专题1-3 两条直线的位置关系与点到直线的距离9大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

1-3 两条直线的位置关系与点到直线的距离（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型二 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型三 两条直线的交点坐标 题型四 过两条直线交点的直线系方程 题型五 恒过定点的直线 题型六 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型七 点到直线的距离公式 题型八 两条平行直线间的距离 题型九 两直线的夹角与到角问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交、平行与重合的判定 掌握一般式与斜率两种判定方法，能根据直线位置关系求参数，熟练检验平行与重合的取舍 高频基础考点，填空、选择为主，易错点为忽略直线重合检验、斜率不存在的特殊情况 两直线垂直的判定 掌握向量法与斜率法垂直判定公式，能结合充分必要条件求解参数，适配斜率不存在的直线 必考基础考点，选择填空高频，易错点为遗漏直线斜率不存在的垂直情况 两直线交点坐标与直线系方程 会联立方程求交点，掌握过两直线交点的直线系方程，能根据方程组解的个数判断直线位置 中档考点，填空为主，易错点为直线系方程参数范围判断、方程组无解条件混淆 恒过定点的直线问题 掌握分离参数法求直线定点，能结合代数条件判定直线恒过象限，快速求解定点坐标 基础技巧考点，填空必考，易错点为参数分离不彻底、定点坐标计算错误 直线关于点、直线的对称问题 掌握点对称、轴对称求解方法，能解决将军饮马等最短路径问题，结合几何性质化简计算 中档重难点，填空、解答均有考查，易错点为对称点坐标求解、反射路径转化失误 点到直线的距离公式 熟记点到直线距离公式，能求解特殊直线（水平/竖直）距离，结合距离条件求参数 核心必考考点，全题型覆盖，易错点为公式绝对值遗漏、分母根式计算错误 两条平行直线间的距离 掌握平行线距离公式，能统一直线系数后计算距离，结合距离条件求解直线方程参数 高频基础考点，填空为主，易错点为未统一x、y系数直接代入公式 两直线的夹角与到角问题 掌握夹角正切公式，能根据夹角求直线斜率/方程，区分夹角与到角的取值范围 中档考点，填空为主，易错点为夹角公式绝对值遗漏、倾斜角范围判断错误 知识点01 两条直线的相交、平行与重合 给定两条直线： （、均不为零）， （、均不为零）。直线与相交 直线与平行 直线与重合 斜率判定（不重合直线）： ，两直线相交 且，两直线平行 且，两直线重合 知识点02 两条直线垂直的判定 设（、不同时为零），（、不同时为零）。 向量视角： 斜率视角（斜率都存在）： 知识点03 两条直线夹角的求法 夹角范围： 斜率视角：（） 向量视角： 知识点04 点到直线的距离 点到直线的距离公式：点到直线的距离 特殊直线距离： 到轴： 到轴： 到： 到： 两平行线间距离：与的距离 核心公式： 平面内点到直线（不同时为0）的距离： 特殊直线简化公式（小题速算）： 竖直线： 水平线： 题型一 直线的一般式方程与直线的平行关系 答｜题｜模｜板 ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】（24-25高二下·杨浦区期中）已知直线l1：ax+y﹣1＝0，直线l2：x+ay﹣2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】结合直线平行条件求出a，然后检验充分必要性即可． 【解答】解：若直线l1：ax+y﹣1＝0，直线l2：x+ay﹣2＝0平行，则a2＝1，即a＝1或a＝﹣1， 当a＝﹣1时，l1：﹣x+y﹣1＝0，直线l2：x﹣y﹣2＝0平行， 若a＝1时，l1：x+y﹣1＝0，直线l2：x+y﹣2＝0平行， 故a＝1或a＝﹣1， 则“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】（24-25高二下·宝山区期中）若直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0平行，则a＝ 　 　 ． 【答案】﹣1 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，注意检验即可得解． 【解答】解：因为l1∥l2，l1：ax+3y﹣6＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0， 所以a（a﹣2）﹣3＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1）＝0， 所以a＝3或a＝﹣1． 当a＝3时，l1：3x+3y﹣6＝0，l2：x+y﹣2＝0，l1，l2重合； 当a＝﹣1时，l1：﹣x+3y﹣6＝0，l2：x﹣3y﹣2＝0，符合题意． 故答案为：﹣1． 【变式2】（24-25高二下·宝山区期中）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则实数a＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可． 【解答】解：因为直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，且l1∥l2， 所以a2＝1×1，解得a＝1或a＝﹣1， 当a＝1时，直线l1：x+y＝1，l2：x+y＝1重合，故舍去， 故a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式3】（24-25高二下·金山区期中）已知常数a∈R，设直线l1：x+ay+（a+1）＝0，直线l2：（a﹣1）x+6y+3＝0． （1）若l1⊥l2，求a的值． （2）若l1与l2平行，求l1与l2的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据直线垂直的性质即可求解； （2）根据直线平行的性质求得a，进而求解结论． 【解答】解：（1）由题意知l1的法向量为（1，a），l2的法向量为（a﹣1，6）， 若l1⊥l2，则； （2）若l1与l2平行，则a（a﹣1）＝6⇒a＝3，或a＝﹣2， 经检验a＝3， 则直线l1：x+3y+4＝0，直线， 则l1与l2的距离为． 题型二 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【典例2】（24-25高二下·宝山区期中）“a＝﹣1”是“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案． 【解答】解：当a＝﹣1时，直线x+ay+1＝0可化为x﹣y+1＝0，斜率为1， 直线ax﹣y﹣1＝0可化为﹣x﹣y﹣1＝0，即x+y+1＝0，斜率为﹣1， 因为1×（﹣1）＝﹣1，所以两直线垂直， 所以由“a＝﹣1”可以推出“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”， 若“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”，则1×a+a×（﹣1）＝0恒成立， 并不需要a参与其中， 所以由“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”推不出“a＝﹣1”， 所以“a＝﹣1”是“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】（23-24高二下闵行区期中）若直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果． 【解答】解：直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直， 则3（a﹣1）﹣a＝0，解得a． 故选：B． 【变式2】（24-25高二下·上海期中）若直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0垂直，则a＝　 　 ． 【答案】． 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：直线l1：ax+3y﹣6＝0的斜率为， 若a＝0，则l1：y＝2，l2：x﹣2y﹣2＝0，不垂直，不符合题意； 若a＝2，则l1：2x+3y﹣6＝0，l2：x＝2，不垂直，不符合题意； 若a≠2，则l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0的斜率为， 因为直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0垂直， 所以，解得． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二下普陀区期中）若直线Ax+4y﹣2＝0和直线2x﹣5y+C＝0垂直，则A＝ 　 　 ． 【答案】10． 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为﹣1计算可得． 【解答】解：直线Ax+4y﹣2＝0的斜率为， 直线2x﹣5y+C＝0的斜率为， 由两直线垂直可得，解得A＝10． 故答案为：10． 题型三 两条直线的交点坐标 答｜题｜模｜板 ﹣求交点： 1．代入消元法：用一个方程中的x或y表示代入另一个方程，解得x和y的值． 2．求解交点：解得x和y后，得到交点坐标． 【典例3】（23-24高二下·黄浦区期中）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求． 【解答】解：因为三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立可得x＝y＝2，此时2+2k＝0，即k＝﹣1， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3， 所以k＝﹣2或k＝0． 故选：C． 【变式1】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+2（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣2＝0和l2：a2x+b2y﹣2＝0的交点情况是（　　） A．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多个交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．存在k，P1，P2使之无交点 【答案】A 【分析】利用两点间斜率公式以及点在直线上进行化简，得到关系a2b1﹣a1b2＝2a2﹣2a1，联立两条直线的方程，研究方程组的解的个数，即可得到答案． 【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+2（k为常数）上两个不同的点， 直线y＝kx+2的斜率存在， 则，即a1≠a2，且b1＝ka1+2，b2＝ka2+2， 所以a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+2a2﹣2a1＝2a2﹣2a1， 联立方程组，解得（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1， 即2（a1﹣a2）x＝b2﹣b1， 所以方程有唯一解． 故选：A． 【变式2】（24-25高二下·浦东新区期中）已知关于x、y的方程组无解，则实数m的值为　 　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：关于x、y的方程组无解， 直线mx﹣2y+1＝0与直线m﹣（m+1）y+1＝0平行， 则m（m+1）＝2，解得m＝﹣2或1， 当m＝﹣2时，两直线不重合，符合题意， 当m＝1时，两直线重合，不符合题意， 故m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 题型四 过两条直线交点的直线系方程 答｜题｜模｜板 ﹣直线方程：给定两条直线l1和l2的交点P（x0，y0），可以用直线的一般方程表示： a（x﹣x0）+b（y﹣y0）＝0 ﹣直线系方程：通过交点和斜率来确定直线方程，通常会使用斜截式或点斜式． ﹣已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），过两条直线交点的直线系方程为： λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）＝0，其中λ、μ不同时为0． 【典例4】（24-25高二下·杨浦区期中）在平面直角坐标系中，对于△ABC及直线l，记d1（A）、d1（B）、d1（C）分别表示A、B、C到l的距离，且，对于给定的△ABC，记S1的最小值为m△ABC． （1）已知定点A（0，0），B（3，0），C（2，2），直线l的方程为x+7y+9＝0，求S1的值； （2）已知A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC）为给定的不共线的三点，若直线l0使得，求证：直线l0过△ABC的重心； （3）若对于△ABC，满足S1＝m△ABC的不同直线l至少有两条，试判断△ABC的形状，并予以证明． 【答案】（1）17；（2）证明过程见解析；（3）等边三角形；证明过程见解析． 【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式求出结果； （2）二次函数的性质以及直线的方程的应用求出结果； （3）利用直线方程和三角函数的关系式的变换和三角函数的性质求出结果． 【解答】解：（1）因为A（0，0），B（3，0），C（2，2），直线l的方程为x+7y+9＝0， 由点到直线的距离公式可得，， 又因为， 所以S1＝（）2+（）2+（）2； （2）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），直线l：ax+by+c＝0， 对任意固定的a、b，要使得， 最小， 那么由二次函数的性质可得c， 此时直线方程为l：ax+by+c0， 过△ABC的重心，因此l′过△ABC的重心； （3）由（2）知，SΔABC取最小值时，l过△ABC的重心，不失一般性， 不妨设A（xA，﹣h）B（xB，﹣h），C（﹣（xA+xB），2h），其中h≠0， 此时l的方程为sinθ•x﹣cosθ•y＝0，这里θ表示直线l的倾斜角，0≤θ＜π， 此时S△ABC， ， 此时SΔABC（θ）为关于θ的函数、定义域域为[0，π）的函数， 令λ＝3h（xA+xB），，， 则， 若λ≠0或 μ≠0，那么函数SΔABC＝1（θ）在 θ∈[0，π）上有且仅有一个最小值， 这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有 λ ＝0 且 μ ＝0，即， 由h≠0得， 由此不难通过几何关系得到△ABC为等边三角形． 【变式1】已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R （1）直线过定点P，求点P坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0 可得直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1） （2）令y＝0，得A（）；令x＝0，得B（0，1+2k） 三角形OAB的面积为s4，解得k 【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0 ∴直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1） ∴P（﹣2，1）． （2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B， ∴k＞0 令y＝0，得A（）；令x＝0，得B（0，1+2k） 三角形OAB的面积为s4 解得k ∴直线l方程为：x﹣2y+4＝0 题型五 恒过定点的直线 答｜题｜模｜板 直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【典例5】（24-25高二下·静安区期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 【答案】B 【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标． 【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理可得m（x+3y）﹣y+1＝0， 令，解得x＝﹣3，y＝1， 即直线恒过定点（﹣3，1）． 故选：B． 【变式1】（24-25高二下·徐汇区期中）设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为 　 　 ． 【答案】（0，2）． 【分析】将直线转化为k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令，即可求解． 【解答】解：直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0， 令，解得x＝0，y＝2， 故点P的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 【变式2】（24-25高二下·金山区期中）不论a取何值时，直线（a﹣3）x+2ay+6＝0恒过第 　 　 象限． 【答案】四． 【分析】化简直线方程为a（x+2y）﹣3x+6＝0，列方程组，进而求解即可． 【解答】解：直线（a﹣3）x+2ay+6＝0可化为a（x+2y）﹣3x+6＝0， 由，得， 所以直线（a﹣3）x+2ay+6＝0恒过定点（2，﹣1）， 因为（2，﹣1）在第四象限， 故直线（a﹣3）x+2ay+6＝0恒过第四象限． 故答案为：四． 【变式3】（24-25高二下·上海期中）已知实数a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c＝0必过定点 　 　 ． 【答案】（1，﹣2）． 【分析】由a，b，c成等差数列，可得2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，故直线ax+by+c＝0可得． 【解答】解：∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a+c，∴a﹣2b+c＝0， ∴直线ax+by+c＝0必过点（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）． 题型六 与直线关于点、直线对称的直线方程 答｜题｜模｜板 点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： 直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【典例6】（24-25高二下·宝山区期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过三角形ABC的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积． 【解答】解：由题意等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，光线QR经过△ABC的重心， 可建立直角坐标系， 可得B（6，0），C（0，6），故直线BC的方程为x+y＝6， 则三角形ABC的重心为，即（2，2）， 设P（a，0），其中0＜a＜6，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y）， 满足，解得，即P1（6，6﹣a）， 易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为，故直线QR的方程为， 由于直线QR过三角形ABC的重心（2，2），代入得， 化简得a＝2或a＝0（舍去），故P（2，0），P1（6，4），P2（﹣2，0），直线QR的方程为， 联立，解得，即点Q的坐标为， 则三角形PQB的面积． 故选：A． 【变式1】（24-25高二下·普陀区期中）直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是（　　） A．2x+3y+7＝0 B．3x﹣2y+2＝0 C．2x+3y+8＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0 【答案】C 【分析】直线l关于点A对称后的直线l'与原直线l平行，对称中心A到两直线l，l'的距离相等，列方程求解． 【解答】解法一： 因为直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程l'为2x+3y+c＝0， 又∵点（1，﹣1）到两直线距离相等． ∴ 化简得：|c﹣1|＝7 即c＝﹣6 或 c＝8 ∴l'方程为2x+3y﹣6＝0 （舍） 或 2x+3y+8＝0， 直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是2x+3y+8＝0； 故选C． 解法二：直线2x+3y﹣6＝0上任选两点，比如A（0，2），B（3，0）， 所以点A，B关于点（1，﹣1）对称的点A'，B'在所求直线上． ∵A与A'的中点为点（1，﹣1） ∴点A'（2，﹣4） 同理可得B'（﹣1，﹣2） 由两点式得直线A'B'方程为：2x+3y+8＝0 故选：C． 【变式2】（24-25高二下·金山区期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣1，0），若将军从山脚下的点O（0，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，运用轴对称的性质求出B点关于直线x+y＝3的对称点A的坐标，然后求出|OA|的长，即可得到“将军饮马”的最短总路程． 【解答】解：设B（﹣1，0）关于直线x+y＝3的对称点的坐标为A（a，b）， 则|OA|为“将军饮马”的最短总路程，如图所示： 由，解得，故A（3，4）， 可得|OA|5，即“将军饮马”的最短总路程等于5． 故选：D． 【变式3】（24-25高二下·浦东新区期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为Ω：x2+y2≤1；（2）若军营所在区域为Ω′：|x|+2|y|≤2；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 　　 ． 【答案】． 【分析】设点A（3，0）关于直线x+y＝4的对称点为A′（a，b），由对称性，解得A′（4，1），作出可行域，结合图形，即可解得答案． 【解答】解：（1）若军营所在区域为Ω：x2+y2≤1， 圆：x2+y2＝1的圆心为原点，半径为1，作图1如下： 设将军饮马点为P，到达营区点为B，设A′（x，y）为A关于直线x+y＝4的对称点， 因为A（3，0），所以线段AA′的中点为，则， 又， 联立解得：，即A′（4，1）． 所以总路程|PB|+|PA|＝|PB|+|PA′|，要使得总路程最短，只需要|PB|+|PA′|最短， 即点A′到圆x2+y2＝1上的点的最短距离，即为． （2）军营所在区域为Ω′：|x|+2|y|≤2， 对于|x|+2|y|＝2，在x≥0，y≥0时为x+2y＝2，令x＝0，得y＝1，令y＝0，则x＝2， 图形为连接点（0，1）和（2，0）的线段，根据对称性得到|x|+2|y|＝2的图形为图2中所示的菱形，容易知道：Ω′：|x|+2|y|≤2为这个菱形的内部（包括边界）， 由图2可知，最短路径为线段A′E，连接A′E交直线x+y＝4于点Q， 则饮马最佳点为点Q，所以点A′到区域Ω′最短距离， 即“将军饮马”最短总路程为， 综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为． 故答案为：． 题型七 点到直线的距离公式 答｜题｜模｜板 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 【典例7】[分类讨论]（23-24高二下· 闵行区期中）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系，则实数t的所有可能的值为 　 　 ． 【答案】或或． 【分析】将已知等式化简，结合点到直线的距离公式，可知存在三条直线满足A、B到l的距离等于t，求出|AB|＝5，可得t.当t时，存在三条直线满足题设条件；当0＜t时，根据直线l经过AB的中点与原点O，或直线l经过原点与直线AB平行，求出满足条件的t值，再加以综合，可得本题答案． 【解答】解：由题意得t＞0，整理得， 设直线l：ax+by+1＝0，根据点到直线的距离公式， 可知有且仅有三条直线满足A（1，1）、B（4，﹣3）到l的距离等于t． |AB|5， （1）当时，符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线， 以及与直线AB平行且距离等于的两条直线． （2）当时，存在4条直线l，使得点A和B到它们的距离都相等， 注意到直线l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到直线l的距离为d， ①若被舍去的直线l经过原点和AB的中点，则其方程为2x+5y＝0， 此时，符合题意； ②若被舍去的直线l，过原点且与AB平行，则其方程为4x+3y＝0， 此时，也符合题意． 综上所述，满足题意的实数t值等于． 故答案为：或或． 【变式1】（23-24高二下·浦东新区期中）点（2，0）到直线的距离是 　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式加以计算，可得答案． 【解答】解：由点到直线的距离公式，可知点（2，0）到直线的距离d2． 故答案为：2． 【变式2】（23-24高二下·宝山区期中）点P（3，1）到直线x+y﹣3＝0的距离为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式加以计算，可得答案． 【解答】解：根据点到直线的距离公式，可得点P（3，1）到直线x+y﹣3＝0的距离d． 故答案为：． 【变式3】（23-24高二下·静安区期中）点P（2，3）到直线l：y＝﹣2x+3的距离是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意将直线l方程化为2x+y﹣3＝0，然后利用点到直线的距离公式算出答案． 【解答】解：根据题意，可得直线l：y＝﹣2x+3，即2x+y﹣3＝0， 所以P（2，3）到直线l的距离． 故答案为：． 题型八 两条平行直线间的距离 答｜题｜模｜板 直线Ax+By+C1＝0与直线Ax+By+C2＝0，它们之间的距离为： 【典例8】（23-24高二下·闵行区期中）设a∈R，若直线2x+y﹣3＝0与直线2x+y+a＝0之间的距离为，则a的值为 　 　 ． 【答案】2或﹣8． 【分析】根据平行线间距离公式即可求解． 【解答】解：由题意可得，解得a＝2或a＝﹣8． 故答案为：2或﹣8． 【变式1】（24-25高二下·普陀区期中）若直线2x+y﹣3＝0与直线4x+2y+a＝0之间的距离为，则实数a的值为 　 　 ． 【答案】﹣1或﹣11 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可． 【解答】解：直线2x+y﹣3＝0，即4x+2y﹣6＝0， 故，解得a＝﹣1或a＝﹣11． 故答案为：﹣1或﹣11． 【变式2】（24-25高二下·浦东新区期中）直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣6y+1＝0的距离为　 　 ． 【答案】． 【分析】结合平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线l1：2x﹣3y+1＝0，即4x﹣6y+2＝0，直线l2：4x﹣6y+1＝0， 两直线平行，二者的距离为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下·宝山区期中）直线3x+4y﹣12＝0和直线3x+4y﹣3＝0间的距离是　 　 ． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案． 【解答】解：直线3x+4y﹣12＝0和直线3x+4y﹣3＝0的斜率相等，截距不相等，两条直线平行， 由平行线之间的距离公式可得． 故答案为：． 题型九 两直线的夹角与到角问题 答｜题｜模｜板 ﹣夹角：两条直线的夹角θ可以由斜率k1和k2计算： ﹣斜率k的计算方法是将直线方程Ax+By+C＝0转换为y＝kx+b的形式． 【典例9】（24-25高二下· 浦东新区期中）若直线x+y+1＝0与直线x+by+3＝0的夹角为，则实数b的值为　 　 ． 【答案】0． 【分析】求解两条直线的倾斜角，然后求解b的值． 【解答】解：直线x+y+1＝0的倾斜角为，直线x+y+1＝0与直线x+by+3＝0的夹角为， 可知直线x+by+3＝0的倾斜角为0或，显然直线的倾斜角不为0，所以直线为x＝﹣3， 所以b＝0． 故答案为：0． 【变式1】（24-25高二下·静安区期中）两直线y＝x﹣1与x﹣2y+1＝0的夹角为　 　 ．（结果用反三角表示） 【答案】arctan． 【分析】利用夹角公式，求解即可． 【解答】解：直线y＝x﹣1与x﹣2y+1＝0的斜率分别为1，； 两直线y＝x﹣1与x﹣2y+1＝0的夹角为θ， 所以tanθ， 可得θ＝arctan． 故答案为：arctan． 【变式2】（24-25高二下·嘉定区期中）已知直线l经过点，并且与直线的夹角为，求直线l的方程． 【答案】x＝﹣3或． 【分析】先求出l0的倾斜角，根据两直线的夹角，求得l的倾斜角，结合直线过点P，可求得直线l的方程． 【解答】解：由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线l和直线的夹角为，故直线l的倾斜角为或， 故直线l的斜率不存在或斜率为． 再根据直线l经过点，得直线l的方程为x＝﹣3或， 即x＝﹣3或． 【变式3】（24-25高二下·上海期中）已知直线l′经过点P（2，1），与直线l：x+2y+1＝0的夹角为．则直线l′的方程 　 ． 【答案】x＝2或3x﹣4y﹣2＝0． 【分析】设直线l的倾斜角为α，两直线夹角为θ，利用反三角函数的性质算出tanθ＝2，然后分类讨论l′的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式求出直线l′的方程． 【解答】解：根据题意，直线l：x+2y+1＝0斜率k1， 设直线l的倾斜角为α，根据直线l的斜率为负数，可知， 由，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为θ，则，且， 可得，． ①当l′的斜率不存在，则l′：x＝2，此时，可得，符合题意； ②当l′的斜率存在，设l′的斜率为k，则，解得， 所以直线，即3x﹣4y﹣2＝0． 综上所述，直线l′的方程为x＝2或3x﹣4y﹣2＝0． 故答案为：x＝2或3x﹣4y﹣2＝0． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下· 黄浦区期中）若直线l1：ax+2y+1＝0与l2：x+（a+1）y+1＝0互相垂直，则a的值为 　 　 ． 【答案】． 【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解． 【解答】解：∵直线l1：ax+2y+1＝0与l2：x+（a+1）y+1＝0互相垂直， ∴a+2（a+1）＝0， 解得a． 故答案为：． 2．（24-25高二下·上海期中）若点A（0，4）和点B（﹣1，3）关于直线l：mx+y+n＝0对称，则m+n＝ 　 　 ． 【答案】﹣2 【分析】根据题意，直线l是线段AB的垂直平分线，由此建立关于m、n的方程组，解出m、n的值，可得答案． 【解答】解：因为A、B关于直线l：mx+y+n＝0对称， 所以直线l是线段AB的垂直平分线， 由AB⊥l，得kAB•（﹣m）＝﹣1，kAB， 结合A（0，4）、B（﹣1，3），可得kAB，解得m＝1． 因为AB的中点，在直线l上，所以，解得n＝﹣3． 所以m+n＝1﹣3＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3.（24-25高二下·宝山区期中）点P（2，﹣1）到直线x+y＝3的距离为 　 　 ． 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式直接求出答案． 【解答】解：点P（2，﹣1）到直线x+y﹣3＝0的距离d． 故答案为：． 4.（24-25高二下·杨浦区期中）已知直线l1：x+my﹣2＝0与直线l2：mx+y+2＝0平行，其中m∈R，则直线l1与l2之间的距离等于　 　 ． 【答案】 【分析】由两条直线平行的条件解得m的值，进而求出直线l1，l2的方程，由平行线间的距离公式，可得这两条直线的距离． 【解答】解：由直线l1与直线l2平行，则m2＝1，m＝±1， 当m＝﹣1时，直线l1：x﹣y﹣2＝0与直线l2：﹣x+y+2＝0重合，不合题意， 当m＝1时，直线l1：x+y﹣2＝0与直线l2：x+y+2＝0平行， 所以直线l1与l2之间的距离d2． 故答案为：． 5.（24-25高二下·普陀区期中）已知A（1，3），B（5，7）． （1）求线段AB垂直平分线的方程； （2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程． 【答案】（1）x+y﹣8＝0．（2）x﹣y+1＝0或5x﹣4y+5＝0． 【分析】（1）由题意，利用两直线垂直的性质，用点斜式求出线段AB垂直平分线的方程． （2）由题意，直线l和线段AB平行或经过线段AB的中点，再利用点斜式、两点式求出直线l的方程． 【解答】解：（1）∵A（1，3），B（5，7），故线段AB的中点为C（3，5），直线AB的斜率为1， 故线段AB垂直平分线的方程为y﹣5＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣8＝0． （2）由于直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等， 故有直线l和线段AB平行或经过线段AB的中点为C（3，5）． 当直线l和线段AB平行时，方程为y﹣0＝1×（x+1），即x﹣y+1＝0． 当直线l经过线段AB的中点为C（3，5）时，方程为，即5x﹣4y+5＝0． 6.（23-24高二下·宝山区期中）（1）求过点（1，3）且与直线l：3x+4y﹣12＝0平行的直线l′的方程； （2）求与直线4x+3y+5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB面积为的直线方程． 【答案】（1）3x+4y﹣15＝0； （2）3x﹣4y±0． 【分析】（1）根据两条直线平行，设直线l′的方程为3x+4y+C＝0，代入点（1，3）计算出C，可得直线l′的方程； （2）根据两条直线垂直，设所求直线为3x﹣4y+D＝0，然后利用三角形的面积公式算出D，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据直线l：3x+4y﹣12＝0，设与直线l平行的直线l′方程为3x+4y+C＝0， 结合点（1，3）在直线l′上，可得3+12+C＝0，解得C＝﹣15，故直线l′的方程为3x+4y﹣15＝0． （2）根据所求直线与直线4x+3y+5＝0垂直，设其方程为3x﹣4y+D＝0， 可知该直线与x轴交于点A（，0），与y轴交于点B（0，）， 所以△AOB面积S||||，解得D＝±，故所求直线的方程为3x﹣4y±0． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·宝山区期中）已知点P（1，2），直线l：2x﹣y﹣1＝0． （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行设出直线方程，代入点P（1，2），求出答案； （2）根据垂直设出直线方程，代入点P（1，2），求出答案． 【解答】解：（1）设经过点P且与直线l平行的直线方程为2x﹣y+C＝0（C≠﹣1）， 将P（1，2）代入得2﹣2+C＝0，解得C＝0， 故经过点P且与直线l平行的直线方程为2x﹣y＝0； （2）设经过点P且与直线l垂直的直线方程为x+2y+C1＝0， 将P（1，2）代入得1+4+C1＝0，解得C1＝﹣5， 故经过点P且与直线l垂直的直线方程为x+2y﹣5＝0． 2.（24-25高二下·上海期中）已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m＝0（m∈R）． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线是否过定点，若存在直线过的定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】（1）m∈R且m≠﹣1； （2），直线方程是3x﹣4＝0； （3）直线不经过定点，理由见解析． 【分析】（1）根据形如Ax+By+C＝0的方程表示直线的条件，列式算出m的取值范围，可得答案； （2）若直线的斜率不存在，它的一般形式是Ax+C＝0，A≠0．由此列式算出m的值，进而得到直线的方程； （3）将直线方程整理得到m2（x+2y）+m（﹣2x+y﹣2）+（﹣3x﹣y+6）＝0，发现不存在x、y的值使三个括号内的式子都为0，故该直线不经过定点． 【解答】解：（1）方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m＝0表示直线，则m2﹣2m﹣3与2m2+m﹣1不都为0， 而m2﹣2m﹣3＝0与2m2+m﹣1＝0的公共解为m＝﹣1，故m≠﹣1，即该方程表示直线的条件是m∈R且m≠﹣1； （2）若方程表示的直线斜率不存在，则y的系数为0且x的系数不是0， 由，解得，此时直线的方程为，即3x﹣4＝0； （3）将方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m＝0整理， 得m2（x+2y）+m（﹣2x+y﹣2）+（﹣3x﹣y+6）＝0， 因为直线x+2y＝0、﹣2x+y﹣2＝0与﹣3x﹣y+6＝0两两相交，有三个交点， 所以不存在x、y的值，使m2（x+2y）+m（﹣2x+y﹣2）+（﹣3x﹣y+6）＝0成立，故该直线不经过定点． 3．（23-24高二下·徐汇区期中）已知直线l的倾斜角为α，，且这条直线经过点． （1）求直线l的方程； （2）直线恒过定点B，求点B到直线l的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案． 【解答】解：（1）由，α∈[0，π）， 则，tanα＝1， ∴直线l的斜率k＝1，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线l的方程为； （2）∵直线， 化简得， ∴直线过定点， 则点到直线的距离为， 故B到直线l的距离为． 4.（24-25高二下·杨浦区期中）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（3，1）、C（﹣1，0）． （1）求△ABC的面积S； （2）求BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）利用三角形的面积公式求△ABC的面积． （2）求出BC的中点坐标，即可求BC边上的中线；求出高的斜率，即可求出AC边上的高所在的直线方程，再联立方程组求解即可． 【解答】解：（1）|AB|2，|BC|，|AC|， ∴cosA， ∴sinA， ∴△ABC的面积S5； （2）BC的中点坐标为（1，）， ∴BC边上的中线方程为x＝1； kAC， ∴AC边上的高所在的直线方程y﹣1（x﹣3），即2x+3y﹣9＝0， 联立两直线方程，可解得x＝1，y，即BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标为． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 1-3 两条直线的位置关系与点到直线的距离（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型二 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型三 两条直线的交点坐标 题型四 过两条直线交点的直线系方程 题型五 恒过定点的直线 题型六 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型七 点到直线的距离公式 题型八 两条平行直线间的距离 题型九 两直线的夹角与到角问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交、平行与重合的判定 掌握一般式与斜率两种判定方法，能根据直线位置关系求参数，熟练检验平行与重合的取舍 高频基础考点，填空、选择为主，易错点为忽略直线重合检验、斜率不存在的特殊情况 两直线垂直的判定 掌握向量法与斜率法垂直判定公式，能结合充分必要条件求解参数，适配斜率不存在的直线 必考基础考点，选择填空高频，易错点为遗漏直线斜率不存在的垂直情况 两直线交点坐标与直线系方程 会联立方程求交点，掌握过两直线交点的直线系方程，能根据方程组解的个数判断直线位置 中档考点，填空为主，易错点为直线系方程参数范围判断、方程组无解条件混淆 恒过定点的直线问题 掌握分离参数法求直线定点，能结合代数条件判定直线恒过象限，快速求解定点坐标 基础技巧考点，填空必考，易错点为参数分离不彻底、定点坐标计算错误 直线关于点、直线的对称问题 掌握点对称、轴对称求解方法，能解决将军饮马等最短路径问题，结合几何性质化简计算 中档重难点，填空、解答均有考查，易错点为对称点坐标求解、反射路径转化失误 点到直线的距离公式 熟记点到直线距离公式，能求解特殊直线（水平/竖直）距离，结合距离条件求参数 核心必考考点，全题型覆盖，易错点为公式绝对值遗漏、分母根式计算错误 两条平行直线间的距离 掌握平行线距离公式，能统一直线系数后计算距离，结合距离条件求解直线方程参数 高频基础考点，填空为主，易错点为未统一x、y系数直接代入公式 两直线的夹角与到角问题 掌握夹角正切公式，能根据夹角求直线斜率/方程，区分夹角与到角的取值范围 中档考点，填空为主，易错点为夹角公式绝对值遗漏、倾斜角范围判断错误 知识点01 两条直线的相交、平行与重合 给定两条直线： （、均不为零）， （、均不为零）。直线与相交 直线与平行 直线与重合 斜率判定（不重合直线）： ，两直线相交 且，两直线平行 且，两直线重合 知识点02 两条直线垂直的判定 设（、不同时为零），（、不同时为零）。 向量视角： 斜率视角（斜率都存在）： 知识点03 两条直线夹角的求法 夹角范围： 斜率视角：（） 向量视角： 知识点04 点到直线的距离 点到直线的距离公式：点到直线的距离 特殊直线距离： 到轴： 到轴： 到： 到： 两平行线间距离：与的距离 核心公式： 平面内点到直线（不同时为0）的距离： 特殊直线简化公式（小题速算）： 竖直线： 水平线： 题型一 直线的一般式方程与直线的平行关系 答｜题｜模｜板 ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 【典例1】（24-25高二下·杨浦区期中）已知直线l1：ax+y﹣1＝0，直线l2：x+ay﹣2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1】（24-25高二下·宝山区期中）若直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0平行，则a＝ 　 　 ． 【变式2】（24-25高二下·宝山区期中）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则实数a＝　 　 ． 【变式3】（24-25高二下·金山区期中）已知常数a∈R，设直线l1：x+ay+（a+1）＝0，直线l2：（a﹣1）x+6y+3＝0． （1）若l1⊥l2，求a的值． （2）若l1与l2平行，求l1与l2的距离． 题型二 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【典例2】（24-25高二下·宝山区期中）“a＝﹣1”是“直线x+ay+1＝0与ax﹣y﹣1＝0垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二下闵行区期中）若直线（a﹣1）x+y﹣1＝0与直线3x﹣ay+2＝0垂直，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海期中）若直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0垂直，则a＝　 　 ． 【变式3】（23-24高二下普陀区期中）若直线Ax+4y﹣2＝0和直线2x﹣5y+C＝0垂直，则A＝ 　 　 ． 题型三 两条直线的交点坐标 答｜题｜模｜板 ﹣求交点： 1．代入消元法：用一个方程中的x或y表示代入另一个方程，解得x和y的值． 2．求解交点：解得x和y后，得到交点坐标． 【典例3】（23-24高二下·黄浦区期中）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．无数个 【变式1】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+2（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣2＝0和l2：a2x+b2y﹣2＝0的交点情况是（　　） A．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多个交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．存在k，P1，P2使之无交点 【变式2】（24-25高二下·浦东新区期中）已知关于x、y的方程组无解，则实数m的值为　 　 ． 题型四 过两条直线交点的直线系方程 答｜题｜模｜板 ﹣直线方程：给定两条直线l1和l2的交点P（x0，y0），可以用直线的一般方程表示： a（x﹣x0）+b（y﹣y0）＝0 ﹣直线系方程：通过交点和斜率来确定直线方程，通常会使用斜截式或点斜式． ﹣已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），过两条直线交点的直线系方程为： λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）＝0，其中λ、μ不同时为0． 【典例4】（24-25高二下·杨浦区期中）在平面直角坐标系中，对于△ABC及直线l，记d1（A）、d1（B）、d1（C）分别表示A、B、C到l的距离，且，对于给定的△ABC，记S1的最小值为m△ABC． （1）已知定点A（0，0），B（3，0），C（2，2），直线l的方程为x+7y+9＝0，求S1的值； （2）已知A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC）为给定的不共线的三点，若直线l0使得，求证：直线l0过△ABC的重心； （3）若对于△ABC，满足S1＝m△ABC的不同直线l至少有两条，试判断△ABC的形状，并予以证明． 【变式1】已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R （1）直线过定点P，求点P坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程． 题型五 恒过定点的直线 答｜题｜模｜板 直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【典例5】（24-25高二下·静安区期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　） A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0） 【变式1】（24-25高二下·徐汇区期中）设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为 　 　 ． 【变式2】（24-25高二下·金山区期中）不论a取何值时，直线（a﹣3）x+2ay+6＝0恒过第 　 　 象限． 【变式3】（24-25高二下·上海期中）已知实数a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c＝0必过定点 　 　 ． 题型六 与直线关于点、直线对称的直线方程 答｜题｜模｜板 点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为： 直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程． 【典例6】（24-25高二下·宝山区期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 【变式1】（24-25高二下·普陀区期中）直线2x+3y﹣6＝0关于点（1，﹣1）对称的直线方程是（　　） A．2x+3y+7＝0 B．3x﹣2y+2＝0 C．2x+3y+8＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0 【变式2】（24-25高二下·金山区期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣1，0），若将军从山脚下的点O（0，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝3，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（24-25高二下·浦东新区期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为Ω：x2+y2≤1；（2）若军营所在区域为Ω′：|x|+2|y|≤2；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 　 　 ． 题型七 点到直线的距离公式 答｜题｜模｜板 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 【典例7】[分类讨论]（23-24高二下· 闵行区期中）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系，则实数t的所有可能的值为 　 　 ． 【变式1】（23-24高二下·浦东新区期中）点（2，0）到直线的距离是 　 　 ． 【变式2】（23-24高二下·宝山区期中）点P（3，1）到直线x+y﹣3＝0的距离为 　 　 ． 【变式3】（23-24高二下·静安区期中）点P（2，3）到直线l：y＝﹣2x+3的距离是 　 　 ． 题型八 两条平行直线间的距离 答｜题｜模｜板 直线Ax+By+C1＝0与直线Ax+By+C2＝0，它们之间的距离为： 【典例8】（23-24高二下·闵行区期中）设a∈R，若直线2x+y﹣3＝0与直线2x+y+a＝0之间的距离为，则a的值为 　 　 ． 【变式1】（24-25高二下·普陀区期中）若直线2x+y﹣3＝0与直线4x+2y+a＝0之间的距离为，则实数a的值为 　 　 ． 【变式2】（24-25高二下·浦东新区期中）直线l1：2x﹣3y+1＝0与直线l2：4x﹣6y+1＝0的距离为　 　 ． 【变式3】（24-25高二下·宝山区期中）直线3x+4y﹣12＝0和直线3x+4y﹣3＝0间的距离是　 　 ． 题型九 两直线的夹角与到角问题 答｜题｜模｜板 ﹣夹角：两条直线的夹角θ可以由斜率k1和k2计算： ﹣斜率k的计算方法是将直线方程Ax+By+C＝0转换为y＝kx+b的形式． 【典例9】（24-25高二下· 浦东新区期中）若直线x+y+1＝0与直线x+by+3＝0的夹角为，则实数b的值为　 　 ． 【变式1】（24-25高二下·静安区期中）两直线y＝x﹣1与x﹣2y+1＝0的夹角为　 　 ．（结果用反三角表示） 【变式2】（24-25高二下·嘉定区期中）已知直线l经过点，并且与直线的夹角为，求直线l的方程． 【变式3】（24-25高二下·上海期中）已知直线l′经过点P（2，1），与直线l：x+2y+1＝0的夹角为．则直线l′的方程 　 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二下· 黄浦区期中）若直线l1：ax+2y+1＝0与l2：x+（a+1）y+1＝0互相垂直，则a的值为 　 　 ． 2．（24-25高二下·上海期中）若点A（0，4）和点B（﹣1，3）关于直线l：mx+y+n＝0对称，则m+n＝ 　 　 ． 3.（24-25高二下·宝山区期中）点P（2，﹣1）到直线x+y＝3的距离为 　 　 ． 4.（24-25高二下·杨浦区期中）已知直线l1：x+my﹣2＝0与直线l2：mx+y+2＝0平行，其中m∈R，则直线l1与l2之间的距离等于　 　 ． 5.（24-25高二下·普陀区期中）已知A（1，3），B（5，7）． （1）求线段AB垂直平分线的方程； （2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程． 6.（23-24高二下·宝山区期中）（1）求过点（1，3）且与直线l：3x+4y﹣12＝0平行的直线l′的方程； （2）求与直线4x+3y+5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB面积为的直线方程． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·宝山区期中）已知点P（1，2），直线l：2x﹣y﹣1＝0． （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程． 2.（24-25高二下·上海期中）已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m＝0（m∈R）． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线是否过定点，若存在直线过的定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 3．（23-24高二下·徐汇区期中）已知直线l的倾斜角为α，，且这条直线经过点． （1）求直线l的方程； （2）直线恒过定点B，求点B到直线l的距离． 4.（24-25高二下·杨浦区期中）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（3，1）、C（﹣1，0）． （1）求△ABC的面积S； （2）求BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $