河南省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

■ 河南省实验中学2025-2026学年上期月考1 四、解答题（共5小愿，共77分） 高三数学答题卡 16.(15分) 15.(13分) 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级 [o [o [o] 【o t3 [3 [a] [2 [21 [31 [3 13] I3] [31 [3] [a] [4] [4] [51 C5) f51 [61 [6] [61 E6 [6] 正确消涂■缺考标记一 [8 ⊙ 印050500 [9] [9] [9] 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A][B][e][D] 5【a][B]Ic1[ 2[a]][c]D1 6 [A3 [B][c][n] 3 [A][n][c][D] 7EA3 [B][e][D] 4[AJI[C】[D 8 [A [B][c][D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9[A][B]【cI[Dd 10[A[】[cD明 11[A[B【ctD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） ■ 囚ㄖ■ 囚囚■ 17.(15分) 18.(17分) ▣ 青年 中年 体育锻炼频率低 19.(17分) 体有锻炼频率高 合计 ■ ▣■囚 ▣■囚河南省实验中学2025一2026学年上期月考试卷答案 高三数学 ACBDD CAD 9.AC 10.BCD 11.ACD 12.7 13.-1 14. √2+√2n2 2 15.解：(1)因为√5b+csinA-√5 c cosA=0,由正弦定理可得√3simB+sin CsinA-√5 sin Ccos4=0, 在△4BC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos AsinC,所以V3 sin AcosC+sinCsinA=0, 因为sinA>0,则可得tanC=-5,又因0<C<元，所以c-2r 3 (2)根据余弦定理可蜘心+b-c 2ab 三cosC,C生2，则可得d+B-c2=-b 又因为c=7,且a+b=8,可得a2+b2+2ab=64, 所以a+-c=d+2h+F-c=87P,可得b15,则ShnC5 4 16.解：(1)根据函数f(x)=(2x+1)e,得导函数f"(x)=(2x+3)e,那么f(0)=1,f"(0)=3, 因此函数y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0: (2)令函数g)=fw)-=0,那么k=f四-2x+1e 令函数=2x+e,x∈(m.0,hW-2r+-1e-2x-1G+De,x∈（-n.0, 令导函数(x)>0，,那么x<-1,令导函数(x)<0,那么-1<x<0, 所以函数)在(-L,0)上单调递减，在（∞，-）上单调递增，因此)m=(-)=。 =2x+e-2e+g,当r-→n时，d)→0， x 当x→0时，h(x)→-o,如图，作出函数h(x)的大致图象， 因为函数g(w)=f()-在(-”，0)上恰有两个零点， 所以函数y=k,y=(x)的图象恰有两个交点， 所以k的取值范围为(0，与)， y=h(x) 17.解：（1)提出假设H。：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得2×2列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 第1页共4页 x2-400x030x110-70×902_160 ≈16.162>10.828， 200×200×220×18099 根据小概率值=0.001的独立性检验推断H。不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关： (2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在[30,40)与[50,60]内的人数分别为1、2，依题意， 5的所有可能取值分别为0、1、2， P(G-0)-PX-0.r-0)+PX-1r-D-Ci+CcCi-12 C3C-35 Pg=)=Px=0,r=)+Px=1,r=0+Px-1r=2)=CC+C+1-19 P(5=2)=P(x=0,y=2)=C3C-4 C335 所以5的分布列为： 5 0 1 2 19 4 35 5 35 所以5的藏华斑为0-0号1号25器 3535 (3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件A，B，C，星期天选择跑步为事件D, 则④SC)D④D到Dg PD=noA+NgD+gDe=a+合+片 PAD)=P(DA)P①_1 P(D) 6 1&(1)函数f)=mas+w>0,水到的最小正周期为元，则-元0=2， 又周=m2哥90，则mo引-0,9=红， 又水行，0=3，所以了(=sm2x+智 3 令2-5s2x+≤2+5keZ)解得m-5sx≤m+5ke刀， 2 3 12 12 质以函数fx)的单调递增区间为流泛，a+ (2)F()的值域即为f(x)在区间日，日+ 上最大值与最小值之差的取值范围. 3 @若四的对称辅在区间[00+司 内， 不纺设对称精晋在00+写引内， 3 第2页共4页 则/)的最大值为1，当0：引f@,即/用))方时，（回的最小值为1方 ②若)的对称轴不在区间00+写内，则了)在区间Q、0+引内单调，在两端点处取得最大值与最小位， 3 则o=0-升roa÷+ma+写到 a20*+m2o-0tg5, 强激)=加2x+在区同[Q,0+上的最大值与最小值之范的取值范为[， 即F(Θ)的值域为 3 35. (3)把曲线y=f(✉)向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g()=s如， 当mN=0时，g(叫，8().gm+川可以作为△4BC三边长，将问题转化为证明任意两数之和大于第三个 数. 证明如下： 先证明：g(m+g(m+n)>g(n) 由题意可知，g+g(m+川=snm+s血(mr+川>0，g创=s血m>0,mnQ到引， g(m)+g(m+n)-g(n)=sinm+sin(m+n)-sinn sinm(1+cosn+sinn(1-cosni)>0 故g(m)+g(m+n)>g(n),同理，g(n)+g(m+n)>g(m yg(m)+g(n)=sinm+sin n>sinmcosn+sinncosm=g(m+n). 综上g(m),g(nm),g(m+n能作为△ABC三边长. 设g(+)当作边时所对的角为a, cosa=sinm+sin'n-(sin mcosn+sin ncosm) 2sin msin n -sin'm+sin'n-sin'mcos'n-sin'ncos'm-2sinmcosnsinncosm 2sin msinn =2sin'msin'n-2sin msinncosmcos n=sin msinn-cosmcosn=-cos(m+n)=cos(mn, 2sin msinn 又因为∈(0，)，π-(m+m)∈(0，T), 所以a=π-(m+n),sina=sin兀-(m+n)]=sin(m+m）, 由正弦定理可得，△ABC的外接圆的直径为2R=8m+m-+m-1,即R=}为定值 sin a sin(m+n 2 第3页共4页 19解：(0当a=1时，0)=生-，求号将/2x8, 令8)=了国，求导得g)=2+子+。>0，函数了)在Q)上单调道增， 而f'")=0,，则当x∈(0,1)时，f'(x)<0:当x∈A,+m)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)的单调递减区间为(O,1)，单调递增区间为(1，+o). (2)不等式f≥3nr台+l+ae≥3n台e6x2+1-3n)2-a, 设函数0=e(+上-3h),求导得h)=e+2x-2-二-3h, x x2 设+2子片-w:)-2是是 函数p(x)在(0，+w)上单调递增，且pI)=0, 则当x∈(0,1)时，(x)<0,(x)<0;当x∈1，+n)时，px)>0,(x)>0, 函数h(x)在(O,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，h(x)min=h)=2,则-a≤2， 所以a的取值范围是[-2，+∞). (3)由(2)知，当a=-2时，f(x)≥3nx,当且仅当x=1时等号成立， 则fO)+f>s+30,即o>-付，同理f0>-码， 于是-f的-f白<f6)+f0=0,即f日+f码>0， 当a=-2时，f0-0,f6)=2x-+2e,显然当x21时，了)>0，f)单调递增， 当0<x<1时，令()-了，则)-2+子-2e, 当x<1时，i0的>4-2c>0:当0<x<时，40>182e>0, 则当0<x<l时，(x)>0,(x)=f"(x)单调递增， 而号942c<0,且了0-30，则存在唯-%∈》，使海x)-0, 当x∈(0，x)时，f'(x)<0;当x∈(xo,1)时，f"()>0，函数f(x)在(0，x)上单调递减，在(xo,1)上单调递增，又 f令>8-2e>0,f,)f0四=0，则存在唯一e日)，使得/)=0， 因此当x∈(0，x)UL,+o)时，f(x)>0,当x∈（化，1）时，f()<0, 而f0=-jo)<f,且ze+m),于是1<号即<1， 又f6)=-f@<0,则<s<t<1,即t∈，)，从而f<0,所以f<f白+f. 第4页共4页 河南省实验中学2025——2026学年上期月考试卷 高三 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则　　 A． B． C． D． 2．下列命题中正确的是　　 A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“且”为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．命题“，”的否定是“，” 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化．为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：，依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为　　 （参考数据：， A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知，则　　 A． B． C． D． 6．已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A．（，] B．（，] C．[，） D．[，） 7．已知函数有三个不同的零点，，．其中，则的值为　　 A．1 B． C． D． 8．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A．在上单调递增 B． C．若，则的值域为 D．若，则的值域为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是　　 A．数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5 B．展开式中项的系数为140 C．若随机变量服从二项分布，则方差 D．若随机变量服从正态分布，则 10．已知函数，，，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是　　 A．的最大值为3 B．的图像关于点对称 C．直线是的一条切线 D．若关于的方程在，上有2023个零点，则的最小值为 11．已知定义在上的函数满足：对任意实数，，恒有，若（1），当时，，则下列结论正确的是　　 A． B．函数的最小值为 C．为上的增函数 D．关于的不等式的解集为，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知变量和的统计数据如表 1 2 3 4 5 4 6 7 8 若，线性相关，且经验回归方程为，则　 　 ． 13.已知函数的极值点与的零点完全相同，则 　 　 ． 14．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若，分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 　 　． 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．的内角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 16．已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 17．为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 次数 ， ， ， ， 每周次 75 55 32 58 每周次 20 34 40 30 每周5次及以上 8 8 24 16 （1）若把年龄在，的锻炼者称为青年，年龄在，的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在，与，的人数分别为，，，求的分布列与数学期望； （3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种．已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 19．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若，设，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025——2026学年上期月考试卷答案 高三 数学 ACBDD CAD 9.AC 10.BCD 11.ACD 12.7 13. 14. 15.解：（1）因为，由正弦定理可得， 在中，，所以， 因为，则可得，又因，所以； （2）根据余弦定理可知，，则可得， 又因为，且，可得， 所以，可得，则． 16.解：（1）根据函数，得导函数，那么，， 因此函数在点，处的切线方程为，即； （2）令函数，那么， 令函数，， 令导函数，那么，令导函数，那么， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此， ，当时，， 当时，，如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数，的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为． 17.解：（1）提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在，与，内的人数分别为1、2，依题意，的所有可能取值分别为0、1、2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为； （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，，，星期天选择跑步为事件， 则，， ． ． 18. （1）函数的最小正周期为，则 ， 又，则，， 又，，所以， 令解得， 所以函数的单调递增区间为； （2）的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内， 则的最大值为1，当，即时，的最小值为； ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值， 则 ， 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为，即的值域为. （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，可以作为三边长，将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数 . 证明如下： 先证明： 由题意可知，，，， 故，同理， 又. 综上能作为三边长. 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，， 所以，， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为，即为定值. 19.解：（1）当时，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）不等式， 设函数，求导得， 设，， 函数在上单调递增，且， 则当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $河南省实验中学2025一2026学年上期月考试卷 高三数学 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。已知集合A={x0<x<3},集合B={x|0<log2x<2},则A个B=() A.{x|1<x<3}B.{x|0<x<4) C.{x|0<x<3}D.{x|1<x<4} 2.下列命题中正确的是() A。若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B。“ina=}是“a=的充分不必要条件 C。命题“x∈R,2>0”的否定是“3x。∈R,2o≤0” D。命题“x∈R,2>0”的否定是“x∈R,2≤0” 3。已知函数f(x)=hn(ar+2)在区间Q,2)上单调递减，则实数a的取值范围是() A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a-1 4.倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为 了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水 中含有的污染物的浓度为B=1g/L，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为卫=0.94g/L，第n次 净化后所排放的废水中的污染物的浓度D=B-(P。-P)×3sm艹(t∈R,∈了)（单位：mg/),依据当地环保要求， 企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过0.04g/L，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度 达标，则废水净化的次数至少为() (参考数据：n2≈0.7，n3≈1.1) A。4 B。5 C.6 D.7 3已知a+臣+ma登-9，则ma+马-( 121 ) B.1 3 c.g D.g 6.已知函数)-co心am到}®>0在区同0，T]止有且仅有3条对称轴，则和的取值范国是《） c) 第1页共4页 7。已知函数f()=(e)2+(a-1)xe)+1-a有三个不同的零点x,x2,x·其中x<x2<x,则 (1-xe)1-x,e)1-x,e)2的值为() A。1 B。(a-1)2 C。-1 D。1-a 8。高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，f(x)=[x]称为高斯函数，其中，[x]表示不超过x的最大整 数，例如[-1.3]=-2,1.6]=1，则下列说法正确的是() A.f(x)=x-[x在[k,k+1](k∈Z)上单调递增 B.x∈R,x-12[xJ c若)=，则yU叮的值城为-1au吗 D.若f(x)=N+cosx--cos,则y=[f(x)]的值域为0，} 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9。下列说法正确的是() A。数据1,2,2,5,5,5,7,9,11的众数和第60百分位数都为5 B。(2+3x)1-2x)‘展开式中x3项的系数为140 C.若随机变量服从二项分布B(6寻，则方差D2)号 D.若随机变量X服从正态分布NO.),则P0X水）=2PX> 10.已知函数f)=Asin(ox+)-1(A>0,o>0,1p水，若函数yf(的部分图像如图所示，则下列结论 正确的是( y A.f(x)的最大值为3 B.f的图像关于点（百-）对称 C.直线23x+y-V3π+2=0是f(x)的一条切线 6 D.若关于x的方程f(x)=0在[，<m上有2023个零点，则n-m的最小值为1011π 11。已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x,y,恒有[f(x)+1][f()+1]=f(x+y)+1,若f(1)=1, 当x<0时，f(x)<0,则下列结论正确的是() A。f(0)=0 B.函数f(x)的最小值为-1 C。f(x)为R上的增函数 D。关于x的不等式f(x)+f(2-x)>3的解集为(-n，0)LU(2,+w) 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12。已知变量x和y的统计数据如表 1 2 3 5 y 6 1 m 8 若x,y线性相关，且经验回归方程为y=1.2x+n,则51-m= 13.已知函数fw)=sinx+cosx的极值点与g()=tamn(ar+)的零点完全相同，则a=_ 4 14.己知函数y=e的图象与函数y=-)-1的图象关于某一条直线1对称，若P,Q分别为它们上的两个动 4 点，则这两点之间距离的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 l5。△4BC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,且√b+csinA-√5 ccos.4=0. (1)求角C的大小： (2)若c=7,且a+b=8,求△ABC的面积。 16.已知函数f(x)=(2x+1)e. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (2)若函数g(x)=f(x)-在(，0)上恰有两个零点，求k的取值范围。 17。为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中20-60岁的400名居民体 育锻炼的次数，得到如下的颜数分布表： 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 次数 每周0~2次 75 55 32 58 每周3~4次 20 34 40 30 每周5次及以上 8 24 16 (1)若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称 为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列2×2列联表，并根据小概率值 α=0.001的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 第3页共4页 (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机 抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分别为X,Y,5=X-Y|,求5的分布列与数学期望： (3)小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种。已 知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分 别为行子若小明显舞天选择离步，则他星朔六也选择夷步的薇率为多少？ n(ad-be)2 参考公式：t=a+bc+da+e0+0n=a+b+c+d. 附： C 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18函数)-n@r+po>0外孕的最小正周期为，（吾0]为该高激的一个对移中心， (1)求函数∫(x)的解析式及单调递增区间： 回当名Q0+写引0eR)时，设)的最大位为(o,求F(o的位城 3)把曲线y=f(x)向右平移严个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线y=g(x) 6 试问当mn∈Q时，g(叫，g),8m川能否作为△ABC三边长？若能，给出证明，并探究△BC的外接 圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由 19.已知函数fW=+ae(r>0. (1)若a=1,求f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥3lnx,求a的取值范围： 8若a=-2,设0<5<1<t,且f)+f@=0,证明：f)<f白+f白 第4页共4页