2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中自测卷（第1-3章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自测卷（第1-3章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1.已知关于x的一元二次方程mx-hP-k=0(m,h,k均为常数且m≠0)的解是x1=2, X,=5:则关于x的一元二次方程nmx+h+1=k的解是（） A.X1=-2,X2=-5 B.X1=-4,X2=-1 C.x1=1,X2=4 D.x1=-3,X2=-6 2.如图，AB垂直于X轴，B为垂足，反比例函数y=Kx>0)与△OAB的两边OA,AB分别交 于C,D两点.OC=CA,若三角形BOD的面积为3，则三角形OAB的面积是() B A.6 B.9 C.12 D.15 3.如图，OO的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD LAB,垂足为P,若CD=8,则△ACD的 面积是() P D B A.16 B.24 C.32 D.48 4.关于反比例函数y=2m-3 下列说法错误的是() X A若函数图象分布在第二、四象限，则m< 2 B.若点x1,y1小、(x2,y2在函数图象上，且x1<x2<0,则y1<y2 C.若m>2,则当1≤x≤3时，y的最大值为2m-3 D.若函数图象上有两点Aa,bl、Blc,d,满足a<0<c且b>d,则m< 2 5.如图，圆O是△ABC的内切圆，AC=2cm,DE交AB于点D,交BC于点E,且DE是O的 切线.若△BDE的周长为5cm,则△ABC的周长为() O ●O B E A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm 6.关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：a(x-mP+n=0与 a,(x-mP+n=0:称为“同族二次方程”.如2(x-3}2+4=0与3(x-3}2+4=0就是“同族二次 方程”，现有关于x的一元二次方程：2(x-12+1=0与a+2x2+b-4x+8=0是“同族二次 方程”·那么代数式ax+bx+2031能取的最小值是() A.2026 B.2023 C.2028 D.2025 7.已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的 一元二次方程x+kx+48=0的两个根，则k的值为() A.-14 B.-19 C.14 D.-48 8.如图，AD是半圆O的直径，点B,C在半圆上，且弦AB=BC=CD,点P在CD上.若 ∠PCB=128,则∠PBA=（） A.98° B.100° C.96° D.102 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A、B的坐标分别为1,5， 1,2∠B=90,点C在点B的右侧.动点D从点A出发，沿AB-BC运动到点C,反比例函数 y=Kx>0的图象L经过点D.则在点D的运动过程中，图象L经过两次的点是() D B A.1,1 B.3,1 C.2,3 D.3,3 10.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转， 使所得矩形A'BCD的边AB与⊙O相切，切点为E,边CD与⊙O相交于点F,则CF的长为 A D' A.2.5 B.1.5 C.3 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.关于x的方程k+1x2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是 12.如图，已知弦AB、CD在圆心O的同侧，且AB是⊙O内接正三角形的一条边，CD是⊙O 内接正六边形的一条边，ABCD.如果AC也是⊙O的内接正n边形的一条边，那么n的值为 B 0 13.如图，在平面直角坐标系中，点A2,m,B3,n均在反比例函数y=Kk≠0的图象上，且 OA=OB, 则k的值为 x 14.商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每 天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量， 并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价 元. 15.已知点a+4,y,(2a,y2在反比例函数y=kk>0的图象上，若0<y,<y,则a的取值范 围是 16.如图，⊙0是△ABC的外接圆，D是AB的中点，E是弦BC上一点，连接AD,DE:若OO 的半径为2，AD=DE,∠D=90°，则AC的长为 B 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 1,(6分)设函数y空y女k>0.当1≤x≤3时，函数y的最小值是a,函数的袋 大值是6a. (1)求k的值； (2)若点Pm,n在函数y,K的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围. X 18.(6分)对于一元二次方程ax2+2cx+b=0(a≠0)，若满足a2+b=c2,则我们把这样的 一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. (1)当a=3,b=4,c>0时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”x2+2cx+b=0必有实数根. 19.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的 延长线交⊙0于G. B D G (1)试说明：HD=DG. (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙O的面积. 20.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=5Cm,BC=6Cm,点P从点A开始沿边AB向终点B 以1cm/s的速度移动，点Q从，点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分 别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为tst>O. B→O (1)填空：BQ=cm,PB=cm(用含t的代数式表示). (2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ (3)是否存在t的值，使得三角形DPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不 存在，请说明理由， 21.(10分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O,过 点A作AE⊥CD,与CD的延长线交于点E,且DA平分∠BDE. B DE (1)求证：∠ABO=∠EAD: (2)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若⊙O的半径为5，求EH的长. 22.(10分)如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=kx+b的图像分别与x轴、y轴相 交于点A,B,与反比例函数y=mm>0,x>0的图像相交于点C.已知点B,C的坐标分别为 0,12,2 Y C 0 (1)求一次函数、反比例函数的表达式. (2)点D在反比例函数y=m>0,x>0的图像上，且点D与点C不重合.作射线CD,交坐标 X 轴于点M,连接OC,OD.若SAOCM=4 S&ODM,求点D的坐标. 23.(12分)如图，四边形ABDC内接于圆O,直线TD与圆O相切于点D,且D为劣弧BC的 中点. D (1)若∠BAC=60°，判断四边形OBDC的形状，并说明理由； (2)证明：∠TDC=∠CAD. 24.(12分)已知，在半圆0中，直径AB=8,点C,D在半圆AB上运动，弦CD=4. D D B 0 0 图1 图2 图3 (I)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA; (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面 积； (3)如图3，取CD的中点M,点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程 中：①点M到AB的距离的最小值是； ②直接写出点M的运动路径长 参考答案 一、选择题 1.D 解：由题意，关于x的一元二次方程mx-hP-k=0有解， 解方程得x=h: Vm :一元二次方程m(x-h)P=k(m0)的解是x1=2,为，=5， 2h-语5=调 ∴h= 2+5=3.5, 将x=2,h=3.5代入原方程得k=(2-3.5P=2.25, m 对于方程m(x+h+12=k, 整理得：(x+h+1P=k-=2.25, m 代入h=3.5得 x+4.5=±1.5， 解得x1=-3,X2=-6 2.C 解：如图，连接OD, 设Aa,b, :AB垂直于x轴，B为垂足，点D在y=K(x>0)的图象上， 。k .D aa ∴.OB=a, BD=k ,三角形BOD的面积为3， 20BBD=3, 即a×-3 a ∴.k=6, 即y=6 X .OC=CA, ∴点C是OA的中点， 唱 点C在反比例函数的图象上， .y=6, .a×b=6, …22 ∴.ab=24. 5as-0n:AB=2b=12. D B 3.C 解：连接OD, P D B ,⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,CD=8, ..PD=-CD=4, .0P=V0D2-PD=V52-42=3, .AP=OA+OP=5+3=8, Sa-CD:AP-x8x8-32 4.B 解：在反比例函数y=2m-3中，比例系数k=2m-3, 对选项A:,函数图象分布在第二、四象限， k=2m-3<0,解得m<号，A说法正随 对选项B:当2m-3<0,即m<3时，在x<0内，y随x的增大而增大， 2 .X1<X2<0, y1y2: 当2m3≥0，即m号时，在x<0内，y随x的挡大面减心 X1<2<0, y1>y2,题中y<y2的结论不成立，B说法错误； 对选项C:m>2, .2m-3>1>0, ,x>0时，反比例函数y随x增大而减小， ∴.1≤x≤3时，x=1时y取最大值，最大值为2m-3,C说法正确； 对选项D:a<0<C,若b>d,则说明x<0时y>0,x>0时y<0, 可得2m-3<0,即m<3,D说法正确 5.B 解：设△ABC与O相切于点M,NF,DE与圆O相切于点G. D B .AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN .AM+CN=AF+CF=AC=2cm. ,△BDE的周长是5cm, ∴.BD+DE+BE=5cm, .'BD+DG+EG+BE=BD+DM+EN+BE=BM+BN=5cm, ∴.△ABC的周长为AB+BC+AC=BM+AM+CN+BN+AC=5+2+2=9cm 6.A 解：：2x-1+1=0与a+2x2+b-4x+8=0是“同族二次方程”， ∴.a+2x+b-4x+8=a+2x-12+1=a+2x2-2a+2x+a+3' h-2g*2解作：68i0 a=5 a+3=8 .ax2+bx+2031=5x2-10x+2031=5x-12+2026' 代数式aX2+bx+2031取的最大值是2026： 故选：A. 7.A 解：设另外两条边长分别为m,n,m<n均为正整数， .m,n是方程x+kx+48=0的两个根， ∴.mn=48,k=-m+n 根据三角形三边关系，得m-n<5<m+n, 列出乘积为48的所有正整数对：1,48,2,24,3,16,4,12,6,8， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于5，不符合三边关系； 仅m=6,n=8满足6-8=2<5,6+8=14>5，符合条件， ∴.m+n=14,得k=-14」 8.A 解：如图，连接OB、OC, B .弦AB=BC=CD, .'.AB=BC=CD, 又AD是半圆O的直径， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°， :∠BPC=号∠B0C=30°， 2 ∠PCB=128°， .∠PBC=180°-∠PCB-∠BPC=22, .OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=60°， .△OAB和△OBC是等边三角形， ∴.∠OBA=∠OBC=60°， ∴.∠ABC=∠OBA+∠OBC=120° ∴.∠PBA=∠ABC-∠PBC=98° 9.B 解：A1,5,B1,2, .AB=3, ,△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，点C在点B右侧， ∴.BC=AB=3,BC⊥AB, .C4,2, 设DX,y,反比例函数解析式为y=k,则k=Xy, 当点D在线段AB上运动时，x=1,2≤y≤5， ∴.k=y,即2≤k≤5： 当点D在线段BC上运动时，y=2,1≤x≤4， .k=2x,即2≤k≤8， 若图象L经过某点两次，则该点对应的k值在两段运动中均能取到，且对应不同的点D, ∴.2<k≤5， A、k=1×1=1,不在范围内，不符合题意： Bk=3×1=3,在范围内，符合题意； C~k=2×3=6,不在范围内，不符合题意； D、k=3×3=9?不在范围内，不符合题意. 10.D 解：如图，连接EO并延长交C℉于点H, E D .矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'BCD, ∴.∠B=∠BCD'=90°，A'B'∥CD', BC=B'C=4, .边A'B与⊙O相切，切点为E, ∴.OE⊥A'B, .四边形EBCH是矩形， ∴.EH=BC=4, OH⊥CF, .∵AB=5, .0E=0C=14B=5 2 ·0F=Em-0E=3, 在Rt△OCH中，根据勾股定理，得 a-voc-o =2, ∴.CF=2CH=4. 故选：D. 二、填空题 11.k≥-2 解：当k+1=0,即k=-1时，原方程变形为2x-1=0,解得x=号有实数根，符合要求： 当k+1≠0，即k≠-1时，原方程是一元二次方程， 方程有实数根， .根的判别式△=22-4k+1川-1≥0， 化简得4k+8≥0， 解得k≥-2， 即此时k的范围是k≥-2且k≠-1： 综上，k的取值范围是k≥-2. 12.12 解：连接OA,OB,OC,OD,如图， A ,CD,AB分别为⊙O的内接正六边形与内接正三角形的一边， ·∠D0C=360 =60°，∠A0B=360 -=120°， ∠A0C=∠B0D=∠AOB,∠D0C=30, 2 ∴n= 360° 30。=12. 13.6 解：：点A2,m,B3,n在反比例函数y=K的图象上， X mn .OA=OB' ∴.0A2=0B2 .2+m2=32+n 4+ =9+ K_K=5 49 5k=5 36 k2=36 解得k=±6， …反比例函数图象在第一象限， .k>0 k=6 14.375 解：设每台冰箱应降价x元，则降价后每台冰箱的售价为3000-x元，可得每台冰箱的利润为 130-X-250)=(50-x元，降价后销量为10+若-10+ +25台，根据题意得： 1500-x10+2x =5000, 25 整理得：750x-2x2=0, 解得：x=375或x=0(舍去)， 所以，每台冰箱应降价375元. 15.0<a<4 解：反比例函数y=Kk>0, :反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内v随x的增大而减小. .0<y1<y2' ∴y,y,均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且a+4>2a>0: 即 2a>0 a+4>2a 解不等式2a>0得a>0, 解不等式a+4>2a得a<4, 因此a的取值范围是0<a<4. 16.2V2 解：连接BD、CD、OA、OC,如图， --S B E :D是的中点， AB AD=BD ∴.BD=AD=DE,∠ACD=∠BCD, ∴.∠DBE=∠DEB, ,四边形ACBD是圆内接四边形， ∴.∠DBE+∠DAC=180°，又∠DEB+∠DEC=180°， ∴.∠DAC=∠DEC,又CD=CD, .△DAC≌△DEC AAS, ∴.∠ADC=∠EDC, .∠ADE=90°， ∴∠ADC=号∠ADE=450, ∴.∠AOC=2∠ADE=90°， 又OA=OC=2, .AC=V0A2+0C2=V22+22=2V2. 故答案为：2V2. 三、解答题 17.(1)解：.k>0,k+1>0,1≤x≤3， :在每一象限内，y随x的增大而减小，y,随x的增大而减小， 当x=3时，y最小值为答=a0, 当x=1时，y2最大值为k+1=6a②， 由①，②得：k=1. (2)解：Pm,n到y轴的距离大于3， .m<-3或m>3, 1 ∴.m=之， n 当m<-3时，1<-3， n n> Γ3’ .n<0, 3n0: 当m>3时，1>3，且m>0, n :0n<号 综上，-<n<0或0<n< 3 18.（1)解：方程是勾系一元二次方程，且a=3,b=4, ∴.c2=a2+b2=32+42=25 .c>0' c=5（负舍)， .原方程为：3x+10x+4=0 .△=102-4×3×4=52>0 x=-10±852_-10±2/3=-5±V13 2×3 6 3 x1=5+13 3 名=5-13 3 (2)证明：.‘x+2cx+b=0是勾系一元二次方程， .c2=1+b2, .△=4c2-4b=41+b2-4b=462-4b+4=4b-2+3, 60. a=46-+30, ∴.关于x的勾系一元二次方程x+2cx+b=0必有实数根. 19.(1)解：连接BG. E D :AD、BE是△ABC的高， ∴.∠AEH=∠BDH=90o. .∠AHE=∠BHD· .∠DBH=∠EAH .'∠CBG=∠CAG' .∴.∠HBD=∠GBD' 在△BDH与△BDG中， ∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° ∴.△BDH≌△BDG ASA' ∴.DH=DG (2)解：连接OB、OG. B .·∠BAD=30°， .∠BOG=2∠BAG=60 .OB=OG' ∴△OBG为等边三角形， .∴.BG=OB=OG .'△BHD≌△BGD' .∴.BH=BG=4 .OB=OG=4' ∴.S=42π=16π 20.（1)解：点Q的速度为2cm1s,运动时间为ts, .∴.BQ=2tcm, 点P的速度为1Cm/s, ∴.AP=tcm, 又.AB=5cm, ∴.PB=AB-AP=5-tcm, :点Q运动到点C时两点同时停止， ∴.2t≤6 解得t≤3， 又t>0, ∴.t的取值范围为0<t≤3： (2)解：.四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， 在Rt△PBQ中，PB+BQ=PQ, 将PB=5-tcm,BQ=2tcm,PQ=5cm代入其中， 得5-t2+2t2=52 25-10t+t2+4t2=25 5t2-10t=0 5tt-2=0 解得t1=0(舍去)，t2=2, .当t=2时，PQ的长度等于5cm; (3)解：连接DP,DQ,如图： B ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠C=90°，AD=BC=6cm,CD=AB=5cm, ,在Rt△APD中，AP=tcm,AD=6cm, ..DP2=AP2+AD2 =t2+62 =t2+36? .在Rt△DCQ中，CQ=BC-BQ=6-2tcm,CD=5cm, ..DQ2=CD2+CQ2 =52+6-2t2 =4t2-24t+61' 在Rt△PBQ中，PQ=PB+BQ =5-t2+2t2 =5t-10t+25' ①当DP=DQ时，则DP2=DQ, t2+36=4t2-24t+61 3t-24t+25=0 解得t=12+69>3(含去)或t=12-69」 3 ②当DP=PQ时，则DP2=PQ, t2+36=5t2-10t+25 4t2-10t-11=0 解得t=5+693(舍去)或t=5-6<0(舍去)， 4 4 ∴.