2026--2027学年北师大版九年级数学上册期中模拟试题（三）

保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（三） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2.已知菱形的周长，一条对角线长为，那么这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3.四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 4.用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 7.对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 8.如图，在中，E为边上的点，，、交于点，的面积为9，则的面积为（   ） A．80 B．60 C．50 D．40 第6题 第8题 第9题 第10题 9.菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 10.如图，在正方形中，，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 12.如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 13．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的宽是 步. （一亩步） 14如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 第14题 第15题 15．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）解一元二次方程： (1) （2） (3) 17.本小题分如图，在中，连接． (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） (2)猜想四边形是什么图形，并加以证明． 18.本小题8分 如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置并写出点的坐标 ． (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的位似比为． (3)直接写出（2）中点的坐标 ． 19.本小题8分已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 20本小题10分如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 21.本小题10分今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 22本小题12分问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 23本小题12分） 如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． (1)线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； (2)当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边的中点落在的边上时，求的值． (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $保密大启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（三) 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前，填写好自已的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2.答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3.有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出 答题区域书写的答案无效。 4.请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.关于x的一元二次方程x+ax+b=0,若1-a+b=0则方程必有一根为() A.1 B.-1 C.0 D.2 【答案】B 解：，x2+ax+b=0,且1-a+b=0, .方程必有一根为x=-1: 故选B. 2.已知菱形的周长40cm,一条对角线长为16cm,那么这个菱形的面积是() A.192cm B.96 cm C.48cm D.40cm 【答案】B 解：如图，菱形ABCD的周长40cm,一条对角线AC长为16cm, 1 .'.AC L BD,AB=1x40=10(cm),OA=AC=8cm,OB=OD, 4 OB=AB2-OA2=6cm' .菱形ABCD的面积是2×AC·OB=16×6=96cm2), 故选：B. 3.四边形OBCD与四边形OEFG位似，位似中心是点O,位似比为1：3，则四边形OBCD与四边形OEFG的 面积比为( ) 41:3 B.3:1 C.1:9 D.1:5 【答案】c 解：，四边形OBCD与四边形OEFG位似，位似中心是点O,位似比为l:3, ∴.四边形OBCD与四边形OEFG的面积比为1：9， 故选：C 4.用配方法解方程x2-6x=3时，配方结果正确的是() A.(x+3=3 B.(x+3)}=12 c.(x-3}=3 D.(x-3}=12 【答案】D 解：原方程为x2-6x=3, 两边同时加上9，得：x2-6x+9=3+9 左边写成完全平方形式：-3)2=12. 故选：D. 5.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜 东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：己知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7 2 步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确 的是() A.(3x°+102=(7x-10 B(3x°+(7x-102=10 c.(7x+102=(3x-10y D.(（7x+(3x-10)}=10 【答案】A 解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 北 乙 B 十→东 甲 甲 设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间， 则AB=3x,BC=7x-10, 由勾股定理得，AB2+AC2=BC2 (3x)+102=(7x-10)2 故选：A. 6,如图，矩形ABCD的对角线AC,'BD相交于点O,AC=8,∠AOB=60°，则AB的长为( D A.45 8.35 C.8 D.4 【答案】D 解：，四边形ABCD是矩形，AC=8, 0A=OB=1AC=4 2 .∠AOB=60° ∴.△AOB是等边三角形， .AB=OB=4. 故选：D. 3 a b 12 ad-bc =1×4-2×3 7.对于实数a,b,c,d,定义运算cd 我们把它叫做二阶行列式，例如：34 x+13 =8 若x,则x的值为() A.-2或4 B.2或-4 C.2或4 D.-2或4 【答案】 x+13-8 解：x x :(x+1)x-3x=8 .x2-2x-8=0 :.(x-4)(x+2)=0 解得：=4，七2=-2 故选：A. BE 2 8.如图，在。ABCD中，E为BC边上的点，EC3,AC、DE交于点F,△CEF的面积为9，则 ABCD 的面积为( B E A.80 B.60 C.50 D.40 【答案】A 解：，四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,BC∥AD, ∴，△ECF∽aDAF, 4 CE CF SECE :'AD AF, AD BE 2 :EC3, CE 33 .CB2+35, CE CF 3 S.PCE=9 ADAF-5,S.DAF 25 S.CDE=CF=3 .S.ADF AF 5 ,△CEF的面积为9， .S.ADF=25 *25=15 3 S.4CD=S.ADF+S.CDF =25+15=40 ·平行四边形ABCD的面积为2S4cm=2×40=80 故选：A. 9.菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点G为CD的中点，以CG为边作菱形CEFG,其中点E在BC的 延长线上，连接AF,点M为AF的中点，连接CM,则线段CM的长为() A D M H A.3 B.6 cv 0.36 【答案】c 解：如图，连接AC,CF, A M ,四边形ABCD和CEFG都是菱形，AB=4,∠BAD=120°， 5 .AB=BC=CD=4,∠BCD=∠BAD=I20°，AB∥CD,BC∥AD,GF=CG=EF=CE, ∴.∠B+∠BAD=180° .∠B=60°， ∴.∠DCE=∠B=60°，△ABC是等边三角形， .AC=4,∠ACB=60°， .∠ACD=60°， ,点G为CD的中点， .'.GF=CG=EF=CE=2 DCF-1DCE-30 .∠ACF=∠ACD+∠DCF=60°+30°=90， 连接GE,交CF于点P,则 P-CG-1 CP=CG2-GP2 =3 .CF=2CP=23 AF=√AC2+CF2=6+12=2V万， ,点M为AF的中点， CM=AF=万 故选：C 10.如图，在正方形ABCD中，AB=6,E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME,点M落在四边形 ABCD内.点V为线段CE上的动点，过点N作NP⊥CM交CM于点P,则MN+NP的最小值为() D M 24 16 A.5 B.5 .9 【答案】A 解：作点P关于CE的对称点P',过点M作MF⊥CD于F,交CE于点G,连接DG,DM,如图： 6 P A B 由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线， ∴点P在CD上， .:MN+NP=MN+NP'≤MF, .MN+NP的最小值为MF的长， 由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线， AD=CD=6,DE=3. CE=CD2+DE2=62+32=35 1 二×CE×DO=二<CDx DE 2 D0-5 5 6V5 35 EO=DE2-DO2 5 :MF⊥CD,∠EDC=90°， DE∥MF ∴.∠EDO=∠GMO ,CE为线段DM的垂直平分线， ∴.D0=OM,∠DOE=∠MOG=90°， ∴aDOE≌aMOG, ∴.DE=GM, ∴.四边形DEMG为平行四边形， .∠M0G=90° ∴四边形DEMG为菱形 BG=20E=6 5,GM=DE=3, CG=CE-CG=3V5-65_95 55, DE∥ME 即DE∥GF ∴.aCFG∽aCDE. FG CG .DE CE, 9W5 FG=5 即33V5, 7 :G9 5 MF=3+924 55, 24 .MN+NP的最小值为5. 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.关于x的方程x-3x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 9 【答案】4 解：关于x的方程x-3x+c=0有两个相等的实数根， ·△=(-3)-4c=0 9 解得， 4, 0 故答案为：4， 12.如图，在Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，连接BD,AC=6,则BD的长为 【答案】3 解：：Rt△ABC中，D是斜边AC的中点， BD=14C-1x6-3 2 2 故答案为：3. 8 13.(古代数学问题)直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意 思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少，只记得在立契约的时候说过，宽是长的一 半.现在请你帮他算出它的宽是 步.（一亩=240步2） 【答案】30 解：设此矩形田的宽为x步，依据题意，可列方程为x2x=240×7.5, 解得：x=30(负值舍去)， 故答案为：30 AD AE 3 14如图，在。ABC中，点DE分别在边AB'AC上，且AC=AB5,若DE=9则BC=— E 【答案】15 AD AE 3 解：：ACAB5,且∠A=∠A, 3 ∴.△ADE∽aACB,相似比为5， DE 3 .BC5, 5 BC=DEX5-9x5=15 3 3 故答案为：15. 15.如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为16的矩形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落 在矩形ABCD的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为25，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部 分所示的周长为 B 【答案】9 9 解：设较小的正方形边长为x,较大的正方形边长为y,阴影部分的长和宽分别为a,b, 两个正方形的周长和为25， .4x+4y=25 +y=25 24, ∴.AD=x+y-a,AB=x+y-b :矩形ABCD的周长为16， .2AD+2AB=16, .AD+AB=8. :.x+y-a+x+y-b=8. 25 2a-b=8 9 a+b ∴.2(a+b)=9 阴影部分的周长=2(a+b)=9 故答案为：9」 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题7分)解一元二次方程： )-4-3=0 2)2(x-2)+x-2=0 8(x-3)=2(x-3) 解：(1)x2-4x-3=0, a=1,b=-4,c=-3 △=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-3)=28>0 x=-b±B-4ac-(-4)±2s4±2W万 2a 2×1 2 解得：x=2+万.：=2-√万 (2)x(x-2)+x-2=0 (x-2)x+I)=0 x-2=0或x+1=0 10 x=2,x2=-1 (3):(x-3°=2(x-3) ∴.(x-3)-2(x-3=0 ∴(x-3)(x-3-2)=0 .(x-3)(x-5)=0 …x-3=0或x-5=0 x=3,x2=5 17本小题8分)如图，在ABCD中，连接AC. B (1)用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O,交AD于点E交BC于点R,连接AF,CE;(保留作 图痕迹，不写作法，标记字母) (2)猜想四边形AFCE是什么图形，并加以证明. 解：(1)如图，直线EF即为所求. B (2)四边形AFCE是菱形. 证明：，直线EF垂直平分线AC, ∴，AE=CE,AF=CF,OA=OC ,四边形ABCD为平行四边形， .ADI BC .∠AEO=LCFO,∠EAO=∠FCO, .△AOE≌ACOF(AAS), .AE=CF, 11 .AE=CE=AF=CF, ∴四边形AFCE是菱形. 18.(本小题8分) 如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形 △A,B,C A 4 3 -6/-5∠4-3-2-10 1 2345x -3 (1)在图中标出 △ABC △ABC 和 的位似中心M点的位置并写出M点的坐标_， △A,BC (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出 的位似图形 4B,G,且△ABG与△MB,C的 位似比为2：1 (3)直接写出(2)中C2点的坐标_.' 解：(1)如图所示，连接A4,CG,线段A4,CC交与点M, A M -6 524-3-2-1012345 -1 B 2 -3 点M即为所求位似中心， ∴点M的坐标为(0,2)， 故答案为：(0,2) 12 C2)价以比为21，位以中为点4，如图所示，延长C4,反向延长C4,能利4G=4G y 1 C 6 5 A B 4 3 C9 B. C -5 4 -3 -2-10 12345x B -2 -3 、.△4B,C与△4B,C均为所求图形. (3)解：由(2)作图可知， .C2(-4,2)或C2(4,6, 故答案为：（4,2)或(-4,6)」 19,本小题8分已知关于x的一元三次方程X+k-2x+k-3=0 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程有一根为正数，求实数k的取值范围. (1)证明：(1)，a=1,b=k-2,c=k-3 ∴.b2-4ac=-4×1×k-3, =k2-8k+16=k-42 .k-42≥0’ .△≥0， .方程总有两个实数根. (2)X=-b±6-4ac_2-k±k-4 2a 2 X1= 2-k4k-4=-1,X,=2-kk+4=3-k, 方程有一根为正数， 13 ∴.3-k>0, k<3 ABCD AB∥CDAD∥BCCD=ADCD⊥ADAB=6E 20本小题10分)如图，四边形 中， 点 F分别在AB,AD上. D A E B (1)求证：四边形ABCD是正方形， (2)已知 E=35 ∠ECF=45° CF ,且 ,求的长 (1)证明：：AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， CD=AD ∴四边形ABCD是菱形， CD L AD. .∠D=90° ∴四边形ABCD是正方形： (2)解：如图，在AB延长线上截取BH=DF,连接EF,CH, D A B ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=CB=AB=6,∠A=∠CDF=∠ABC=∠BCD=90°， ∴.∠CDF=LCBH=90°， :ACDF≌ACBH(SAS) .∠DCF=∠BCH,CF=CH, :∠DCF+∠BCF=90° 14- .∠BCH+∠BCF=90°， ∴.∠FCH=90° .ECF=45° ∴.∠ECF=∠ECH=45°， 在△ECF和△ECH中， CF=CH ∠ECF=∠ECH=45° CE=CE :AECF≌aECH(SAS) ∴.EF=EH, CE=35,BC=6. BE=vCE2-BC=35)-62=3 .AE=AB-BE=6-3=3, 设BH=DF=x,则EH=EF=3+x,AF=AD-DF=6-x, .'AF2+AE2=EF2, :(6-+3=(3+,解得：x=2, DF=2, .CF=VCD2+DF2=V6+2-210 21(本小题10分)今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、 乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管 制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时.此期间，己 知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍 (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8α千米/小时( a>0),乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值. 解：(1)设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时， 20+2=1 根据题意得：10xx, 解得：x=4, 经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意， .10x=10×4=40(千米/小时). 答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时： 15 20 (4+8a) +a)=8 (2)根据题意得： 40 +or= 1 3 解得： a=2,4= 2(不符合题意，舍去)· 1 答：a的值为2. 22本小题12分问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的 一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证AB=BD 探究小组的证明思路是： Ac CD 如图2，过点C作CE‖AB,交AD的延长线于点B,通过构造相似三角形来证明A识=BD AC CD B D B 图 图2 E D B 图3 图4 【问题初探】 (1)①如图2，请直接写出CA和CE的数量关系：_： ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：AB=BD AC CD' 【结论运用】 (2)如图3，在△ABC中，CB=3,CA=26,∠B=2∠A.求AB的长度. 【拓展提升】 (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上的点，CF、AE的交点为P,若BP 16— 平分∠ABC,求证：AF=CE. 解：(1)①CE=CA(或者相等)，理由如下： .CE‖AB ∴.∠E=∠BAD ,AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.∠CAE=∠E, ..CA=CE, 故答案为：CE=CA; ②证明：，CE‖AB ∴.∠E=∠BAD,∠B=∠ECB ∴·△BAD~△CED .AB_BD CE CD 又.CE=CA .AB=BD AC CD (2)过点B作BD平分∠ABC D A .'∠CBA=2∠DBA=2∠CBD :∠CBA=2∠A .∠A=∠CBD 又，∠BCD=∠ACB ∴.△BCD一△ACB BC CD “ACBC CB=3,CA=26 .3CD “263 .CD=36 AD-596 4 由(1)结论得： AB_AD_5 BC CD 3 ∴.AB=5 (3)延长AE、BC交于点G 17 D E A ∴.∠APF=∠GPC 又.AF‖CG ∴.∠PAF=∠PGC ∴.△APF△GPC .AP-AF PG CG 又.EC‖AB ∴.∠GEC=∠GAB 又.∠G=∠G ∴·△GEC一△GAB EC_AB CG BG 又，BP平分∠ABC 由(1)结论得： ·AB_PA BG PG EC AP CG PG 又瓷光 .AF_CE CG CG ..AF=CE 23本小题12分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,O为AB的中点，点P是AC边上一动点，连结P, 将线段PO绕点P顺时针旋转90°至PM,以P№、PM为边构造正方形PMNO,已知AP=t, 18 (1)线段AB的长为 用含t的代数式表示线段CP的长为一： ②)当正方形PMN№与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边MN的中点落在△ABC的边上时，求t的值. ④当点？不与点C重合时，作点C关于直线P2的对称点C.当PC与△1BC的一边垂直时，直接写出' PO 的值. (1)解：：∠ACB=90,AC=8,BC=6, :.AB=VAC2+BC2=V6+82=10: ..AP=t, ..PC AC AP =8-t 故答案为：10；8-t; (2)解：当点M落在AC上时，正方形PMNO与△ABC重叠部分图形是正方形， M C B ,Q为AB的中点， .A0=BO :四边形PMN№是正方形， .POLAC ,∠ACB=90°，即BC⊥AC, P№∥CB AP-A坦=1 ..PC OB 1 AP PC =-AC =4 2 .t=4: 19 当点M落在BC上时，正方形PMNO与△ABC重叠部分图形是正方形，过点Q作QG1BC于点G,过点P 作PK1QG于点K, CMG B .∠C=∠CGK=∠GP=90°， ∴，四边形PCGK是矩形， ∴.∠CPK=90°， :四边形PMN№是正方形， :.PM=PQ∠MPQ=∠GPK=90 .∠QPK=∠MPC ∴△QPK≌aMPC, ∴PK=PC, .四边形PCGK是正方形， ..PC =CG QG⊥BC,AC⊥BC, QG∥AC, AO BG OB GC, A0=OB ∴CG=B= PC=3, AP=5, .t=5, .当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为4≤t≤5： (3)解：当MN的中点F落在AC边上时，如图，过点Q作QG1BC于点G,过点Q作QE L AC于点E, G ∠C=LCCQ=∠QgC=90°， 20 “四边形QGCE是矩形， ..QE=CG QG⊥BC,AC⊥BC, .0G∥AC, AQ_BG=1 .'OB GC 1 CG-GB-2BC-3 CE-3AE-EC-0Q-7AC-4 :四边形PONM是正方形， ∴.∠MPQ=∠MPC+∠EPQ=9O,PM=MN, :∠EPQ+∠PQCE=90°. .∠MPC=∠EQP .∠M=∠PEQ=90 .aPFM∽AQPE FM PM FM PE .PEEQ,即PM=EQ, ,F是MN的中点， AE -M-PM 1 PE 1 PE1 EQ2,即32， PE=2, 3 AP AC CE PE 5-2 2 当MW的中点落在BC边上时，如图，过点Q作QE L AC于点E,过点N作NR⊥BC于点T,过点M作 MR∥BC,交NT的延长线于点R,交PC的延长线于点H,则 _1BC=3 Eb CT B .∠TCH=∠CTR=∠TRH=90°， 21- ∴四边形CRT是矩形， ∴∠H=∠R=90°，CH=TR, :四边形PMN№是正方形， .PM=MW,∠PMN=90° ∴.∠PMH+∠NR=90, .∠PMH+∠MPH=90°， ∴.∠NR=∠MPH, .△PH2△RN, 同理△PHM2AQEP .EQ=PH MR =3 PE HM=NR .BC∥R, MG NT =1 ∴.GNTR NT -TR-1NR-1PE 21 CH =TR =1PE 2 ..PE AP-AE =t-4,PC=8-t, ..CH=PH-PC=3-8-t=t-5, -5-4 解得：t=6: 综上所述，t的值为2或6： (4)解：当PC'⊥BC时，点C在AC上，此时PO1AC,点M落在AC上， 由(2)得：t=4: 当PC⊥AB时，与AB的交点为O,过点Q作ELAC于点E, 22 0 :点C关于直线PQ的对称点为点C', .∠QPE=∠QP0. .EQ⊥AC .PE=PO. AE=BE =1AC=4 由(3)得： 2 ∴QP=PE=AE-AP=4-t, :∠A=∠A∠AOP=∠ACB=90 .△AP∽△ACB, OP AP 4-t t ∴.BCAB,即610， 5 t= 解得：2： 如图，当PC'⊥AC时，过点Q作QE1AC于点E,则QE=3,AE=4, C B ,点C关于直线PQ的对称点为点C, QPE=∠QPC'E3×90=45 :△PEO是等腰直角三角形， .PE =E =3. .'AP AE -PE =1, ∴.t=l: 如图，当PC⊥AC时，过点Q作QE L AC于点E,延长QP至点K,则QE=3,AE=4, 23 E为 M ,点C关于直线PQ的对称点为点C, ∴.P吧所在的直线平分∠CPC', n∠CPK=∠CPK=1, ×90°=45° 2 .∠EPQ=∠CPK=45°. :△PEO是等腰直角三角形， .PE =QE =3 ∴，AP=AE+PE=7, .t=7; 5 综上所述，t的值为4或2或1或7. -24九年级数学第一学期期中模拟试题（三) 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 b 7 8 9 10 答案 B B D A 0 A A A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9 11.412318.30 14.1515.9 三、_解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题7分) 解：(1)x2-4x-3=0, a=1,b=-4,c=-3 △=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-3)=28>0 x=-b±6-4ac-(-4)±V2s4±2N万 2a 2×1 2 解得：x=2+万，3=2-万】 …2分 (2)x(x-2)+x-2=0 (x-2)(x+1)=0 x-2=0或x+1=0 x=2,3=-1.… -2分 (3):(x-3)=2(x-3) .(x-3)2-2(x-3)=0 ∴.(（x-3)(x-3-2)=0 ∴(x-3)(x-5)=0 …x-3=0或x-5=0 .x=3x2=5 3分 17.（本小题8分) 解：(1)如图，直线EF即为所求. -4分 (2)四边形AFCE是菱形. 证明：，直线EF垂直平分线AC, .AE=CE,AF=CF,OA=OC ,四边形ABCD为平行四边形， ADI∥BC .∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO. .△AOE≌aCOF(AAS), .AE=CF, .AE=CE=AF=CF. ∴四边形AFCE是菱形. 4分 18.本小题8分)解：(1)如图所示，连接M4,CC,线段A4,CC交与点M, 2 A 4 -61-5 -2-10 1 2345x 1 B -2 -3 ∴.点M即为所求位似中心， ∴点M的坐标为(0,2)， 故答案为：(0,2)」 …2分 C)位包比为2山，位似中心为点4，如图所示，延长C4,反向延长C4,使得4G4G AC:-T4C 延长B4,反向延长BA,使 4品号4线.48-46 B2 7 C? 6 5 A B 4H 3 C 2 B -6/-5 4 -3 -2-10 12345 -2 B 3 :.△4BC2与△4B,C均为所求图形. …4分 (3)解：由(2)作图可知， .C(4,2)或C2'(-4,6, 故答案为：（4,2)或(-4,6). -2分 —3 19,本小题8分)(1)证明：(1)：a=1,b=k-2,c=k-3 ∴.b2-4ac=-4×1×k-3, =k2-8k+16=k-42? .k-42≥0 △≥0， ∴.方程总有两个实数根. -4分 (2)X=-b±8B-4ac_2-k±lk-4 2a ∴X1 2k牛k-4=-1,X-2-k,k+4=3-k, 2 2 ‘方程有一根为正数， .3-k>0, ∴k<3.- -…4分 20.本小题10分(1)证明：：AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， .CD=AD ∴.四边形ABCD是菱形， CD⊥AD ∴.∠D=90°， .四边形ABCD是正方形： 5分 (2)解：如图，在AB延长线上截取BH=DF,连接EF,CH, D A E B H ,四边形ABCD是正方形， .AD=CD=CB=AB=6,∠A=∠CDF=∠ABC=∠BCD=90°， .∠CDF=∠CBH=90°， :.△CDF≌△CBH(SAS) 4 ∴.∠DCF=∠BCH,CF=CH, .∠DCF+∠BCF=90° .∠BCH+LBCF=90°， .∠FCH=90°， .∠ECF=45° .∠ECF=∠ECH=45°， 在△ECF和△ECH中， CF=CH ∠ECF=∠ECH=45 CE=CE :.△ECF≌AECH(SAS) .EF =EH, .CE=35,BC=6. :BE-VCE-BC-(35)-6-3 .AE=AB-BE=6-3=3, 设BH=DF=x,则EH=EF=3+x,AF=AD-DF=6-x, ∴.AF2+AE2=EF2, :(6-+3=(3+x,解得：x=2, .DF=2, :.CF=VCD2+DF2=V6+2=210 5分 21.本小题10分) 解：(1)设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时， 20+2=1 根据题意得：10xx, 解得：x=4, 经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意， .10x=10×4=40(千米/小时)· 答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时；-- --5分 (4+8ax20+a)=8 (2)根据题意得： 40 5 即5*a2=1 1 1 3 a= 2, a2= 解得： 2(不符合题意，舍去)· 1 答：a的值为2. -5分 22.本小题12分解：(1)①CE=CA (或者相等)，理由如下： .CE‖AB ∴.∠E=∠BAD ,AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.∠CAE=∠E, ∴CA=CE. 故答案为：CE=CA; 2分 ②证明：，CE‖AB ∴.∠E=∠BAD,∠B=∠ECB ∴·△BAD~△CED ·AB_BD CE CD 又，CE=CA 怨需 …2分 (2)过点B作BD平分∠ABC C D A ∠CBA=2∠DBA=2∠CBD .∠CBA=2∠A ∴.∠A=∠CBD 又，∠BCD=∠ACB ∴·△BCD△ACB .BC_CD AC BC .CB=3,CA=26 -3-=CD 2V63 6 D-6 :AD=4 6 由（1)结论得： ABAD 5 BC CD 3 .AB=5- --4分 (3)延长AE、BC交于点G G A ∴.∠APF=∠GPC 又.AF‖CG ∴.∠PAF=∠PGC ∴.△APF△GPC ..AP_AF PG CG 又.EC‖AB ∴.∠GEC=∠GAB 又，∠G=∠G ∴·△GEC→△GAB ..EC-AB CG BG 又，BP平分∠ABC 由(1)结论得： .AB_PA BG PG EC=AP CG PG 又品光 .AF_CE CGCG ..AF=CE-- -4分 23本小题12分 (1)解：：∠ACB=90°，AC=8,BC=6, AB=VAC2+BC2=V6+82=10: AP=t. .PC AC AP =8-t; 故答案为：10；8-t;-一 ---…每空1分，共2分 (2)解：当点M落在AC上时，正方形PMNO与△ABC重叠部分图形是正方形， M C B Q为AB的中点， .AO=BO :四边形PMNO是正方形， .PQ⊥AC :∠ACB=90°，即BC⊥AC, .Pg∥CB AP_AC=1 .PC OB AP=PC= 1AC=4 2 .t=4; 当点M落在BC上时，正方形PMN吧与△ABC重叠部分图形是正方形，过点Q作OG L BC于点G,过点P 作PK1QG于点K, CM G .∠C=∠CG=∠GKP=90°， ∴四边形PCGK是矩形， .∠CPK=90 :四边形PMN№是正方形， .PM=PQ∠MPQ=∠CPK=90°， 8 .∠QPK=∠MPC, .AQPK≌△PC, .PK=PC, ∴四边形PCGK是正方形， .PC =CG, :QG⊥BC,AC⊥BC, ∴.QG∥AC, AO BG .OB GC .AQ=QB」 6=田=x=3 .'PC=3. AP=5, .t=5, ,当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为4≤t≤5：- -2分 (3)解：当MN的中点F落在AC边上时，如图，过点Q作G⊥BC于点G,过点Q作ELAC于点E, G B .∠C=∠CG0=∠QEC=90° ∴四边形QGCE是矩形， ..QE=CG :QG⊥BC,AC⊥BC, G∥AC AO BG =1 .OB GC 1 CG=GB=BC=3 2 QE=3AE -EC-GQ=1AC=4 2 :四边形PONM是正方形， ∴.∠MPQ=∠MPC+∠EPQ=9O°，PM=MN, .∠EPQ+∠PQE=90°， .∠MPC=∠EQP 9 .∠M=∠PEQ=90°， aPFM∽aQPE, FM PM FM PE .PEEQ,即PMEQ, ,F是MN的中点， M=SN=云PNM 2 PE 1 PE 1 02,即3=2， PE-2, 3 AP AC CE -PE . 2 当MN的中点落在BC边上时，如图，过点Q作ELAC于点E,过点N作NR⊥BC于点T,过点M作 MR∥BC,交NT的延长线于点R,交PC的延长线于点H,则 =2c=3 Eb CH T B R ∴.∠TCH=∠CTR=∠TRH=90°， ∴四边形CRT是矩形， ∴.∠H=∠R=90°，CH=TR, :四边形PMN№是正方形， .PM=MW,∠PMN=90° ∴.∠PMH+∠NR=90°， .∠PMH+∠MPH=90°， ∴.∠NR=∠PH, ∴aPHM≌aRN, 同理△PHM2△QEP ..EQ=PH MR =3 PE HM NR BC∥R ·MG_T-1 ..GN TR .A-TR-INR-E 1 、C1=TR=2PE -10 PE AP -AE =t-4,PC=8-t, .CH=PH-PC=3-8-t=t-5, -54外 解得：t=6; 5 综上所述，t的值为2或6： 4分 (4)解：当PC'⊥BC时，点C在AC上，此时PO1AC,点M落在AC上， C 由(2)得：t=4: 当PC'⊥AB时，与AB的交点为O,过点Q作ELAC于点E, ,点C关于直线PQ的对称点为点C, .∠QPE=∠QP0. :EQ⊥AC .PE=PO, 由(3)得： E=E=34C=4 .OP PE AE AP 4-t, :∠A=∠AAQP=∠ACB=90°」 .△ACP∽AACB. OPAP 4-tt = .BCAB,即610， 5 解得：1 —11 如图，当PC'1AC时，过点Q作QE1AC于点E,则QE=3,AE=4, C B ,点C关于直线PQ的对称点为点C, :∠QPE=∠Qrc'= 2×90=45 ∴△PEO是等腰直角三角形， ..PE =E =3. .'AP AE -PE =1. ∴.t=l; 如图，当PC'⊥AC时，过点Q作ELAC于点E,延长QP至点K,则QE=3,AE=4, M ,点c关于直线PQ的对称点为点C, .PO所在的直线平分∠CPC', 即 CPK=∠CPK=号×90°=45 ∴.∠EPQ=∠CPK=45°， :△PEO是等腰直角三角形， .PE =E =3. .AP AE PE =7, ∴.t=7: 5 综上所述，t的值为4或2或1或7. …4分 —12— 13※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期期中模拟试题（三） 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一二三章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2.已知菱形的周长，一条对角线长为，那么这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3.四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 4.用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 7.对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 8.如图，在中，E为边上的点，，、交于点，的面积为9，则的面积为（   ） A．80 B．60 C．50 D．40 第6题 第8题 第9题 第10题 9.菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 10.如图，在正方形中，，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 12.如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 13．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的宽是 步. （一亩步） 14如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 第14题 第15题 15．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）解一元二次方程： (1) （2） (3) 17.本小题分如图，在中，连接． (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） (2)猜想四边形是什么图形，并加以证明． 18.本小题8分 如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置并写出点的坐标 ． (2)若以点为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的位似比为． (3)直接写出（2）中点的坐标 ． 19.本小题8分已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 20本小题10分如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 21.本小题10分今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 22本小题12分问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 23本小题12分） 如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． (1)线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； (2)当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边的中点落在的边上时，求的值． (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $