专题1-2 直线的方程7大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

专题1-2 直线的方程 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲（Ctrl并单击鼠标题型名称可跟踪链接） 题型一 方向向量与法向量的应用 题型二 点斜式与点法式方程求解 题型三 斜截式与点方向式方程求解 题型四 两点式与截距式方程求解 题型五 一般式方程与象限判定 题型六 直线方程综合（中线、角平分线、重心） 题型七 待定系数法求直线方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 方向向量与法向量 能根据直线方程写出方向向量、法向量，能由方向/法向量求直线斜率与倾斜角 期中基础必考点，选择、填空必考，难度低，分值4分 点斜式/点法式 掌握过定点、已知斜率/法向量的直线方程求法，熟练书写点斜式、点法式 期中高频基础考点，小题必考，是直线方程核心形式 斜截式/点方向式 能将直线方程化为斜截式，会写点方向式方程，明确斜率与截距意义 期中基础考点，填空常考，与函数结合紧密 两点式/截距式 会用两点坐标、截距求直线方程，注意线段与直线的区别 期中基础考点，选择、填空均有涉及 一般式与象限判定 能由一般式系数判断直线所过象限，掌握斜截式转化方法 期中高频易错点，选择必考，易在符号判断出错 直线综合应用 会求中线、角平分线、重心、欧拉线等几何直线方程 期中中档考点，填空、解答压轴常考 待定系数法 能根据平行、垂直、过交点等条件设方程并求解 期中核心方法，解答题必考 两直线交点与夹角 会求两直线交点，会计算夹角，会求过交点的直线方程 期中中档考点，解答题常考 知识点01 直线的点斜式方程 定义：设是直线上不同于的任意一点，方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程。 【特别提醒】 1.点斜式的适用前提：直线的点斜式方程，仅适用于斜率存在的直线；斜率不存在的直线（垂直于x轴），无法用点斜式表示，其方程为。 2.点斜式的核心要素：方程由“一个定点”和“直线斜率”唯一确定，只要确定这两个要素，就能直接写出直线的点斜式方程。 3.特殊情况：当直线的斜率时，直线平行于x轴，点斜式方程简化为，符合点斜式的通用形式。 4.点斜式是直线所有方程形式的基础，斜截式、两点式、截距式均可由点斜式推导得出。 【易错点】 1.忽略斜率不存在的情况，无论直线是否存在斜率，都强行套用点斜式方程，导致垂直于x轴的直线方程求解错误或漏解。 2.点斜式中坐标符号处理错误，将误写为、误写为，尤其是定点坐标为负数时，极易出现符号错误。 3.混淆定点坐标的横纵坐标，将代入的位置、代入的位置，导致直线方程完全错误。 4.化简点斜式方程时，去括号、移项过程中计算错误，最终得到的一般式方程系数偏差。 【解题方法】 1.点斜式方程标准求解步骤： ① 根据已知条件，确定直线所过的定点； ② 结合直线的倾斜角、方向向量、法向量、平行/垂直关系，求出直线的斜率； ③ 若斜率存在，将定点坐标和斜率代入点斜式公式，写出方程； ④ 若斜率不存在，直接写出直线方程； ⑤ 根据题目要求，将方程化简为对应形式。 2.结合法向量/方向向量的点斜式求解法： ① 已知直线的法向量，先通过法向量求出直线的斜率； ② 已知直线的方向向量，先通过方向向量求出直线的斜率； ③ 结合定点坐标，代入点斜式公式写出直线方程。 知识点02 直线的斜截式方程 定义：1.直线在y轴上的截距：一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2.直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，在y轴上的截距是，则直线的斜截式方程为。由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程。 【特别提醒】 1.截距的核心定义：直线在y轴上的截距，是直线与y轴交点的纵坐标，是坐标概念，可正、可负、可为0，并非线段的长度，不可将截距当作距离处理。 2.斜截式的适用前提：斜截式方程是点斜式的特殊形式，仅适用于斜率存在的直线，斜率不存在的直线无法用斜截式表示。 3.斜截式的核心要素：方程由“斜率”和“y轴截距”唯一确定，决定直线的倾斜方向，决定直线与y轴的交点位置。 4.斜截式与一次函数的关联：斜截式方程与一次函数的形式完全一致，是分析直线单调性、图象特征最常用的形式。 【易错点】 1.混淆“截距”和“距离”的概念，误认为截距只能是正数，在截距为负数时出现计算、判断错误。 2.忽略斜率不存在的情况，对垂直于x轴的直线强行使用斜截式，导致方程求解错误。 3.求直线在y轴上的截距时，符号处理错误，将中的符号写反，导致截距数值、直线方程错误。 4.处理“截距相等”类问题时，遗漏截距均为0的特殊情况，导致漏解。 【解题方法】 1.斜截式方程标准求解法： ① 根据已知条件求出直线的斜率； ② 求出直线在y轴上的截距（可通过代入直线上一点坐标、截距相关条件求解）； ③ 斜率存在时，直接代入斜截式公式，写出直线方程； ④ 斜率不存在时，单独写出直线方程，不可用斜截式表示。 2.截距相关问题分类讨论法： ① 处理截距相关问题时，先分“截距为0”和“截距不为0”两类情况； ② 截距为0时，直线过原点，方程可设为； ③ 截距不为0时，结合题目条件求出截距，代入斜截式求解。 知识点03 直线的两点式方程 定义：经过直线上两点，（其中，）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 公式：（，） 注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线。 特别地：①当时，直线的方程为；②当时，直线的方程为。 【特别提醒】 1.两点式的适用条件：直线的两点式方程，仅适用于且的直线，即与两坐标轴不垂直的直线。 2.特殊情况的直线方程： ① 当时，直线垂直于x轴，方程为，不可用两点式表示； ② 当时，直线垂直于y轴，方程为，不可用两点式表示。 3.直线与线段的方程区别：求线段的两点式方程时，必须在方程后标注自变量的取值范围，不可只写直线方程，遗漏定义域限制。 4.两点式的核心逻辑：方程由直线上两个不同的点唯一确定，只要已知直线上两点，就能确定直线的唯一方程。 【易错点】 1.忽略两点式的适用条件，当或时，强行套用两点式公式，出现分母为0的无意义情况，导致直线方程求解错误。 2.两点式中坐标对应顺序颠倒，分子分母的坐标交叉错位，导致直线方程变形错误。 3.求线段方程时，遗漏自变量的取值范围，将线段方程写成了直线方程，不符合题目要求。 4.两点式方程化简为一般式时，去分母、移项过程中计算错误，导致最终方程系数偏差。 【解题方法】 1.两点式方程标准求解步骤： ① 已知直线上两点、，先判断与、与是否相等； ② 若，直接写出直线方程；若，直接写出直线方程； ③ 若且，将两点坐标代入两点式公式，写出方程； ④ 根据题目要求，将方程化简为对应形式。 2.线段方程书写规范： ① 先按照直线方程的求解方法，写出线段所在直线的方程； ② 根据两点的横坐标，标注出的取值范围，写在方程后； ③ 若线段为竖直线，标注的取值范围。 知识点04 直线的一般式方程与直线的性质 定义：1.直线方程的本质：直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化。直线的一般方程的表达式是（、不同时为0）。 2.两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有： （1）；（2）。 3.直线的一般式方程核心性质： （1）一般式：，注意、不同时为0。直线一般式方程（）化为斜截式方程，表示斜率为，轴上截距为的直线。 （2）与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为。 （3）已知直线，的方程分别是：（，不同时为0），（，不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①； ②，； ③与重合⇔，； ④与相交⇔。 如果时，则；与重合⇔；与相交⇔。 【特别提醒】 1.一般式的通用性质：平面直角坐标系中，任意一条直线都可以表示为的形式（、不同时为0），反之，任何符合该条件的二元一次方程，都对应平面上的一条直线，是所有直线方程的通用形式。 2.平行与垂直的通用判定公式： ① 对于两条直线、，的充要条件是，该公式无需考虑斜率是否存在，适用于所有情况，是解题优先选用的方法； ② 的充要条件是且（或），需同时满足两个条件，排除两直线重合的情况。 3.平行/垂直直线的简便设法： ① 与直线平行的直线，可直接设为（）； ② 与直线垂直的直线，可直接设为，利用待定系数法求解，大幅简化计算。 4.一般式与斜截式的转化：时，可化为斜截式，其中斜率为，y轴截距为，是分析直线象限、图象特征的核心方法。 【易错点】 1.判定两直线平行时，仅验证，忽略的条件，将重合的直线误判为平行直线。 2.判定两直线垂直时，仅通过判定，忽略“一条斜率为0、一条斜率不存在”的垂直情况，导致漏解。 3.直线一般式转化为斜截式时，系数符号处理错误，将斜率误写为，截距符号写反，导致直线象限判定错误。 4.设平行/垂直直线方程时，系数对应错误，尤其是垂直直线的设法，、的系数颠倒后符号处理失误，导致方程不满足垂直条件。 5.分析直线所过象限时，截距的正负计算错误，尤其是负号处理不当，导致象限判定完全错误。 【解题方法】 1.直线方程形式转化法： ① 一般式转斜截式：时，通过移项、系数化为1，将化为，快速得到斜率和截距； ② 点斜式/斜截式/两点式转一般式：通过去分母、移项，将方程整理为的标准形式，保证的系数优先为正。 2.两直线平行/垂直标准判定步骤： ① 优先使用一般式判定：写出两条直线的一般式，确定对应系数，计算，结果为0则两直线垂直；计算，结果不为0则两直线相交，结果为0时，再验证常数项条件，判定是平行还是重合； ② 若使用斜率判定，先判断两条直线斜率是否都存在，再分别计算斜率，通过斜率关系判定平行或垂直。 3.直线象限判定法： ① 将直线一般式化为斜截式，通过斜率的正负判定直线的倾斜方向； ② 通过截距的正负，判定直线与y轴的交点位置； ③ 结合斜率和截距的正负，确定直线所经过的象限； ④ 也可通过求直线与x轴、y轴的交点坐标，根据交点在坐标轴的正负半轴，判定直线所过象限。 知识点05 待定系数法求直线方程 定义：1.求直线方程的两种核心方法： （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程。应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况。 （2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等。 2.待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点，可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解。 【特别提醒】 1.待定系数法的核心适用场景：已知直线的平行/垂直关系、直线过定点、截距相关条件等，无法直接写出直线方程时，优先选用待定系数法。 2.待定系数法的核心逻辑：先根据已知条件，设出含未知参数的直线方程形式，再将题目中的其他条件代入方程，求解出未知参数，最终确定直线方程。 3.设方程的核心技巧： ① 已知直线斜率，优先设斜截式； ② 已知直线过定点，优先设点斜式； ③ 已知直线与已知直线平行/垂直，优先利用平行/垂直直线的通用设法，设出对应一般式； ④ 已知直线在两坐标轴的截距关系，优先设截距式。 4.分类讨论核心原则：使用待定系数法时，若设点斜式/斜截式方程，必须单独讨论“斜率不存在”的情况，避免漏解。 【易错点】 1.设点斜式/斜截式方程时，遗漏斜率不存在的特殊情况，导致符合条件的直线方程漏解。 2.设平行直线方程时，未保证、的系数与已知直线完全一致，直接代入距离公式计算，导致距离结果错误。 3.设垂直直线方程时，、的系数颠倒后符号处理错误，导致所设方程不满足垂直条件，最终参数求解错误。 4.求解出参数后，未验证参数是否符合题目条件，尤其是两直线平行的场景，未排除直线重合的情况，导致结果错误。 5.处理含参数的直线方程时，忽略参数的取值限制，导致出现增根。 【解题方法】 1.待定系数法求直线方程通用步骤： ① 设方程：根据已知条件，选择合适的直线方程形式，设出含未知参数的方程； ② 列方程：将题目中的其他已知条件代入所设方程，建立关于未知参数的方程（组）； ③ 求参数：解方程（组），求出未知参数的取值； ④ 写结果：将求出的参数代入所设方程，整理为题目要求的方程形式； ⑤ 验漏解：单独验证斜率不存在、截距为0等特殊情况，补充符合条件的直线方程。 2.平行/垂直直线方程待定系数求解法： ① 已知直线，求平行直线时，设方程为，代入已知点坐标求解； ② 求垂直直线时，设方程为，代入已知点坐标求解。 3.多条件直线方程求解法： ① 先根据平行/垂直条件，确定直线的斜率，设出点斜式方程； ② 再结合截距、距离、过定点等其他条件，代入方程求解斜率； ③ 最终确定直线方程，同时验证斜率不存在的情况是否符合条件。 知识点06 两条直线的交点坐标 定义：1.直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为：，。 2.交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标。 【特别提醒】 1.交点与方程组解的核心对应关系：两条直线的交点坐标，就是两条直线方程组成的二元一次方程组的实数解；反之，二元一次方程组的实数解，就是对应两条直线的交点坐标。 2.方程组解的个数与直线位置关系： ① 方程组有唯一解两条直线相交，解即为交点坐标； ② 方程组无解两条直线平行，无交点； ③ 方程组有无数组解两条直线重合，有无数个交点。 3.过两直线交点的直线系方程：过两条直线、交点的直线，可设为（为参数），该方程可表示除外所有过两直线交点的直线，解题时可大幅简化计算。 4.交点是直线综合问题的核心纽带，求过交点的直线方程、直线夹角、距离等问题，都需要先求出两直线的交点坐标。 【易错点】 1.联立方程组求解交点时，代入消元、加减消元过程中计算错误，导致交点坐标求解错误，进而影响后续所有计算。 2.利用直线系方程求解时，遗漏直线本身，导致符合条件的直线方程漏解。 3.忽略方程组无解、无数组解的情况，仅关注有唯一解的相交场景，导致直线位置关系判定不全面。 4.处理含参数的直线交点问题时，未对参数进行分类讨论，忽略参数取特定值时直线平行、重合的情况。 【解题方法】 1.两直线交点标准求解步骤： ① 联立两条直线的方程，得到二元一次方程组； ② 选用代入消元法或加减消元法，解方程组； ③ 方程组有唯一解时，直接写出交点坐标； ④ 方程组无解时，判定两直线平行；方程组有无数组解时，判定两直线重合。 2.过两直线交点的直线方程求解法： ① 方法一：先联立方程组，求出两直线的交点坐标，再结合平行/垂直、过定点等其他条件，写出直线方程； ② 方法二：直接设过两直线交点的直线系方程，代入已知条件求出参数，整理后得到直线方程，同时验证直线是否符合条件。 3.含参数直线交点问题解法： ① 先根据方程组解的个数，建立关于参数的方程/不等式； ② 求解参数的取值/取值范围； ③ 结合参数的取值，判定直线的位置关系，或求出对应交点坐标。 题型一 方向向量与法向量的应用 答｜题｜模｜板 1.直线 法向量： 2.直线方向向量： 3.由方向向量求斜率： 4.由法向量求斜率： 易｜错｜点｜拨 1.方向向量与法向量搞反，最容易写反坐标 2.分母为0时斜率不存在，不能硬算 3.法向量直接对应直线一般式系数，不要变形 【典例1】（2025•长宁区期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用斜率公式和由方向向量的坐标，可得直线的斜率，即可得k的值． 【解答】解：因为A（0，3），B（﹣1，0） 可得直线AB的斜率为3， 再由直线的方向向量为（1，k），可得直线的斜率k， 所以k＝3． 故选：A． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题． 【变式1】（2025•徐汇区期中）若直线l的一个法向量为（﹣1，1），则l的倾斜角为 　 　 ． 【答案】． 【分析】由题意可得直线的其中一个方向向量的坐标，进而可得直线的斜率，再求出直线的倾斜角的大小． 【解答】解：因为直线l的一个法向量为（﹣1，1）， 可得直线的其中一个方向向量为（1，1）， 所以直线的斜率k1，设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）， 可得tanα＝k＝1，所以α． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题． 【变式2】（2025•杨浦区期中）已知向量为直线3x+8y+4＝0的一个法向量，则a的值为 　 　 ． 【答案】976． 【分析】求得直线的斜率，进而求解结论． 【解答】解：因为向量为直线3x+8y+4＝0的一个法向量， 且直线的斜率为：， 所以，解得a＝976． 故答案为：976． 【点评】本题主要考查直线的斜率，直线的法向量，属于基础题． 【变式3】（2025•徐汇区期中）直线的一个法向量可以是 　 　 ． 【答案】（5，2）（答案不唯一）． 【分析】利用直线的法向量的意义即可得出． 【解答】解：直线的斜率k， 故直线的一个法向量可以是（5，2）． 故答案为：（5，2）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 题型二 点斜式与点法式方程求解 答｜题｜模｜板 1.已知点+斜率 → 点斜式： 2.已知点+法向量 → 点法式： 3.最后统一整理为一般式 易｜错｜点｜拨 1.点斜式只适用于斜率存在，垂直x轴时要写 2.符号最容易错： 不要写成 3.点法式展开时漏乘、符号错 【典例2】（2025•浦东新区期中）已知经过点（1，﹣2）的直线l的一个法向量为，则l的点法式方程为 　 　 ． 【答案】 【分析】由已知直线l的法向量及直线所过定点，直接写出直线l的点法式方程． 【解答】解：∵直线l的一个法向量为，且经过点（1，﹣2）， 则l的点法式方程为：． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的点法式方程，是基础题． 【变式1】过点A（﹣1，5）且以（﹣2，1）为法向量的直线方程为 　 　 ． 【答案】2x﹣y+7＝0． 【分析】过点A（﹣1，5）且以（﹣2，1）为法向量的直线方程的斜率为k＝2，由此能求出结果． 【解答】解：过点A（﹣1，5）且以（﹣2，1）为法向量的直线方程的斜率为k＝2， ∴过点A（﹣1，5）且以（﹣2，1）为法向量的直线方程为： y﹣5＝2（x+1），整理得：2x﹣y+7＝0． 故答案为：2x﹣y+7＝0． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的法向量、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2】与向量平行且过点P（1，﹣3）的直线l方程： 　 ． 【答案】y+3＝0 【分析】由直线l与向量平行，可得直线l的斜率为：0，再结合直线过的点即可求出直线的方程． 【解答】解：因为直线l与向量平行， 所以直线l的斜率为：0． 又因为直线l过点P（1，﹣3）， 所以直线l的方程为：y＝﹣3，即y+3＝0． 故答案为：y+3＝0． 【点评】本题主要考查直线的方向向量与直线的斜率之间的关系，以及直线的点斜式方程． 【变式3】倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为 　 ． 【答案】x+y+1＝0 【分析】斜率k1，再利用点斜式即可得出． 【解答】解：斜率k1． ∴直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1）， 化为x+y+1＝0； 故答案为：x+y+1＝0． 【点评】本题考查了点斜式，属于基础题． 题型三 斜截式与点方向式方程求解 答｜题｜模｜板 1.斜截式：（直接看斜率、截距） 2.点方向式： 3.点方向式分母为0 → 对应坐标为定值 易｜错｜点｜拨 1.点方向式分母不能为0，为0时要单独写 2.斜截式变形时移项符号错误 3.水平直线、竖直直线容易写错 【典例3】（2024•浦东新区期中）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　 　 ． 【答案】． 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【解答】解：已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），故直线的方程为：，整理得x+4y＝19， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 【变式1】过点P（3，5），且与向量（4，2）平行的直线l的点方向式方程为　 　 ． 【答案】 【分析】根据题意，由点的坐标以及直线的方向向量，将其直接代入直线的点方向式方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l过点P（3，5），且以向量（4，2）为方向向量， 则其方程为：； 故答案为：． 【点评】本题考查直线的点方向式方程，关键是掌握直线的点方向式方程的形式． 题型四 两点式与截距式方程求解 答｜题｜模｜板 1.两点式： 2.截距式： 3.最后化为一般式 易｜错｜点｜拨 1.两点式分子分母顺序颠倒 2.截距可正可负，不是距离 3.线段要写范围，直线不写范围 【典例4】（2025•嘉定区期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是 　 ． 【答案】x+y﹣1＝0（0≤x≤1）． 【分析】由题意，利用截距式求直线的方程． 【解答】解：∵点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是1，即x+y﹣1＝0， 故答案为：x+y﹣1＝0（0≤x≤1）． 【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，属于基础题． 题型五 一般式方程与象限判定 答｜题｜模｜板 1.一般式→斜截式： 2.看正负→升降 3.看正负→与y轴交点上下 4.综合判断象限 易｜错｜点｜拨 1.、 符号最容易错 2.斜率为0、斜率不存在的特殊直线忘考虑 3.把截距当距离，判断正负失误 【典例5】（2025•杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　） A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0 C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0 【答案】B 【分析】直接利用直线经过的象限求出结果． 【解答】解：若直线Ax+By+C＝0，整理得，由于该直线经过第一、二、四象限， 所以，故． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 【变式1】（2025•上海期中）直线l：（m+1）x+my+2﹣m＝0经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数m的取值范围是　 　 ． 【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解． 【解答】解：直线l：（m+1）x+my+2﹣m＝0的斜率，（m≠0）， 直线l与x轴的交点为，m≠﹣1， 由题意可知，，解得：m＞2或m＜﹣1． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【点评】本题主要考查了直线方程的应用，属于基础题． 题型六 直线方程综合（中线、角平分线、重心） 答｜题｜模｜板 直线象限判定解题步骤： 1.重心公式： 2.中点坐标： 3.角平分线：用“到角公式”或对称性 4.欧拉线：重心、外心、垂心共线 易｜错｜点｜拨 1.中点、重心坐标公式记混、算错 2.中线是直线，不是线段 3.角平分线条件用错 【典例6】（2025•静安区期中）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知A（0，2），B（4，2），C（a，﹣1），且△ABC为圆x2+y2+Ex+Fy＝0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 　 ． 【答案】y＝1． 【分析】根据题意，将点A、B坐标代入△ABC的外接圆方程，由此求出圆心M与点C的坐标，然后算出△ABC的重心G的坐标，由GM确定的直线求出△ABC的欧拉线方程． 【解答】解：根据题意，圆x2+y2+Ex+Fy＝0经过A（0，2）、B（4，2），所以，解得， 可得圆方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，圆心为M（2，1），半径r． 将C（a，﹣1）代入圆M的方程，得（a﹣2）2+（﹣1﹣1）2＝5，解得a＝3或1． ①当a＝3时，C的坐标为（3，﹣1），可得△ABC的重心为G（，），即G（，1）， 结合△ABC的外心为M（2，1），可得欧拉线就是直线GM，方程为y＝1； ②当a＝1时，C的坐标为（1，﹣1），可得△ABC的重心为G（，），即G（，1）， 同理可得△ABC的欧拉线方程为y＝1． 综上所述，△ABC的欧拉线方程为y＝1． 故答案为：y＝1． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、圆的方程及其性质等知识，属于中档题． 【变式1】（杨浦区期中）在△ABC中，顶点A的坐标为（3，3），∠C的平分线所在直线的方程为l1：2x﹣y+1＝0，且边AC上的中线所在直线的方程为l2：5x+y﹣6＝0． （1）求点C的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． 【答案】（1）C（﹣1，﹣1）． （2）7x﹣y+6＝0． 【分析】（1）设点C（m，2m+1），可得线段AC的中点D的坐标，再把点D的坐标代入边AC上中线方程，求得m的值，可得结论． （2）由题意利用角平分线的性质，以及一条直线到另一条直线的角的公式，求得BC的斜率，用点斜式求出BC的方程． 【解答】解：（1）△ABC中，已知点A（3，3），∠C平分线方程为：2x﹣y+1＝0， 可设点C（m，2m+1），故线段AC的中点D（，m+2）， ∵边AC上中线方程为：5x+y﹣6＝0， ∴5（m+2）﹣6＝0，求得m＝﹣1，故点C（﹣1，﹣1）． （2）设直线BC的斜率为k，则由题意可得， 直线AC到∠C平分线的角，等于∠C平分线到直线BC的角， ∵直线AC的斜率为1，∠C平分线的斜率为2， ∴，求得k＝7， 故直线BC的方程为 y+1＝7×（x+1），即 7x﹣y+6＝0． 【点评】本题主要考查用待定系数法、用点斜式求直线的方程，角平分线的性质，属于中档题． 题型七 待定系数法求直线方程 答｜题｜模｜板 1.平行：设 2.垂直：设 3.代入点求 易｜错｜点｜拨 1.平行、垂直方程设反 2.漏“重合”情况 3.求完m不检验 【典例7】（2025•上海期中）直线l过点（1，2），法向量（1，2），则l的一般式方程为 　 ． 【答案】x+2y﹣5＝0 【分析】设直线l上的任意一点为P（x，y），写出直线l的方向向量，根据法向量与方向向量的数量积为0，即可得出直线l的方程． 【解答】解：设直线l上的任意一点为P（x，y），因为直线l过点A（1，2），所以直线l的方向向量为（x﹣1，y﹣2）， 又因为直线l的法向量为（1，2），所以•（x﹣1）+2（y﹣2）＝0，所以直线l的方程为x+2y﹣5＝0． 故答案为：x+2y﹣5＝0． 【点评】本题考查了直线的方向向量和法向量的概念与应用问题，是基础题． 【变式1】（2024•静安区期中）已知直线l在y轴上的截距为1，且l的一个法向量是，则直线l的方程是 　 　 ． 【答案】2x+y﹣1＝0． 【分析】根据直线l的一个法向量，算出直线l的斜率为﹣2，从而利用直线的斜截式方程求出答案． 【解答】解：设直线l的斜率为k，则它的一个方向向量为（1，k）， 根据直线l的一个法向量是，可得1×2+k•1＝0，解得k＝﹣2， 结合直线l在y轴上的截距为1，可得直线的方程为y＝﹣2x+1，即2x+y﹣1＝0． 故答案为：2x+y﹣1＝0． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件、直线的基本量与基本形式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 【变式2】若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是（1，2），则直线l的方程为 _____ ． 【答案】x+2y﹣11＝0 【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程． 【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为（﹣2，1），所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：y﹣4（x﹣3）， 所以直线方程为：x+2y﹣11＝0． 故答案为：x+2y﹣11＝0． 【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及待定系数法求直线方程，考查计算能力． 【变式3】△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3＝0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16＝0． （1）求AB边所在直线的方程； （2）求AC边的中线所在直线的方程． 【答案】（1）3x﹣2y﹣1＝0； （2）x＝3． 【分析】（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）＝0，即可得出 （2）联立，解得A（1，1），可得AC的中点D，可得AC边的中线所在直线的方程． 【解答】解：（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）＝0，即3x﹣2y﹣1＝0 （2）联立⇒A（1，1）AC的中点， 则AC边的中线所在直线的方程为x＝3． 【点评】本题考查了相互垂直的直线方程斜率之间的关系、直线的交点、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2024•黄浦区期中）经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x+2y﹣3＝0 【答案】A 【分析】由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程． 【解答】解：由于直线的方向向量为（1，2），故直线的斜率为2， 故直线的方程为 y﹣1＝2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1＝0， 故选：A． 【点评】本题主要考查用点斜式求出直线的方程，属于基础题． 2（•浦东新区期中）若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下不是直线l的方程的为（　　） A．y+3＝4（x﹣2） B．y﹣1＝4（x﹣3） C．4x﹣y﹣11＝0 D． 【答案】D 【分析】先求出直线l的斜率，再结合选项中的直线方程，即可求解． 【解答】解：直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1）， 则直线l的斜率为，故D选项中的直线不是直线l的方程． 故选：D． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 3（2025•杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　） A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0 C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0 【答案】B 【分析】直接利用直线经过的象限求出结果． 【解答】解：若直线Ax+By+C＝0，整理得，由于该直线经过第一、二、四象限， 所以，故． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2024•普陀区期中）求经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点，并且垂直于直线3x+4y﹣7＝0的直线的方程为　 　 ． 【答案】4x﹣3y+9＝0 【分析】联立，解得交点P．设垂直于直线3x+4y﹣7＝0的直线的方程为4x﹣3y+m＝0，把P代入上式可得m即可得出． 【解答】解：联立，解得交点P． 设垂直于直线3x+4y﹣7＝0的直线的方程为4x﹣3y+m＝0， 把P代入上式可得：m＝9． ∴要求的直线方程为：4x﹣3y+9＝0． 故答案为：4x﹣3y+9＝0． 【点评】本题考查了两条直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.（2025•嘉定区期中）已知直线l经过点C（4，2），且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|•|BC|取最小值时，直线l的方程为 　 ． 【答案】x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 【分析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为y﹣2＝k（x﹣4），用含有k的式子表示出|CB|、|CA|，运用基本不等式算出|AC|•|BC|的最小值，进而求得满足条件的直线l方程． 【解答】解：根据直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣4），可得，B（0，2﹣4k）， 所以，， 可得， 当且仅当时，即k＝±1时，取等号， 此时直线的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x+6，即x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 故答案为：x﹣y﹣2＝0或x+y﹣6＝0． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 3．（2024•浦东新区期中）设直线l1：x+y﹣2＝0与直线l2：2x﹣y﹣1＝0的交点为P． （1）求两直线的夹角a的大小； （2）求过点P且平行于5x﹣2y﹣2＝0的直线的一般式方程； 【答案】（1）；（2）5x﹣2y﹣3＝0． 【分析】（1）根据两直线方程可得其斜率，再由倾斜角之间的基本关系利用两角差的正切公式即可求出两直线的夹角； （2）求出交点坐标，设出平行直线方程代入点P（1，1）即可求出结果． 【解答】解：（1）设直线l1：x+y﹣2＝0的倾斜角为γ，则斜率为tanγ＝﹣1， 直线l2：2x﹣y﹣1＝0的倾斜角为β，则斜率为tanβ＝2， 由β，γ∈[0，π]，且γ＞β， 所以可得两直线的夹角α＝γ﹣β，可得； 即，可得， 所以． （2）联立，解得：； 故交点P（1，1）， 设所求直线的一般式方程为5x﹣2y+C＝0， 代入点P（1，1）可得C＝﹣3， 即所求直线的一般式方程为5x﹣2y﹣3＝0． 【点评】本题考查的知识点：直线方程的求法，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025•浦东新区期中）已知在△ABC中，A（﹣2，1），B（4，﹣3），点G（0，2）是此三角形的重心． （1）求边BC所在直线的一般式方程； （2）若直线l经过点A（﹣2，1）且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】（1）11x+6y﹣26＝0； （2）yx或y＝﹣x﹣1． 【分析】（1）根据三角形的重心坐标公式算出点C的坐标，然后根据直线方程的两点式求出直线BC的方程，再化为一般式方程即可； （2）按照直线l是否经过原点进行讨论，分别求得满足条件的直线l的方程，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）设C（m，n），根据点G（0，2）是△ABC的重心，可得，解得． 所以C的坐标为（﹣2，8），直线BC的方程为，即11x+6y﹣26＝0． （2）直线l经过点A（﹣2，1）且在x轴、y轴上的截距相等， ①当直线l经过原点时，直线方程为yx，在x轴、y轴上的截距都为0，符合题意． ②当直线l不经过原点时，直线l的斜率k＝﹣1，所以直线方程为y﹣1＝﹣（x+2），即y＝﹣x﹣1． 综上所述，直线l的斜截式方程是yx或y＝﹣x﹣1． 【点评】本题主要考查三角形重心的性质、直线的方程及其性质等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题． 2. 已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0） 求：（1）AB边上中线的长； （2）AB边上中线所在的直线方程． 【答案】（1）3； （2）x﹣2y+3＝0． 【分析】（1）由点A、B的坐标求得线段AB的中点坐标，然后结合两点间的距离公式来求AB边上中线的长度； （2）利用两点式来求直线方程． 【解答】解：（1）∵A（3，8），B（3，﹣2）， ∴线段AB的中点坐标是（3，3）， 又∵C（﹣3，0）， ∴AB边上中线的长为：3； （2）结合（3，3），（﹣3，0）易得AB边上中线所在的直线方程为：， 整理，得： x﹣2y+3＝0． 【点评】本题考查了直线方程的求解，根据已知条件正确选取直线方程的形式是解题的关键，属于基础题． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-2 直线的方程 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 方向向量与法向量的应用 题型二 点斜式与点法式方程求解 题型三 斜截式与点方向式方程求解 题型四 两点式与截距式方程求解 题型五 一般式方程与象限判定 题型六 直线方程综合（中线、角平分线、重心） 题型七 待定系数法求直线方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 方向向量与法向量 能根据直线方程写出方向向量、法向量，能由方向/法向量求直线斜率与倾斜角 期中基础必考点，选择、填空必考，难度低，分值4分 点斜式/点法式 掌握过定点、已知斜率/法向量的直线方程求法，熟练书写点斜式、点法式 期中高频基础考点，小题必考，是直线方程核心形式 斜截式/点方向式 能将直线方程化为斜截式，会写点方向式方程，明确斜率与截距意义 期中基础考点，填空常考，与函数结合紧密 两点式/截距式 会用两点坐标、截距求直线方程，注意线段与直线的区别 期中基础考点，选择、填空均有涉及 一般式与象限判定 能由一般式系数判断直线所过象限，掌握斜截式转化方法 期中高频易错点，选择必考，易在符号判断出错 直线综合应用 会求中线、角平分线、重心、欧拉线等几何直线方程 期中中档考点，填空、解答压轴常考 待定系数法 能根据平行、垂直、过交点等条件设方程并求解 期中核心方法，解答题必考 两直线交点与夹角 会求两直线交点，会计算夹角，会求过交点的直线方程 期中中档考点，解答题常考 知识点01 直线的点斜式方程 定义：设是直线上不同于的任意一点，方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程。 【特别提醒】 1.点斜式的适用前提：直线的点斜式方程，仅适用于斜率存在的直线；斜率不存在的直线（垂直于x轴），无法用点斜式表示，其方程为。 2.点斜式的核心要素：方程由“一个定点”和“直线斜率”唯一确定，只要确定这两个要素，就能直接写出直线的点斜式方程。 3.特殊情况：当直线的斜率时，直线平行于x轴，点斜式方程简化为，符合点斜式的通用形式。 4.点斜式是直线所有方程形式的基础，斜截式、两点式、截距式均可由点斜式推导得出。 【易错点】 1.忽略斜率不存在的情况，无论直线是否存在斜率，都强行套用点斜式方程，导致垂直于x轴的直线方程求解错误或漏解。 2.点斜式中坐标符号处理错误，将误写为、误写为，尤其是定点坐标为负数时，极易出现符号错误。 3.混淆定点坐标的横纵坐标，将代入的位置、代入的位置，导致直线方程完全错误。 4.化简点斜式方程时，去括号、移项过程中计算错误，最终得到的一般式方程系数偏差。 【解题方法】 1.点斜式方程标准求解步骤： ① 根据已知条件，确定直线所过的定点； ② 结合直线的倾斜角、方向向量、法向量、平行/垂直关系，求出直线的斜率； ③ 若斜率存在，将定点坐标和斜率代入点斜式公式，写出方程； ④ 若斜率不存在，直接写出直线方程； ⑤ 根据题目要求，将方程化简为对应形式。 2.结合法向量/方向向量的点斜式求解法： ① 已知直线的法向量，先通过法向量求出直线的斜率； ② 已知直线的方向向量，先通过方向向量求出直线的斜率； ③ 结合定点坐标，代入点斜式公式写出直线方程。 知识点02 直线的斜截式方程 定义：1.直线在y轴上的截距：一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距。（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2.直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，在y轴上的截距是，则直线的斜截式方程为。由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程。 【特别提醒】 1.截距的核心定义：直线在y轴上的截距，是直线与y轴交点的纵坐标，是坐标概念，可正、可负、可为0，并非线段的长度，不可将截距当作距离处理。 2.斜截式的适用前提：斜截式方程是点斜式的特殊形式，仅适用于斜率存在的直线，斜率不存在的直线无法用斜截式表示。 3.斜截式的核心要素：方程由“斜率”和“y轴截距”唯一确定，决定直线的倾斜方向，决定直线与y轴的交点位置。 4.斜截式与一次函数的关联：斜截式方程与一次函数的形式完全一致，是分析直线单调性、图象特征最常用的形式。 【易错点】 1.混淆“截距”和“距离”的概念，误认为截距只能是正数，在截距为负数时出现计算、判断错误。 2.忽略斜率不存在的情况，对垂直于x轴的直线强行使用斜截式，导致方程求解错误。 3.求直线在y轴上的截距时，符号处理错误，将中的符号写反，导致截距数值、直线方程错误。 4.处理“截距相等”类问题时，遗漏截距均为0的特殊情况，导致漏解。 【解题方法】 1.斜截式方程标准求解法： ① 根据已知条件求出直线的斜率； ② 求出直线在y轴上的截距（可通过代入直线上一点坐标、截距相关条件求解）； ③ 斜率存在时，直接代入斜截式公式，写出直线方程； ④ 斜率不存在时，单独写出直线方程，不可用斜截式表示。 2.截距相关问题分类讨论法： ① 处理截距相关问题时，先分“截距为0”和“截距不为0”两类情况； ② 截距为0时，直线过原点，方程可设为； ③ 截距不为0时，结合题目条件求出截距，代入斜截式求解。 知识点03 直线的两点式方程 定义：经过直线上两点，（其中，）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 公式：（，） 注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线。 特别地：①当时，直线的方程为；②当时，直线的方程为。 【特别提醒】 1.两点式的适用条件：直线的两点式方程，仅适用于且的直线，即与两坐标轴不垂直的直线。 2.特殊情况的直线方程： ① 当时，直线垂直于x轴，方程为，不可用两点式表示； ② 当时，直线垂直于y轴，方程为，不可用两点式表示。 3.直线与线段的方程区别：求线段的两点式方程时，必须在方程后标注自变量的取值范围，不可只写直线方程，遗漏定义域限制。 4.两点式的核心逻辑：方程由直线上两个不同的点唯一确定，只要已知直线上两点，就能确定直线的唯一方程。 【易错点】 1.忽略两点式的适用条件，当或时，强行套用两点式公式，出现分母为0的无意义情况，导致直线方程求解错误。 2.两点式中坐标对应顺序颠倒，分子分母的坐标交叉错位，导致直线方程变形错误。 3.求线段方程时，遗漏自变量的取值范围，将线段方程写成了直线方程，不符合题目要求。 4.两点式方程化简为一般式时，去分母、移项过程中计算错误，导致最终方程系数偏差。 【解题方法】 1.两点式方程标准求解步骤： ① 已知直线上两点、，先判断与、与是否相等； ② 若，直接写出直线方程；若，直接写出直线方程； ③ 若且，将两点坐标代入两点式公式，写出方程； ④ 根据题目要求，将方程化简为对应形式。 2.线段方程书写规范： ① 先按照直线方程的求解方法，写出线段所在直线的方程； ② 根据两点的横坐标，标注出的取值范围，写在方程后； ③ 若线段为竖直线，标注的取值范围。 知识点04 直线的一般式方程与直线的性质 定义：1.直线方程的本质：直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化。直线的一般方程的表达式是（、不同时为0）。 2.两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有： （1）；（2）。 3.直线的一般式方程核心性质： （1）一般式：，注意、不同时为0。直线一般式方程（）化为斜截式方程，表示斜率为，轴上截距为的直线。 （2）与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为。 （3）已知直线，的方程分别是：（，不同时为0），（，不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①； ②，； ③与重合⇔，； ④与相交⇔。 如果时，则；与重合⇔；与相交⇔。 【特别提醒】 1.一般式的通用性质：平面直角坐标系中，任意一条直线都可以表示为的形式（、不同时为0），反之，任何符合该条件的二元一次方程，都对应平面上的一条直线，是所有直线方程的通用形式。 2.平行与垂直的通用判定公式： ① 对于两条直线、，的充要条件是，该公式无需考虑斜率是否存在，适用于所有情况，是解题优先选用的方法； ② 的充要条件是且（或），需同时满足两个条件，排除两直线重合的情况。 3.平行/垂直直线的简便设法： ① 与直线平行的直线，可直接设为（）； ② 与直线垂直的直线，可直接设为，利用待定系数法求解，大幅简化计算。 4.一般式与斜截式的转化：时，可化为斜截式，其中斜率为，y轴截距为，是分析直线象限、图象特征的核心方法。 【易错点】 1.判定两直线平行时，仅验证，忽略的条件，将重合的直线误判为平行直线。 2.判定两直线垂直时，仅通过判定，忽略“一条斜率为0、一条斜率不存在”的垂直情况，导致漏解。 3.直线一般式转化为斜截式时，系数符号处理错误，将斜率误写为，截距符号写反，导致直线象限判定错误。 4.设平行/垂直直线方程时，系数对应错误，尤其是垂直直线的设法，、的系数颠倒后符号处理失误，导致方程不满足垂直条件。 5.分析直线所过象限时，截距的正负计算错误，尤其是负号处理不当，导致象限判定完全错误。 【解题方法】 1.直线方程形式转化法： ① 一般式转斜截式：时，通过移项、系数化为1，将化为，快速得到斜率和截距； ② 点斜式/斜截式/两点式转一般式：通过去分母、移项，将方程整理为的标准形式，保证的系数优先为正。 2.两直线平行/垂直标准判定步骤： ① 优先使用一般式判定：写出两条直线的一般式，确定对应系数，计算，结果为0则两直线垂直；计算，结果不为0则两直线相交，结果为0时，再验证常数项条件，判定是平行还是重合； ② 若使用斜率判定，先判断两条直线斜率是否都存在，再分别计算斜率，通过斜率关系判定平行或垂直。 3.直线象限判定法： ① 将直线一般式化为斜截式，通过斜率的正负判定直线的倾斜方向； ② 通过截距的正负，判定直线与y轴的交点位置； ③ 结合斜率和截距的正负，确定直线所经过的象限； ④ 也可通过求直线与x轴、y轴的交点坐标，根据交点在坐标轴的正负半轴，判定直线所过象限。 知识点05 待定系数法求直线方程 定义：1.求直线方程的两种核心方法： （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程。应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况。 （2）待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等。 2.待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点，可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解。 【特别提醒】 1.待定系数法的核心适用场景：已知直线的平行/垂直关系、直线过定点、截距相关条件等，无法直接写出直线方程时，优先选用待定系数法。 2.待定系数法的核心逻辑：先根据已知条件，设出含未知参数的直线方程形式，再将题目中的其他条件代入方程，求解出未知参数，最终确定直线方程。 3.设方程的核心技巧： ① 已知直线斜率，优先设斜截式； ② 已知直线过定点，优先设点斜式； ③ 已知直线与已知直线平行/垂直，优先利用平行/垂直直线的通用设法，设出对应一般式； ④ 已知直线在两坐标轴的截距关系，优先设截距式。 4.分类讨论核心原则：使用待定系数法时，若设点斜式/斜截式方程，必须单独讨论“斜率不存在”的情况，避免漏解。 【易错点】 1.设点斜式/斜截式方程时，遗漏斜率不存在的特殊情况，导致符合条件的直线方程漏解。 2.设平行直线方程时，未保证、的系数与已知直线完全一致，直接代入距离公式计算，导致距离结果错误。 3.设垂直直线方程时，、的系数颠倒后符号处理错误，导致所设方程不满足垂直条件，最终参数求解错误。 4.求解出参数后，未验证参数是否符合题目条件，尤其是两直线平行的场景，未排除直线重合的情况，导致结果错误。 5.处理含参数的直线方程时，忽略参数的取值限制，导致出现增根。 【解题方法】 1.待定系数法求直线方程通用步骤： ① 设方程：根据已知条件，选择合适的直线方程形式，设出含未知参数的方程； ② 列方程：将题目中的其他已知条件代入所设方程，建立关于未知参数的方程（组）； ③ 求参数：解方程（组），求出未知参数的取值； ④ 写结果：将求出的参数代入所设方程，整理为题目要求的方程形式； ⑤ 验漏解：单独验证斜率不存在、截距为0等特殊情况，补充符合条件的直线方程。 2.平行/垂直直线方程待定系数求解法： ① 已知直线，求平行直线时，设方程为，代入已知点坐标求解； ② 求垂直直线时，设方程为，代入已知点坐标求解。 3.多条件直线方程求解法： ① 先根据平行/垂直条件，确定直线的斜率，设出点斜式方程； ② 再结合截距、距离、过定点等其他条件，代入方程求解斜率； ③ 最终确定直线方程，同时验证斜率不存在的情况是否符合条件。 知识点06 两条直线的交点坐标 定义：1.直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为：，。 2.交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标。 【特别提醒】 1.交点与方程组解的核心对应关系：两条直线的交点坐标，就是两条直线方程组成的二元一次方程组的实数解；反之，二元一次方程组的实数解，就是对应两条直线的交点坐标。 2.方程组解的个数与直线位置关系： ① 方程组有唯一解两条直线相交，解即为交点坐标； ② 方程组无解两条直线平行，无交点； ③ 方程组有无数组解两条直线重合，有无数个交点。 3.过两直线交点的直线系方程：过两条直线、交点的直线，可设为（为参数），该方程可表示除外所有过两直线交点的直线，解题时可大幅简化计算。 4.交点是直线综合问题的核心纽带，求过交点的直线方程、直线夹角、距离等问题，都需要先求出两直线的交点坐标。 【易错点】 1.联立方程组求解交点时，代入消元、加减消元过程中计算错误，导致交点坐标求解错误，进而影响后续所有计算。 2.利用直线系方程求解时，遗漏直线本身，导致符合条件的直线方程漏解。 3.忽略方程组无解、无数组解的情况，仅关注有唯一解的相交场景，导致直线位置关系判定不全面。 4.处理含参数的直线交点问题时，未对参数进行分类讨论，忽略参数取特定值时直线平行、重合的情况。 【解题方法】 1.两直线交点标准求解步骤： ① 联立两条直线的方程，得到二元一次方程组； ② 选用代入消元法或加减消元法，解方程组； ③ 方程组有唯一解时，直接写出交点坐标； ④ 方程组无解时，判定两直线平行；方程组有无数组解时，判定两直线重合。 2.过两直线交点的直线方程求解法： ① 方法一：先联立方程组，求出两直线的交点坐标，再结合平行/垂直、过定点等其他条件，写出直线方程； ② 方法二：直接设过两直线交点的直线系方程，代入已知条件求出参数，整理后得到直线方程，同时验证直线是否符合条件。 3.含参数直线交点问题解法： ① 先根据方程组解的个数，建立关于参数的方程/不等式； ② 求解参数的取值/取值范围； ③ 结合参数的取值，判定直线的位置关系，或求出对应交点坐标。 题型一 方向向量与法向量的应用 答｜题｜模｜板 1.直线 法向量： 2.直线方向向量： 3.由方向向量求斜率： 4.由法向量求斜率： 易｜错｜点｜拨 1.方向向量与法向量搞反，最容易写反坐标 2.分母为0时斜率不存在，不能硬算 3.法向量直接对应直线一般式系数，不要变形 【典例1】（2025•长宁区期中）经过A（0，3），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【变式1】（2025•徐汇区期中）若直线l的一个法向量为（﹣1，1），则l的倾斜角为 　 　 ． 【变式2】（2025•杨浦区期中）已知向量为直线3x+8y+4＝0的一个法向量，则a的值为 　 　 ． 【变式3】（2025•徐汇区期中）直线的一个法向量可以是 　 　 ． 题型二 点斜式与点法式方程求解 答｜题｜模｜板 1.已知点+斜率 → 点斜式： 2.已知点+法向量 → 点法式： 3.最后统一整理为一般式 易｜错｜点｜拨 1.点斜式只适用于斜率存在，垂直x轴时要写 2.符号最容易错： 不要写成 3.点法式展开时漏乘、符号错 【典例2】（2025•浦东新区期中）已知经过点（1，﹣2）的直线l的一个法向量为，则l的点法式方程为 　 　 ． 【变式1】过点A（﹣1，5）且以（﹣2，1）为法向量的直线方程为 　 　 ． 【变式2】与向量平行且过点P（1，﹣3）的直线l方程： 　 ． 【变式3】倾斜角为且经过点P（1，﹣2）的直线l的方程为 　 ． 题型三 斜截式与点方向式方程求解 答｜题｜模｜板 1.斜截式：（直接看斜率、截距） 2.点方向式： 3.点方向式分母为0 → 对应坐标为定值 易｜错｜点｜拨 1.点方向式分母不能为0，为0时要单独写 2.斜截式变形时移项符号错误 3.水平直线、竖直直线容易写错 【典例3】（2024•浦东新区期中）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是 　 　 ． 【变式1】过点P（3，5），且与向量（4，2）平行的直线l的点方向式方程为　 　 ． 题型四 两点式与截距式方程求解 答｜题｜模｜板 1.两点式： 2.截距式： 3.最后化为一般式 易｜错｜点｜拨 1.两点式分子分母顺序颠倒 2.截距可正可负，不是距离 3.线段要写范围，直线不写范围 【典例4】（2025•嘉定区期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是 　 ． 题型五 一般式方程与象限判定 答｜题｜模｜板 1.一般式→斜截式： 2.看正负→升降 3.看正负→与y轴交点上下 4.综合判断象限 易｜错｜点｜拨 1.、 符号最容易错 2.斜率为0、斜率不存在的特殊直线忘考虑 3.把截距当距离，判断正负失误 【典例5】（2025•杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　） A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0 C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0 【变式1】（2025•上海期中）直线l：（m+1）x+my+2﹣m＝0经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数m的取值范围是　 　 ． 题型六 直线方程综合（中线、角平分线、重心） 答｜题｜模｜板 直线象限判定解题步骤： 1.重心公式： 2.中点坐标： 3.角平分线：用“到角公式”或对称性 4.欧拉线：重心、外心、垂心共线 易｜错｜点｜拨 1.中点、重心坐标公式记混、算错 2.中线是直线，不是线段 3.角平分线条件用错 【典例6】（2025•静安区期中）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知A（0，2），B（4，2），C（a，﹣1），且△ABC为圆x2+y2+Ex+Fy＝0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 　 ． 【变式1】（杨浦区期中）在△ABC中，顶点A的坐标为（3，3），∠C的平分线所在直线的方程为l1：2x﹣y+1＝0，且边AC上的中线所在直线的方程为l2：5x+y﹣6＝0． （1）求点C的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． 题型七 待定系数法求直线方程 答｜题｜模｜板 1.平行：设 2.垂直：设 3.代入点求 易｜错｜点｜拨 1.平行、垂直方程设反 2.漏“重合”情况 3.求完m不检验 【典例7】（2025•上海期中）直线l过点（1，2），法向量（1，2），则l的一般式方程为 　 ． 【变式1】（2024•静安区期中）已知直线l在y轴上的截距为1，且l的一个法向量是，则直线l的方程是 　 　 ． 【变式2】若直线l过点（3，4），且它的一个法向量是（1，2），则直线l的方程为 _____ ． 【变式3】△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3＝0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16＝0． （1）求AB边所在直线的方程； （2）求AC边的中线所在直线的方程． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2024•黄浦区期中）经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x+2y﹣3＝0 2（•浦东新区期中）若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下不是直线l的方程的为（　　） A．y+3＝4（x﹣2） B．y﹣1＝4（x﹣3） C．4x﹣y﹣11＝0 D． 3（2025•杨浦区期中）若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则（　　） A．AB＞0且BC＞0 B．AB＞0且BC＜0 C．AB＜0且BC＞0 D．AB＜0且BC＜0 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2024•普陀区期中）求经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点，并且垂直于直线3x+4y﹣7＝0的直线的方程为　 　 ． 2.（2025•嘉定区期中）已知直线l经过点C（4，2），且与x轴、y轴分别交于点A、点B，当|AC|•|BC|取最小值时，直线l的方程为 　 ． 3．（2024•浦东新区期中）设直线l1：x+y﹣2＝0与直线l2：2x﹣y﹣1＝0的交点为P． （1）求两直线的夹角a的大小； （2）求过点P且平行于5x﹣2y﹣2＝0的直线的一般式方程； 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025•浦东新区期中）已知在△ABC中，A（﹣2，1），B（4，﹣3），点G（0，2）是此三角形的重心． （1）求边BC所在直线的一般式方程； （2）若直线l经过点A（﹣2，1）且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 2. 已知△ABC的顶点的坐标分别为A（3，8），B（3，﹣2），C（﹣3，0） 求：（1）AB边上中线的长； （2）AB边上中线所在的直线方程． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $