精品解析：江苏南京市扬子第一中学2026-2027学年八年级数学上册第一次学情自测试卷

2026-2027学年度第一学期国庆作业 八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据三角形看清楚部分的特点，结合三角形全等的判定定理解答即可． 【详解】解：根据三角形看清楚部分的特点是角，边，角， 结合所学三角形全等的判定定理有， 故选：D． 3. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∴到三角形一边两个端点距离相等的点在该边的垂直平分线上. ∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三边垂直平分线的交点. 4. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 7 B. 9 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键． 根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分类讨论求解即可． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形； 当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：． 故选：D． 6. 如图，在∠AOB中， OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的平分线的性质得到MA=MB，从而得到∠AMB＝140°，利用四边形内角和定理计算即可． 【详解】∵OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB， ∴MA=MB，∠MBO＝∠MAO＝90°， ∴∠MBA＝∠MAB＝20°， ∴∠AMB＝140°， ∵∠AOB+∠MBO +∠MAO +∠AMB＝360°， ∴∠AOB＝40°， 故选D． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟练运用角的平分线性质得到等腰三角形是解题的关键． 7. 如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小． 【详解】∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°． 故选D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 8. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，利用建立方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， ∴底角为． 10. 如图，已知两个三角形全等，根据图中提供的信息，可得EF的长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等求解即可． 【详解】解：∵∠A=180°-∠B-∠C=70°=∠D 由图可知，∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是明确全等三角形对应边相等． 11. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，AB＝DE，要得到△ABC≌△DEF，添加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】答案不唯一，如BC＝EF、BE＝CF 【解析】 【分析】已知ABDE，则可得∠B=∠DEF，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边即可判定三角形全等，由此即可解答． 【详解】解：∵ABDE， ∴∠B=∠DEF， ∵AB＝DE， ∴添加BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF； 添加BE=CF，可得BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF. 故答案为：答案不唯一，如BC＝EF、BE＝CF． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据判定方法添加合适的条件是解决问题的关键. 12. 已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB=5，BC=4，AC=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形对应边相等，周长相等，求解即可． 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF=4， ∵△ABC的周长为12，AB=5， ∴AC=12-5-4=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，属于最基础的试题． 13. 如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，从而得出以及，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后根据平角的定义计算的度数 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是由沿折叠而成， ∴， ∴，， ∵， ∴, 在中，, ∴, ∵点在同一直线上, ∴, ∴． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，由的周长即可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴， ∵的周长是， 即， ∴． 15. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出 ，利用平行线的性质和三角形外角的性质建立 、 与 的数量关系． 【详解】解： 是等边三角形， ， 设光线与交于点，与所在直线交于点， 如图， 太阳光线平行， 光线与的夹角等于， 即， 与是对顶角， ， 是的外角， ， ， ． 16. 如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，，则______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得，结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ． 17. 如图，已知，，垂足为点D，，垂足为点E，．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG，根据△ABC为等腰直角三角形，可得AC=BC，∠A=∠B=，由点D是AB的中点，AC=BC，根据等腰三角形三线合一性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=，可得CD=BD，利用等线段之差可得CE=AC-AE=CB-CF=BF，可证△CED≌△BFD（SAS），得出△EDF为等腰直角三角形，S△EDF=，在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短，求出最短距离HD=AH=3即可． 【详解】解：连结DC，过D作DH⊥AC于H，DG⊥BC与G，连结HG， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=BC， ∴∠A=∠B=， ∵点D是AB的中点，AC=BC， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=， ∴∠DCB=∠DBC=45°=∠ACD， ∴CD=BD， ∵AC=BC，AE=CF， ∴CE=AC-AE=CB-CF=BF， 在△CED和△BFD中， ， ∴△CED≌△BFD（SAS）， ∴ED=FD， ∵∠CDF+∠FDB=∠CDF+∠EDC=90°， ∴△EDF为等腰直角三角形， ∴S△EDF=， 在运动过程中要使△DEF面积的最小必需满足ED最短， ∵点E在射线AC上，DE是直线上的点E与直线外一点D连线，点D到直线AC的距离最短， ∵∠A=∠ACD=45°， ∴AD=CD, ∴DH平分∠ADC，AH=CH=3， ∴∠ADH=∠CDH=45°=∠A， ∴HD=AH=3， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明． （1）你添加的条件是______（）． （2）写出证明过程． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1）通过证明，已知一对边的相等关系，通过证明可以得到一对角的相等关系，只需要添加相等的边另一侧的一对角的相等关系即可证明结论； （2）根据，利用角的和差关系即可得，继而根据证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 已知：如图，ADBC，AD＝BC． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）求证：ABCD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△CDA即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵ADBC， ∴∠DAC＝∠ACB ， 在△ABC与△CDA中， ∵BC＝DA，∠ACB＝∠DAC，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA； （2）证明：∵△ABC≌△CDA， ∴∠BAC＝∠ACD ∴ABCD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． 21. 已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论． 【详解】解：∵OA=OB， ∴∠A=∠B=60°， 又∵AB∥DC， ∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°， ∴△OCD是等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）AF平分∠BAC． 【答案】（1） 证明：∵，CE⊥AB ∴ 在和中 ∴； （2） 证明：∵ ∴ 在Rt△AEF和Rt△ADF中 ∴ ∴ ∴平分． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可； （2）先证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证明△ABE≌△ADC和利用HL证明． 23. 如图，在四边形中，，M为的中点． （1）求证：． （2）若，求（小于）的度数． 【答案】（1）证明：∵在中，，M为的中点， ∴； ∵在中，，M为的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案； （2）由等边对等角可得，由三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）55°． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF； （2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数． 【详解】（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE． ∵AB=AC，∴∠C=∠B． 又∵CE=BD，∴△BDE≌△CEF． （2）∵△BDE≌△CEF，∴DE=FE． ∴△DEF是等腰三角形，∴∠EDF=∠EFD． ∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=70°． ∵∠DEF=∠B，∴∠DEF=70°，∴∠EDF=∠EFD=×（180°﹣70°）=55°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键． 25. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行解答即可； （2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题： （1）与AE相等的线段是 ． （2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下： ①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程； ②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程． 【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）思路见（2） （2）① 过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE； ②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD； 【详解】（1）BD （2） ①小聪思路： 过点E作EF//BC，交AC于F ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC ∵EF//BC ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB ∵又∠A＝60° ∴△AEF是等边三角形 ∴AE＝AF＝EF ，∠EFC＝∠DBE＝120°， ∴CF＝BE ∵ED＝EC ∴∠D＝∠ECB ∴∠D＝∠FEC ∴∠FCE＝∠BED 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC（SAS） ∴BD＝EF ∴BD＝AE ②小明思路： ∵DE＝EC ∴∠ECB＝∠D ∵∠ABC＝∠DEB+∠D，∠ACB＝∠ACE+∠ECB ∴∠DEB＝∠ACE ∵△EBD翻折到△EBF ∴△EBD≌△EBF ∴∠DEB＝∠FEB，DE＝EF ∴∠DEB＝∠ACE＝∠FEB ∵∠CEB＝∠CEF+∠FEB＝∠A+∠ACE ∴∠CEF＝∠A＝60° ∵DE＝EF＝CE ∴△ECF为等边三角形 ∴CE＝CF，∠ECF＝60°∴∠ACE+∠ECB＝∠ECB+∠BCF ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中 ∴△ACE≌△BCF（SAS） ∴AE＝BF＝BD 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期国庆作业 八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中只有一项符合题目要求． 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 2. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 3. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 4. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 5. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 7 B. 9 C. 9或12 D. 12 6. 如图，在∠AOB中， OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 7. 如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A. 20° B. 60° C. 50° D. 40° 8. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°． 10. 如图，已知两个三角形全等，根据图中提供的信息，可得EF的长为______． 11. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，AB＝DE，要得到△ABC≌△DEF，添加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 12. 已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB=5，BC=4，AC=_____． 13. 如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，则______． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 15. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为______． 16. 如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，，则______． 17. 如图，已知，，垂足为点D，，垂足为点E，．若，则的度数为______． 18. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；则在运动过程中△DEF面积的最小值为___． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明． （1）你添加的条件是______（）． （2）写出证明过程． 20. 已知：如图，ADBC，AD＝BC． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）求证：ABCD． 21. 已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）AF平分∠BAC． 23. 如图，在四边形中，，M为的中点． （1）求证：． （2）若，求（小于）的度数． 24. 如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 25. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 26. 问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题： （1）与AE相等的线段是 ． （2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下： ①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程； ②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $