第02讲 两条直线的位置关系与距离讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的位置关系与距离”核心知识点，系统梳理位置关系判定（平行、垂直、相交的斜率法与一般式条件）、交点坐标求解（解方程组）、三种距离公式（两点间、点到直线、平行线间），构建从关系判定到距离计算的完整学习支架。 该资料亮点在于易错点精准剖析（如斜率不存在分类讨论、平行与重合的区分），题型覆盖全面（含上海地区阶段检测题），通过“四种思想方法”培养数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识），课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第02讲 两条直线的位置关系与距离 【知识点01】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 注意：斜率不存在（垂直于 x 轴的直线 x=a）时不能直接套用本法，需单独讨论x=a1 与 x=a2：a1≠a2 时平行，a1=a2 时重合；x=a 与 y=kx+b 相交（k=0 时垂直）。 【知识点02】两条直线的交点 交点坐标就是方程组 {A1x+B1y+C1=0；A2x+B2y+C2=0} 的解：相交时方程组有唯一解（即交点坐标）；平行时无解；重合时有无穷多解。 【知识点03】三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 易错点1 忽略斜率不存在的情形。用斜率法判定位置关系前，必须先判断两直线的斜率是否存在。 易错点2 Δ=0 只说明方向相同，可能是平行也可能是重合。Δ=0 后必须再检验 C 项是否成比例。 易错点3 垂直条件记混。垂直既不是 Δ=0，也不是 Δ≠0，而是 A1A2+B1B2=0（斜率存在时 k1k2=-1）。 易错点4 两平行线距离公式中 A、B 系数未化同就代入。 易错点5 点到直线距离公式分子漏绝对值、分母记错。 易错点6 由平行、垂直求参数的结果必须代回检验。满足“系数交叉积为零”的解可能对应重合（应舍去）；用斜率法还可能漏掉“斜率不存在”这一解。 【题型一】位置关系的判定 【典例1-1】已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例1-2】“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-3】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【变式1-1】已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【变式1-3】m、n为已知实数，直线的方程为，直线的方程为．讨论直线与的位置关系． 【题型二】 求交点坐标 【典例2】（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【变式2-1】（25-26高二上·上海静安·阶段检测）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【变式2-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【变式2-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知直角坐标系中，三个不同的点，，． (1)过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围； (2)若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标． 【题型三】 距离公式的应用 【典例3】（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【变式3-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【题型四】 由位置关系求参数 【典例4-1】（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【典例4-2】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【典例4-3】（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【典例4-4】（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【变式4-1】已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【变式4-4】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【题型五】 由距离求参数 【典例5】已知点到直线的距离为1，则____________. 【变式5-1】已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【变式5-2】已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【变式5-3】已知点和点到直线的距离相等，则___________. 【题型六】 距离的最值（综合） 【典例6-1】已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【典例6-2】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 【典例6-3】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为______． 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【变式6-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）点 到直线的距离的最大值是_____ 【变式6-3】已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【变式6-4】人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 一条主线：判定位置关系（比斜率或看 Δ）→ 求交点（解方程组）→ 计算距离（三个公式）。 两个判定通道：斜截式快捷但要求斜率存在；一般式是通法，记牢 Δ=A1B2-A2B1 与 A1A2+B1B2=0。 三个易错提醒：斜率不存在要分类讨论；Δ=0 还要验 C 项（平行≠重合）；两平行线距离公式前先统一 A、B 系数。 四种思想方法：数形结合（画图辅助判断）、分类讨论（斜率存在性）、转化化归（平行线距离转化为点到直线距离，最值转化为垂线段）、待定系数（平行线系设 Ax+By+C=0）。 一、单选题 1．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 3．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 二、填空题 5．已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 7．（25-26高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 10．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为______. 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 12．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 三、解答题 15．已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 16．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 17．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 20．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点. (1)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程； (2)若直线和、分别交于两点，且，求直线的方程. 21．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 两条直线的位置关系与距离 【知识点01】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 注意：斜率不存在（垂直于 x 轴的直线 x=a）时不能直接套用本法，需单独讨论x=a1 与 x=a2：a1≠a2 时平行，a1=a2 时重合；x=a 与 y=kx+b 相交（k=0 时垂直）。 【知识点02】两条直线的交点 交点坐标就是方程组 {A1x+B1y+C1=0；A2x+B2y+C2=0} 的解：相交时方程组有唯一解（即交点坐标）；平行时无解；重合时有无穷多解。 【知识点03】三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 易错点1 忽略斜率不存在的情形。用斜率法判定位置关系前，必须先判断两直线的斜率是否存在。 易错点2 Δ=0 只说明方向相同，可能是平行也可能是重合。Δ=0 后必须再检验 C 项是否成比例。 易错点3 垂直条件记混。垂直既不是 Δ=0，也不是 Δ≠0，而是 A1A2+B1B2=0（斜率存在时 k1k2=-1）。 易错点4 两平行线距离公式中 A、B 系数未化同就代入。 易错点5 点到直线距离公式分子漏绝对值、分母记错。 易错点6 由平行、垂直求参数的结果必须代回检验。满足“系数交叉积为零”的解可能对应重合（应舍去）；用斜率法还可能漏掉“斜率不存在”这一解。 【题型一】位置关系的判定 【典例1-1】已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例1-2】“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 【典例1-3】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 【变式1-1】已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 【变式1-3】m、n为已知实数，直线的方程为，直线的方程为．讨论直线与的位置关系． 【答案】当时，、相交；当时，、重合；当时，． 【详解】由题意，列方程组， 因为， ①当时，、相交； ②当时， （ⅰ）当时，、重合； （ⅱ）当时，． 【题型二】 求交点坐标 【典例2】（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 【变式2-1】（25-26高二上·上海静安·阶段检测）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得． （2）因为，，所以． 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以． 【变式2-2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【答案】(1)， (2)16， 【详解】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. （2）由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 【变式2-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）已知直角坐标系中，三个不同的点，，． (1)过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围； (2)若从点发出的光线，由直线上的点反射后，经过点射出，求点的坐标． 【答案】(1); (2). 【详解】（1）由题意可知， 所以； （2）易知直线的方程为，即， 设关于直线的对称点，则有， 解方程得，即，所以直线即反射光线所在直线， 易知直线方程为，整理得， 联立解得，即. 【题型三】 距离公式的应用 【典例3】（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 【变式3-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】(1)或 (2)，距离为 【详解】（1）因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. （2）因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. （2）点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离.    【题型四】 由位置关系求参数 【典例4-1】（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 【典例4-2】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】0 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 【典例4-3】（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 【典例4-4】（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 【变式4-1】已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【详解】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 【变式4-4】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 【题型五】 由距离求参数 【典例5】已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 【变式5-1】已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【答案】 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【变式5-2】已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 【变式5-3】已知点和点到直线的距离相等，则___________. 【答案】3或 【详解】因为点和点到直线的距离相等， 所以由点到直线的距离公式可得： ， 解得或， 故答案为：3或 【题型六】 距离的最值（综合） 【典例6-1】已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 【典例6-2】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 【典例6-3】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为______． 【答案】 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    【变式6-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）点 到直线的距离的最大值是_____ 【答案】3 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 【变式6-3】已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【变式6-4】人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 一条主线：判定位置关系（比斜率或看 Δ）→ 求交点（解方程组）→ 计算距离（三个公式）。 两个判定通道：斜截式快捷但要求斜率存在；一般式是通法，记牢 Δ=A1B2-A2B1 与 A1A2+B1B2=0。 三个易错提醒：斜率不存在要分类讨论；Δ=0 还要验 C 项（平行≠重合）；两平行线距离公式前先统一 A、B 系数。 四种思想方法：数形结合（画图辅助判断）、分类讨论（斜率存在性）、转化化归（平行线距离转化为点到直线距离，最值转化为垂线段）、待定系数（平行线系设 Ax+By+C=0）。 一、单选题 1．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 3．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 4．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 二、填空题 5．已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】或 【详解】由题意得，解得或， 故答案为：或 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 7．（25-26高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 【答案】 【详解】直线的斜率，倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以这两条直线的夹角为，所以夹角的余弦值为. 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 10．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为______. 【答案】 【详解】由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图，    因此为直角三角形，所以. 故答案为： 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【详解】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 12．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数，若直线与直线的夹角为，则______． 【答案】或 【详解】设两直线的夹角为，则，，； 由直线得其斜率； 当时，直线的斜率不存在，方程为：， 直线与轴交于，与直线交于点， 直线与轴交于， 则，满足题意； 当时，直线的斜率， 则，解得：（舍）或. 综上所述：或. 故答案为：或. 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 三、解答题 15．已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 16．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 17．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点. (1)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程； (2)若直线和、分别交于两点，且，求直线的方程. 【详解】（1）设，则直线，由直线经过点， 得，于是，即，当且仅当时取等号， ，因此当时，的面积最小，直线， 所以直线的方程为. （2）直线、，则，直线间距离， 过作于，则，而，则，， 设直线的倾斜角为，，设直线的倾斜角为，由直线与的夹角为， 得或，于是或， 因此直线：或，即或， 所以直线的方程为或. 21．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. (2)不存在，理由：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $