直线之间的位置关系讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

直线的位置关系 【知识梳理】 1、直线与直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交 判别方法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 条 方 h:y=k x+b 11:ax+b1y+c1=0 程 关 件 12:y=k2x+b2 12:a,x+b2y+c2=0 系 平行 k1=k,且b1≠b2 4-6≠9 a2 b2 c2 重合 k1=k2且b=b2 a1-b-9 a2 b2 c2 相交 k,+k2 4*4 az ba 垂直 k1k2=-1 a1a2+b,b2=0 注：当直线平行于坐标轴时可结合图形考虑其位置关系 2、相交直线的夹角 设直角坐标系平面上两条直线方程为：1：a1x+by+C1=0l2:a,x+b2y+c2=0 其夹角为a,因为ae0,,所以有 向量表示：cosa=cos0曰 1八1·n2 aaz+bb2 va+b.vaz+b 因为ae0,受 余弦函数在[0，？]上单调递诚，所以此时α是唯一确定的 特别地，我们得到两条直线互相垂直的充要条件：4⊥12台aa2+b,b2=0. 斜率表示： 同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按斜率存在、斜案不存在”分类讨论 (I)若两直线的斜率都存在，当a≠严时，有公式tana= k2-k 1+kk3 (2)如果直线(，和12中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出. 3、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式 1小、P(x,,)到I:a+b刎+c=0的距离：d=l,+b+ Va2+b2 24:r++G=04:m+b+6,=0:d=S-G √a2+b2 【典型例题】 一、直线之间的位置关系 【例1】若三条直线l1:3x-y+2=0,12:2x+y+3=0,13:mx+y=0,当m为何值时， 三条直线不能构成三角形？ 【例2】P(x,y)是直线1：f(x,y)=0上一点，Q(x2,y2)是1外一点，则方程 f(x,y)=f(x1,y1)+f(x2,y2)表示的直线() (A)与I重合 (B)过Q点且与I平行 (C)与I相交于P点 (D)过Q点且与1相交 【例3】无论m、n取何实数，直线(3m一n)x十(m+2ny一n=0都过一定点P,则P点坐标为() A.(-1,3) B.(-,3) 2’2 c.- D.(-》 【例4】已知直线l的方程为(a-2)x+(a+1)y-3a=0(a∈R) 2 (1)求证：不论a取何值，直线过定点： (2)记定点为P,若直线I垂直OP,求实数a的值. 二、直线的夹角 【例5】根据下列题意，回答： (1)直线/：x-1=0和l2:x+3y-2=0的夹角为 (2)直线2x+2y-1=0和直线mr-y+1=0的夹角为，则m=_ 4 (3)直线ax+2(a-1)y-1=0和直线3x-(a-1)y+2=0平行，则a=一 3V10 【例6】已知直线I过点P(-4,I),且与直线m:3x-y+1=0夹角为arccos ，求直线1的方程. 10 【例7】在△ABC中，A(-1,5)、B(0,-1),∠C的平分线方程为：x+y-2=0,求AC所在的 直线方程； 【例8】已知两直线：x-y=0,42:a-y=0,其中a为实数，当两条直线的夹角在(0，石)内 12 3 变动时，求实数a的取值范围. 三、点到直线的距离 【例9】(1)过点P(2,3)与坐标原点距离为2的直线方程是 (2)若点P(-1,5),(5,3到直线1的距离都等于3，直线1的方程是 (3)已知，12是分别经过A2,1,B(0,2)两点的两条平行直线，当4，之间的距离最大时，直线(1的 方程是 【例10】过点P1,2)引直线1，使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等，求的方程. 【例11】已知a2sin0+acos0-1=0与bsin0+bcos0-1=0(a≠b).直线MW过点Ma,a)与点 N(b,b2),则坐标原点到直线MN的距离为 【例12】已知点P(2,-1),求： (1)过P点与原点距离为2的直线1的方程 (2)过P点与原点距离最大的直线1的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由. 【例13】过直线2x+y+8=0和直线x+y+3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线 x-y-5=0和x-y-2=0之间的线段长为√5，求该直线的方程. 【例14】平面中两条直线L和1，相交于点O,对于平面上任意一点M,若P,9分别是M到直线I和 1的距离，则称有序非负实数对(p,9)是点M的“距离坐标”已知常数P20,9≥0，给出下列命题： ①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个： ②若pg=0,p+g≠0，则“距离坐标”为(P,9)的点有且仅有2个