此情况无符合条件的t; ③当DQ=PQ时，则DQ=PQ, 4t2-24t+61=5t2-10t+25 t2+14t-36=0 解得t=-7-V85<0(舍去)或t=-7+V85; 综上所述，符合条件的t的值为t=12-69或t=985-7. 3 21.(1)证明：，BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90, .∠ABO+∠ADB=90, :DA平分∠BDE .∠ADB=∠ADE' ,AE⊥CD ∴.∠AED=90, .∴.∠EAD+∠ADE=90, ∴.∠ABO=∠EAD (2)解：由题意可得，OB=OA=5, ∴.∠ABO=∠BAO: .·∠ABO=∠EAD' ∴.∠BAO=∠EAD' .∠BAD=90, .∴.∠BAO+∠OAD=90°， .∠EAD+∠OAD=90,即∠OAE=90, .AE⊥CD,OH⊥CD :.四边形AOHE是矩形， ∴.EH=OA=5 22.(1)解：将点B0,1,C2,2的坐标分别代入y=kx+b, 1 1=b, k= 得2=2k+6,解得 2 b=1, .1 心一次函数的表达式为y=2x+1. 将点C2,2的坐标代入y=m,得m=4, X “反比例函数的表达式为y=4x20. X (2)解：分情况讨论： ①当射线CD交y轴于点M时，如图 M D B A ,S△OCM=4 SAODM' 六0M=4×0Mxo 1 1 .XD=4Xc= 将x=号代入y=4 ,得y=8, 1 一点D的坐标为28： ②当射线CD交x轴于点M时，如图 B M .SAOCM=4SAODM' .号OMyc=4×5OM·yn 2 1. 1 .yp=4yc= 将y代入y是得x=8, X 点D的坐标为8,2 综上所述，点D的坐标为侵，8咸8，引， 23.(1) 解：四边形OBDC为菱形，理由如下： D 连接OD, .∠BAC=60°， ∴.∠BOC=2∠BAC=2×60°=120， :D为劣弧BC的中点， .OD⊥BC,BD=CD' 1 ∠BOD=∠COD=2∠BOC, 又：∠B0C=120°， .∴.∠BOD=∠COD=60, 又.OB=OD=OC, ∴△OBD和△OCD均为等边三角形， .∴.OB=BD=CD=OC :.四边形OBDC为菱形； (2) 证明：方法1：CD=CD, ECD=号4CoD. OC=OD' ∴.∠OCD=ODC' 在△OCD中，∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-2∠ODC, ∠CaD号<C0D180-2∠0DC90-∠0DC, 又：TD与圆O相切于点D, ∴.∠ODT=90, ∴.∠TDC=∠ODT-∠ODC=90°-∠ODC' 又：∠CAD=90°-∠ODC, ∴.∠TDC=∠CAD 方法2：连接DO并延长交圆O于点E,连接CE, E :DE为圆0的直径， .∴.∠DEC+∠CDE=90°， 又，'∠DEC=∠CAD .∴.∠CAD+∠CDE=90, :直线TD与圆o相切于点D' .∴.∠TDC+∠CDE=90, .∴.∠TDC=∠CAD' 24.】(1)证明：AB是直径， ∴.∠ACB=∠BDA=90° .∠DAB=∠CBA, .AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， 在Rt△CAB和Rt△DBA中， AC=BD AB=BA △CAB≌△DBA(HL）;, (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H, B 半圆O中，直径AB=8, ..OA=OD=4, ∠DAB=15°， .∠AD0=15°， ∴.∠DOB=∠DAB+∠ADO=30°， DH=0D=2,S0so8=30X华 360 3元， S8oD0A×DH=x4×2=4, 2 4 ,S册影密分=Sm卷D0B+SaA0D=3T+4: (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. 图2 ,直径AB=8，,弦CD=4, ∴.OC=OD=CD=4, △COD是等边三角形， M是CD的中点， GM-GD-2,OM CD, ∴.0M=V0C2-CM2=23. ∴.ME=VOM2-0E2=12-0E, .当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. O M (C A E B 图3 ,△COD是等边三角形，M是CD的中点， ∴.∠M0C=30°， ∴ME=OM=3,即点M到AB的距离的最小值是3； ②如图4. D C A E 图4 由①知，OM=23, .M的轨迹是以0为圆心，23为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30, 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， .∠M0M=180°-30°-30°=120°， ·点M的运动路径长为120m×23=43 180 3.