精品解析：上海市吴淞中学2026-2027学年度第一学期高三年级10月阶段测试数学试卷

上海市吴淞中学2026—2027学年度第一学期 高三年级数学阶段测试试卷 2026.10 一．填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数的最小正周期是 故答案为： 2. 幂函数（为实数）图象经过的定点为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质：1 的任意次幂都等于 1求定点. 【详解】当 时，，与 的取值无关， 故幂函数 的图象经过的定点为. 3. ，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因此. 4. 二项式的展开式中，的系数为______. 【答案】10 【解析】 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】要中含有的项,则需要在5项中选取2个与3个相乘,故含有的项为 ,故的系数为10 故答案为10. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用与其中某项的系数问题,属于基础题型. 5. 若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出，利用算出半焦距，从而确定右焦点坐标；再根据抛物线顶点在原点且焦点在轴正半轴上，设出标准方程，利用焦点坐标求出参数，即可得到抛物线方程. 【详解】已知双曲线，则， 由，解得半焦距.故双曲线的右焦点坐标为. 因为抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 由题意知，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得. 所以抛物线的标准方程为. 6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】考查三角函数的定义和诱导公式. 【详解】角以为始边，其终边经过点， 由三角函数的定义有, 则. 7. 已知集合，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合，利用对数函数的定义域以及分式不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以，故答案为. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 8. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，运用数形结合的思想可求得答案. 【详解】解：：首先画出函数的图像，令有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对应函数的零点问题，就是函数与轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数． 9. 公差不为的等差数列的前项和为，若也是等差数列．则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本量法结合代数式恒成立可求比值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为也是等差数列，故存在，使得， 故，其中， 故，故，故， 故，故. 10. 在平面直角坐标系中，已知是圆：上的动点，若，，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，再利用点到圆心的距离减半径得到最小值，点到圆心的距离加半径得到最大值，即可得到答案. 【详解】 圆：的圆心为，半径为， 因为， ， ， 所以. 即的取值范围是. 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 12. 定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则，已知等比数列的首项，且，则公比的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数与的性质，求出方程的解的取值范围，进而可求得公比的取值范围. 【详解】根据函数的定义，可知时，， 当时，，，此时无解； 当时，，的值为区间内的整数，则. 若有解，则，解得， 又，则，，， 此时，由，可知， 所以，解得； 当时，，的值为区间内的整数，则. 若有解，则，解得， 又，则，，， 此时，由，可知， 所以，解得. 等比数列中，设公比为，则，，，， 由函数的性质可知，当时， 方程有解. 综上所述，当时，符合题意. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数与方程，考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想的应用，考查推理论证能力，属于难题. 二．选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 设，分别为的两个内角，所对的边，则“”是“”成立的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，即，.因为外接圆半径，可知与互为等价关系，从而判断充分必要性. 【详解】在中，由正弦定理得：， 所以，. 因为，所以. 即“”可以推出“”，且“”也可以推出“”. 所以“”是“”成立的充要条件. 14. 设，为实数，则不等式等号成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由等号成立，推导出等价条件或，再结合选项判断即可. 【详解】等号成立，即， ①需要满足. ②两边平方，得，化简得 ，所以. 由①②得或. 对于A，不满足②，故A错误； 对于B，取，满足，但是不满足①，此时，，不等式没有取等号，故B错误； 对于C，取，满足，但是，，不等式此时没有取等号，故C错误； 对于D，， 当时，，得，不等式取等号， 当时，不等式取等号， 当时，，得，不等式取等号，故D正确. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系 【详解】作出平面，使得平面， 当时，平面或平面， 结合旋转分析可知有两次使得． 故选：A 16. 将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间（，且）满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移变换得到，求出零点，分析零点分布间距，再求容纳至少个零点的最小区间长度. 【详解】由题意得周期， 令，， 所以或， 解得，， 零点间隔交替为,，一个周期内个零点， 要包含个零点且最小，选短间隔开始，再加上个周期， . 三．解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）由平面，平面， 得，又，建立如图空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，故， 且平面PBC，即平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面的法向量满足，即可证明； （2）由（1）可得，利用向量法求点面距即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以点D到平面的距离为 ， 即点D到平面的距离为. 18. 年月日，吴淞中学第届校园运动会成功举行，并邀请国际友好学校学生一起参加．运动会的志愿者被称为“小淞果”．某运动场馆内共有小淞果名，其中男生名，女生名，这些小淞果中会说德语和会说韩语的人数统计如下： 男生小淞果 女生小淞果 会说德语 会说韩语 （1）从这名小淞果中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小淞果中至少有一名女生的概率； （2）从这些小淞果中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的小淞果是男生”，用表示事件“抽到的小淞果会说韩语”．判断事件与是否相互独立？并说明理由． 【答案】（1） （2）事件与相互独立． 【解析】 【分析】（1）设所求事件为，总事件数为种，事件包含“一男一女”和“两名女生”两种情况，共有种，再求概率即可； （2）根据独立事件的概念，检验与是否相等即可． 【小问1详解】 解：设“从这名小淞果中随机抽取两名，至少有一名女生”为事件． 从名小淞果中随机抽取两名，基本事件总数为：， 事件包含“一男一女”和“两名女生”两种情况， 其包含的基本事件数为：， 所以，事件的概率为： 答：抽取的两名小淞果中至少有一名女生的概率为． 【小问2详解】 解：由题意可知，总人数为人， 事件为“抽到的小淞果是男生”，男生共12人，则：， 事件为“抽到的小淞果会说韩语”，会说韩语的人数为人， 则：， 事件为“抽到的小淞果是男生且会说韩语”，人数为7人， 则：， 因为：， 所以：，故事件与事件相互独立． 答：事件与相互独立． 19. 已知 （1）求的单调增区间： （2）设的三边分别是，，，若，面积为，求周长的最小值． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变形化简得，再根据整体法求单调区间即可； （2）由条件可得，结合三角形面积公式可得，再利用基本不等式求最值即可． 【小问1详解】 令，， 解得，， 故的单调增区间为，． 【小问2详解】 由得， 因为，所以， 则，解得． 由三角形面积公式得 由余弦定理得 周长， 由基本不等式得，， 当且仅当时等号成立，此时，． 故周长的最小值为． 20. 已知椭圆，为坐标平面上一点． （1）求椭圆四个顶点构成的四边形的面积； （2）已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值； （3）若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为. （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程得四顶点坐标，用菱形面积公式求解；（2）取最大值时，也取最大值，将表示为关于点的纵坐标的二次函数，对其对称轴分类讨论求得最值；（3）先由直线与椭圆有两个交点，可得判别式大于零，再利用韦达定理证明点和点在轴的同一侧，可得，综合求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，椭圆的四个顶点坐标分别为，， 因此由椭圆四个顶点构成的四边形为菱形，面积． 【小问2详解】 设，则，即， 所以， 设，且二次函数的图象关于对称， 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 当，即时，，所以的最大值为； 综上所述，当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为. 【小问3详解】 设，，因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理． 直线，由可得， 因为直线与椭圆有两个交点，故，解得或． 由韦达定理得，，，故，所以， ， 化简得，， 所以，解得， 综上所述，的范围为. 21. 对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. （1）设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； （2）设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】（1）和 （2）是， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由新定义结合三角函数图象得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，再用作差法证明函数图象在两直线之间，由两点间距离公式求出； （3）由（2）可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【小问1详解】 曲线，由正弦函数的图象可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. 【小问2详解】 曲线，，令， 即，当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 同理，可得当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 令，则 ，， 和是函数的一对“双夹线”，且. 【小问3详解】 ，则， ，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， 直线与至少存在两个切点； 同理，可得直线与相切于点和， 直线与至少存在两个切点； 令， 则， ， 在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，且， 故的所有取值构成的集合. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市吴淞中学2026—2027学年度第一学期 高三年级数学阶段测试试卷 2026.10 一．填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期是________________． 2. 幂函数（为实数）图象经过的定点为________． 3. ，则________． 4. 二项式的展开式中，的系数为______. 5. 若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则________． 7. 已知集合，则_____________． 8. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 9. 公差不为的等差数列的前项和为，若也是等差数列．则________． 10. 在平面直角坐标系中，已知是圆：上的动点，若，，，则的取值范围为________． 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 12. 定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则，已知等比数列的首项，且，则公比的取值范围是_______. 二．选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分） 13. 设，分别为的两个内角，所对的边，则“”是“”成立的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 设，为实数，则不等式等号成立的条件是（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间（，且）满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 18. 年月日，吴淞中学第届校园运动会成功举行，并邀请国际友好学校学生一起参加．运动会的志愿者被称为“小淞果”．某运动场馆内共有小淞果名，其中男生名，女生名，这些小淞果中会说德语和会说韩语的人数统计如下： 男生小淞果 女生小淞果 会说德语 会说韩语 （1）从这名小淞果中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小淞果中至少有一名女生的概率； （2）从这些小淞果中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的小淞果是男生”，用表示事件“抽到的小淞果会说韩语”．判断事件与是否相互独立？并说明理由． 19. 已知 （1）求的单调增区间： （2）设的三边分别是，，，若，面积为，求周长的最小值． 20. 已知椭圆，为坐标平面上一点． （1）求椭圆四个顶点构成的四边形的面积； （2）已知为实数，设，点为椭圆上的动点，求的最大值； （3）若为椭圆的下顶点，过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线，交于点、，若，求实数的取值范围． 21. 对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. （1）设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； （2）设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； （3）对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $