精品解析：上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高三上学期阶段教学评估数学试题

华实高中2026学年第一学期高三年级阶段教学评估（2026.10） 数学试卷 完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：杜佳伟，孙梦灵 审核：贾高翔 一、填空题（本大题共12题，第1∼6题每题4分，第7∼12题每题5分，共54分） 1. 若集合，，则________． 2. 函数的定义域为________． 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则________． 4. 已知，则________． 5. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 6. 不等式的解集为______． 7. 已知为等腰三角形，且，则________． 8. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 9. 设，函数在区间上恰有2个极值点和1个零点，则实数的取值范围为________． 10. 已知复数满足，，则的最小值是________． 11. 已知是边长为6的等边三角形，点在边上，且，若平面内动点满足，则的最小值为________． 12. 已知点，，定义为点A和点B之间的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为，则实数a的值为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线（且）恰有4个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 16. 已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题共5题，第17∼19题每题14分，第20∼21题每题18分，共78分） 17. 设全集，集合，集合． （1）若，求集合； （2）若，求实数m的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求和的值； （2）若为锐角，且，求的值． 19. 已知向量，，函数． （1）求的值域和单调增区间； （2）已知为锐角三角形，a，b，c为的内角A，B，C的对边，，且，求面积的取值范围． 20. 已知函数，． （1）若，求函数的最小值； （2）对于函数，，设.对于点集M，若存在，使得任取，总有，则称为“最高点”.对于函数和，若有最高点，求实数a的取值范围； （3）若时，，求实数a的取值范围． 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华实高中2026学年第一学期高三年级阶段教学评估（2026.10） 数学试卷 完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：杜佳伟，孙梦灵 审核：贾高翔 一、填空题（本大题共12题，第1∼6题每题4分，第7∼12题每题5分，共54分） 1. 若集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可． 【详解】由题得，， 又， 所以． 2. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义，则， 解得 即，所以函数的定义域为. 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， ∴. 4. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【详解】. 5. 已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 6. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域限制与单调递增性质，将原不等式转化为一元一次不等式组，求解后取交集即可求解. 【详解】根据对数函数的性质，原不等式等价于不等式组， 解得， 因此，不等式的解集为. 7. 已知为等腰三角形，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质分类讨论相等的边，排除不符合三角形三边关系的情况，再用余弦定理计算. 【详解】约定边长分别为中角的对边，已知，故，对等腰三角形的等边情况分类讨论： 若，此时三边长为，满足，不符合三角形两边之和大于第三边的构成条件，舍去该情况； 若，此时三边长为，满足三角形三边关系，由余弦定理得：  ， 所以. 8. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及导数判断极值即可求得结果. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以， 又，在处取得极值， 所以，可得， 经检验，时，为极小值点，满足要求， 所以. 9. 设，函数在区间上恰有2个极值点和1个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定时的取值范围，分别根据正弦函数恰有2个极值点、1个零点的条件列不等式，取交集得到的取值范围． 【详解】已知，当时，令，则， 正弦函数的极值点满足，零点满足， 由恰有2个极值点的条件：内应包含两个极值点，不包含第三个极值点， 因此列不等式：，解得， 由恰有1个零点的条件：内应包含一个零点，不包含第二个零点， 因此列不等式：，解得， 所以的取值范围为． 10. 已知复数满足，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【详解】设，其中，则其共轭复数，，， 两式相等，可得，即，因此或. 由复数模的定义，，两边平方得， 表示复平面上以原点为圆心，半径为的圆及其内部， ，表示复平面上点到定点的距离，， 当时，点在虚轴上，满足的点到的最小距离为， 当时，点在实轴上，满足的点到的最小距离为， 比较，因此的最小值为. 11. 已知是边长为6的等边三角形，点在边上，且，若平面内动点满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合几何图形特征，建立平面直角坐标系，设点，利用求出，之间的数量关系，然后表示出，结合函数性质即可求解． 【详解】因为是边长为6的等边三角形，点在边上，且， 所以建立如图所示平面直角坐标系． 故，，，． 设，则，，， ，，可得． 因为，所以， 化简可得，即． 故 ． 当时，取得最小值，最小值为． 12. 已知点，，定义为点A和点B之间的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题核心是通过坐标互换，将自定义的 “镜像距离” 转化为互为反函数的两条曲线间的普通距离，再利用反函数关于对称的性质，把两曲线最小距离转化为单条曲线到直线最小距离的 2 倍，通过导数求平行切线定位最小距离点，解方程后务必检验 “曲线与是否相交” 来取舍解. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 由对称性，两条曲线分居直线两侧，对任意分别在两条曲线上的点，根据点到直线的距离性质，两点间距离不小于两点到直线的距离之和，又由两曲线关于对称，它们到直线的最小距离相等，记为，因此， 等号成立当且仅当线段，且分别为两条曲线上切线平行于的切点. 已知的最小值为，因此，解得单条曲线到直线的最小距离为. 对反函数求导，得切线斜率为， 令切线斜率等于1（与直线平行），即，解得， 反函数定义域为，由于恒成立，因此该切点在定义域内，存在性成立， 将代入反函数，得切点纵坐标， 即切点的坐标为. 切点到直线（即）的距离即为，由点到直线距离公式为 ，结合，列方程， 化简得，解得或. 若曲线与直线有公共点（含相切），则可取重合于该公共点，此时镜像距离为，与题设“最小值为”矛盾，故需舍去. 当时，反函数为（），令，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减，所以，取得最大值为， 又当时，，由零点存在定理，存在零点，即曲线与有公共点，不符合题意，舍去； 当时，反函数为（），令，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减，所以，取得最大值为， 因此恒成立，曲线与无公共点，符合题意. 综上，. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，对数函数的定义域为， 因此取，满足，但此时没有意义，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，由于指数函数是单调递增函数，所以当时，有，故D正确. 14. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理及两角的和差公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即, 所以， 整理得， 又因为，所以, 所以， 所以， 所以为等腰三角形. 15. 已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线（且）恰有4个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】因为，所以， 从而可得，所以函数是以2为周期的周期函数， 当时，，可得； 当时，，由，可得， 所以，从而可得， 所以，在上有：， 又，且的定义域为， 当时，作出两函数的图象，如图， 由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，作出两函数的图象，如图， 结合函数的周期性可知，两函数的图象在上没有交点； 在，，上均有2个交点； 要使的图象与曲线，且恰有4个交点， 由图可知，只需，解得. 16. 已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义，对于①，给定对应的集合包含关系，推得函数大小关系，进而可证明函数单调性；对于②，通过列举特例，可证明错误. 【详解】对于集合而言，越小，不等式越容易被满足， 则意味着集合中元素可取的值就越多， 因此若，则，即， 反之，若，则必有， 对于①，若对于任意的，都有，则必有， 即对于任意的，都有，故严格单调递减，故①正确. 对于②，取，则其值域为，取， 此时对任意的，，因此， 即此时所有的均为空集，满足条件. 但此时不是周期函数，故②错误. 三、解答题（本大题共5题，第17∼19题每题14分，第20∼21题每题18分，共78分） 17. 设全集，集合，集合． （1）若，求集合； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 不等式等价于，解得，即集合，则或． 当时，集合，故集合． 【小问2详解】 由（1）得集合，且集合， 因为，所以或，解得或， 即实数m的取值范围为． 18. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求和的值； （2）若为锐角，且，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，再按两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式求解即可； （2）由同角的平方关系求出的值，再利用求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意可知为第一象限角， 因为，为锐角， 所以， 所以， 所以 19. 已知向量，，函数． （1）求的值域和单调增区间； （2）已知为锐角三角形，a，b，c为的内角A，B，C的对边，，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）值域为；单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即得函数的值域与单调增区间； （2）根据条件先求出角，由正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角形面积公式与和角公式展开，结合角的范围确定正切值的范围即可确定面积的取值范围. 【小问1详解】 ， 因，则，故； 由，可得， 即的值域为；单调增区间为 【小问2详解】 由可得， 因，则，故，解得， 由正弦定理，，则， 于是的面积 ， 因为锐角三角形，则，解得，则， 故，即面积的取值范围为. 20. 已知函数，． （1）若，求函数的最小值； （2）对于函数，，设.对于点集M，若存在，使得任取，总有，则称为“最高点”.对于函数和，若有最高点，求实数a的取值范围； （3）若时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导数符号判断单调性，进而求出最小值；（2）先将“最高点”的集合定义转化为“max函数存在最大值”，分别分析两个函数的最值性质，再根据最值的大小关系列不等式求解；（3）构造辅助函数，利用端点值为0的特点，通过二阶导数判断一阶导数的单调性，分类讨论参数范围，验证不等式恒成立. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为， ， 令，解方程，得正根（负根舍去）， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此是极小值点，也是最小值点， 故，函数的最小值为. 【小问2详解】 “有最高点”等价于：函数在上存在最大值（即存在，使得对任意，）. ，： 若，则，单调递增，时，，无最大值，不符合要求； 若，令，得，时， ，单调递增，时， ， 单调递减， 所以的最大值为. 在单调递增，时，故恒成立，无最大值（上确界为1，但无法取到）. 存在最大值，当且仅当的最大值不小于的上确界1（此时的最大值就是的最大值，且能取到），所以， 解得， 结合前提，得实数的取值范围为. 【小问3详解】 不等式对恒成立，代入， 整理得， 令，，需恒成立， 易知端点值， ， 设 ， 当时，，，故，则在上单调递增， 代入端点得，分情况讨论， 若，则，在单调递增，故，满足条件； 若，则，又 单调递增且时，故存在唯一使得，当时，单调递减，因此，不满足恒成立. 综上，实数的取值范围为. 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】（1）是，不是 （2） （3） 任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 【解析】 【分析】（1）根据“P－可见”定义分别验证即可； （2）求出方程，转化为方程在有且仅有1解，讨论即可； （3）任取得到在有且仅有1个零点，讨论的正负，得出时的正负，结合函数单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 ， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. 【小问2详解】 ,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $