，当时，，∴在区间上单调递增，故正确； 对于选项B，为其最小值，∴为图象的一条对称轴，故正确； 对于选项C，，∴点为图象的一个对称中心，故正确； 对于选项D，当时，，当即时，，当即时，，即在区间上的值域为，故错误. 故选：ABC． 10. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 是以2为周期的周期函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合奇函数的性质，可判断A的真假；探索与的关系，可判断B的真假；探索与的关系，可判断C的真假；根据函数的奇偶性可得，结合，可得，可判断D的真假. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且. 是定义在上的偶函数，所以. 对A：因为，令得，，所以，故A正确； 对B：由. 所以， 所以，所以的图象关于成轴对称，故B正确； 对C：因为，所以2不是函数的周期，故C错误； 对D：因为可得， 所以， 所以. 又，所以，所以，依次类推，可得，. 所以，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可． 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 14. 已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据及得到，利用同构得到有解，构造，得到，故，参变分离得到在有解，令，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到答案. 【详解】，所以， 故，所以，为常数， 因为，又，故， 所以， 若在区间内存在零点， 则在区间内存在零点， 整理得， 设，则， 令得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 故时，成立， 即存在，使得有解，即有解， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 又，故， 所以，故实数m的取值范围. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列: 数学期望为. 【解析】 【小问1详解】 设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． 【小问2详解】 由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先对求导，求出切线的斜率，然后点斜式写出切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化成求函数最小值问题，然后分情况讨论求的最小值. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 即 【小问2详解】 当时，不等式恒成立，只需即可， 当时，，， 函数在上单调递减，而，与题意矛盾，故. 当时，，， 函数在上单调递增，所以，所以符合题意； 当时，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增，所以， 所以符合题意，综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【小问1详解】 数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 ，故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 18. 已知函数，函数的最小正周期为． （1）求的值及此时的对称轴； （2）将向右平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值． （3）若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 【答案】（1） ，对称轴为； （2） 的最小值为； （3） 面积的取值范围为 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简，结合周期公式求；再根据正弦函数对称轴性质、偶函数的相位特征分别求解前两问；第三问先求角，结合正弦定理将面积转化为关于角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求值域. 【小问1详解】 ，由最小正周期，，解得， 故，令，解得，即的对称轴为； 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到函数 ， 因为为偶函数，所以，解得， 又，取时，取得最小值； 【小问3详解】 由，得，即， 因为为锐角的内角，故，，故，解得， 因此， 因为是锐角三角形，所以，即得， 由正弦定理，得，所以， 故的面积为 ， 因为，所以，，所以，所以的面积的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）（i）已知，则， 因为是极值点，所以，解得， 即， 令在上连续，则，所以在上单调递增， 由， 所以方程在区间内有且仅有一个实根，即得证； （ii）2个 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定极值和端点值并比较大小，即可得最值； （2）（i）对函数求导，结合极值点得，进而将问题化为研究根的个数及其所在的区间，即可证； （ii）问题化为研究在区间上根的个数，构造相关函数，应用分类讨论及导数研究函数的区间零点个数，即可得. 【小问1详解】 由题设， 令，得，且位于区间内， 当时，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， 因此在处取得极大值，也是最大值， 最大值，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 设，与零点相同. ，于是的1个零点为0， ， 当，，，又， ，在上单调递减，，故在没有零点. 当，，，又， ，在上单调递增，，故在没有零点. 当，令，则，在上单调递减， ，故存在使， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，，故在上有1个零点. 综上，在上有2个零点，即在上有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2026—2027学年高三年级10月测评 数学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角、、的对边分别是、、，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，．则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 10. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 是以2为周期的周期函数 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，则______. 13. 在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 14. 已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． （1）求一位顾客获得纪念品的概率； （2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 18. 已知函数，函数的最小正周期为． （1）求的值及此时的对称轴； （2）将向右平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值． （3）若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 19. 已知函数． （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求在区间上的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $