上海交通大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试卷

2026-2027 学年度第一学期 高三数学调研测试卷 （满分150分，120分钟完成．答案一律写在答题纸上．） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．设全集为，若，则可以用区间表示为　　　　 ． 2．设复数满足（为虚数单位），则　　　　 ． 3．*若，则　　　　 ． 4．已知等差数列的前项和为，若，，则　　　　 ． 5．*若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为　　． 6．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是　　 ． 7．已知对于任意实数，都有，则　　　 ． 8．在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上两个动点，且，则的最小值为　　　　　． 9．与圆关于直线对称的圆的方程为　　　　　． 10．*某校艺术节汇演，已知高一、高二、高三分别选送了4、3、2个节目．若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，则共计有　　　　 种安排演出顺序的方案． 11．如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个景观点，点到顶点的距离为30米，平分，边、的长度均为40米．现需要沿着草地的边安装一圈景观灯带，则该灯带的总长度为　　　 米（精确到1米）． 12．设（常数），数列满足，．若存在，使得，则可取的最大值是　　　　 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．*下列不等式对任意实数、都成立的是（ ）． A． B． C． D． 14．下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（ ）． A． B． C． D． 15．空间中，设、、是三个向量且、不平行，下列关于（）的命题中，正确的命题是（ ）． A．一定存在使得等式成立 B．一定存在两个使得等式成立 C．至多存在一个使等式成立 D．可能存在无穷多个使得等式成立 16．平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（ ）． A．①成立；②成立 B．①成立；②不成立 C．①不成立；②成立 D．①不成立；②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，-为正四棱锥，为底面的中心． （1）若，，求绕旋转一周所形成的旋转体的体积； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分） *某地区为了了解居民用水情况，随机选取100户居民，将每户人均月用水量（单位：吨）数据按照、、、、、、、、分成9组，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中实数的值； （2）以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这100户居民每户人均月用水量的平均值（近似到0.1吨）； （3）从样本中人均月用水量不低于3.5吨的居民中随机抽取3户居民，求区间和中都有用户被选中的概率． *19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设，． （1）当时，求函数在区间的最小值； （2）对任意的，都有，求实数的取值范围． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为、，过作斜率不为零的直线，与双曲线交于、两点． （1）写出双曲线的离心率以及两条渐近线的夹角； （2）若点在第一象限，且，求的长； （3）设（其中），过、分别作的垂线，垂足分别为、．是否存在，使得直线与的交点总在轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由． 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数的定义域为．若存在常数，使得对任意给定的，，当时，总有，则称函数具有性质． （1）设，函数具有性质．若，求函数的表达式； （2）设，．若函数具有性质，求的所有可能值； （3）设，函数是定义域为的严格增函数．若 且是非空有限集，试问：是否存在常数，使得函数具有性质？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $