精品解析：河南郑州市荥阳市高级中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷（A卷）

2026-2027学年高三上学期10月月考（A卷） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时为，使得成立的最大值为，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8. 已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________ 13. 复数的虚部为_____. 14. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中的面积为，，则c的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. （1）求ω的值; （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 18. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期10月月考（A卷） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由前项和以及等差中项的性质可知，进而求公差即可. 【详解】记等差数列的公差为，依题意，，故，则. 故选：B. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 4. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 5. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值. 【详解】函数. 令，则，则. 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到在上恒成立，将其转化成在上恒成立，求出函数，在区间上的最小值为，所以. 【详解】求导得到， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 函数，在区间上单调递增，最小值为； 所以， 故选：B. 7. 已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时为，使得成立的最大值为，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，进而结合等差数列的性质求解. 【详解】等差数列中，有， 由可得， 由于存在最大值，故为单调递减的数列，即公差， 故，因此为的最大值，即， 又， 故使得成立的最大的为31，即，故. 8. 已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得且，利用在区间上存在极大值，可得，进而求解即可. 【详解】因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，即可判断B的正误，对A，由等差数列的定义，即可求解；对C，利用等差数列的前项和公式及等差数列的定义，即可求解；对D，先判断的正误，从而将问题转化成求，即可求解. 【详解】因为，当时，， 所以时，， 又，满足，所以，故B正确， 对于A，因为为常数，所以是等差数列，故A错误， 对于C，因为，则为常数， 所以数列是等差数列，故C正确， 对于D，因为，则时，，时，， 所以， 又，所以，故D错误. 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合三角恒等变换和正弦定理求得，求出判断选项A；利用正弦定理求外接圆的半径判断选项B；由正弦定理得，结合角的范围求的取值范围判断C选项；设，，结合正弦定理和三角恒等变换得，由的范围求的取值范围. 【详解】锐角中，，， ，，. 因为，所以， 化简得，所以. 由，得，由正弦定理得， 所以，则，所以. 对于A，，，A错误； 对于B，由正弦定理得（为外接圆的半径），即，解得，B正确； 对于C，因为为锐角三角形，所以， 得，则. 由正弦定理，得， 所以，即的取值范围为，C正确； 对于D，设，，由为锐角三角形，得，则. 由正弦定理得，则，. 所以， 即的取值范围是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系与二倍角的正弦公式求解. 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得   因为， 因此有， 则 . 13. 复数的虚部为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简,即可得复数的虚部. 【详解】复数 由复数乘法运算化简可得 由复数定义可得虚部为5 故答案为:5 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法与加减运算,复数的概念,属于基础题. 14. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中的面积为，，则c的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过余弦定理，三角形的面积公式以及辅助角公式进行求解即可. 【详解】依题意，，而， 则，，，而， 则，其中， 故，则， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值； （2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 且，可得， 且，可知，可得. 【小问2详解】 由（1）可知：，，则， 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得到切线斜率，从而得到切线方程； （2）由在区间上单调递增得，分离参数得，利用基本不等式求得，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以，所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 令，即，， 恒成立，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以，即， 所以，即实数的取值范围为. 17. 已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. （1）求ω的值; （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象关于直线 对称得到，得到关于的等式，再由在区间上单调得到关于的取值范围即可求解. （2）由有两个零点，得到，转化为函数与直线有两个交点，求出在区间的值域并作图求解即可. 【小问1详解】 由题意可知,则 , 故， 又在区间上单调，则，即， 则，故或. 当时，在区间 上单调递增，符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 综上所述，. 【小问2详解】 令，则， 由（1）可知 ，故当时，， 作出函数在区间上的大致图象如下所示， 因为，所以a的取值范围为 . 18. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 19. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 【答案】（1）是的控制函数 （2） 当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线为，整理得， 令，则， 令解得，所以在单调递增，在单调递减， 又，所以在上小于等于恒成立， 即在上恒成立，所以是的控制函数， 由题意. （3） 由题意 设在处的切线方程为， 则，因为， 且， 所以 . 所以， ， 所以， 又， 当时，恒成立， 函数必是函数的“控制函数”. 若，则函数为函数的“控制函数”， 即，得. 若，则函数为函数的“控制函数”， 即，得. 若且，则， 假设函数存在“控制函数”，满足， 设，则， 又， ， ，显然是一次函数，函数单调递减， ， 又与矛盾. 综上，当且仅当或时，. 【解析】 【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可； 【小问1详解】 当时，令， 所以，令解得或， 所以在单调递减， 又因为，所以在上小于等于恒成立， 即在上恒成立，所以由题意是的控制函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $