第02讲直线的方程（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册重难点讲义与测试

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心内容，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及点法式六种方程，构建从特殊（如点斜式需斜率存在）到一般（如一般式适用于所有直线）、从具体（如两点式基于两点坐标）到抽象（如点法式基于法向量）的学习支架。 资料以“举一反三”题型设计为亮点，每个知识点配套例题与变式题，助力学生通过推理与运算发展数学思维，强化训练分层设置填空、选择、解答题，兼顾不同学习需求。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，培养严谨的数学眼光与应用意识。

第02讲直线的方程 知识清单 知识点01：直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的两点式方程 知识点04：直线的截距式方程 知识点05：直线的一般式方程 知识点06：直线的点法式方程 题型讲解 （举三反三） 题型1：直线的点斜式方程 题型2：直线的斜截式方程 题型3：直线的点斜式与斜截式方程的应用 题型4：直线的两点式与截距式方程 题型5：直线的一般式方程 题型6：直线的点法式方程 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．直线的点斜式方程 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点03．直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点04．直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点06.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 题型1：直线的点斜式方程 【例1-1】在中，三内角所对的边分别为，且，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果. 【详解】由，得，即， 又，所以， 对于直线， 对于直线， 又由正弦定理，得，所以直线与直线重合. 故选：D 【例1-2】（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 【例1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，若点在线段AB上，求的最大值． 【答案】7 【分析】先求出线段的方程，即，，代入，由函数单调性求最值. 【详解】依题意，得， 所以线段：，，即，， 故，． 设，易知在上单调递增， 故当时，取最大值． 所以的最大值为7. 【变式1-1】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案. 【详解】由，设斜率为，倾斜角为， 因为直线斜率为，则，又因直线的倾斜角， 所以. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 【变式1-3】已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程； （2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程. 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 题型2：直线的斜截式方程 【例2-1】斜率为且在x轴上的截距为a的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】根据斜截式的概念求解即可． 【详解】斜率为且在x轴上的截距为a的直线方程可表示为， 化为斜截式方程可得. 故答案为：． 【例2-2】已知直线l经过原点，且与直线y＝x＋1的夹角为45°，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】结合的倾斜角求得正确答案. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 【变式2-1】直线的斜率的大小为 ． 【答案】3 【解析】直接根据斜率的定义求解即可. 【详解】由直线， 得其斜率为， 故答案为：. 【变式2-2】直线l1∶y=-2x+3，l2∶的夹角的大小为 【答案】 【分析】由题意易得两直线的斜率，利用两角差的正切公式，即可求得两直线夹角的正切值，从而可得答案. 【详解】解：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两直线的夹角为， 因为直线l1∶y=-2x+3，l2∶， 所以，又，所以，， 所以， ，所以， 即两直线夹角的大小为. 故答案为：. 【变式2-3】在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相应图形，并求出该直线的斜率和在轴上的截距. (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由直线的斜率及截距定义判定即可； （2）由直线的斜率及截距定义判定即可； 【详解】（1）因为，所以该直线过点且垂直于轴（图1）. 所以的斜率为0且在轴上的截距是.    （2）在方程中，令，得；令，得. 这就得到直线上两个不同的点、， 连接A、两点的直线即为直线（图2）. 因为方程可化为， 所以直线的斜率是，在轴上的截距是.      题型3：直线的点斜式与斜截式方程的应用 【例3-1】过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 【变式3-1】过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 . 【答案】或 【解析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设，代入， 所以，所以，所以直线方程为； 当直线不过坐标原点时，设，所以横截距为，纵截距为， 所以，解得或（舍），所以直线方程为， 故答案为：或. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况. 【变式3-2】直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，即可得到直线在轴上的截距，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】解：设直线的方程为，化为， 由题意可得，解得， ∴直线的斜率的取值范围为； 故答案为：. 【变式3-3】已知直线l经过点． (1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程； (2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到，解方程即可求出结果； （2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k， 则l的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得或， 所以l的点斜式方程为或． （2）由（1）知，、， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，所以l的斜截式方程为． 题型4：直线的两点式与截距式方程 【例4-1】（24-25高二上·上海·期末）直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】令求出所对应的的值，即可得解. 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 【例4-2】已知直线：（），若直线在x轴上的截距为2，则实数 ． 【答案】 【分析】根据截距的定义进行求解即可. 【详解】在中，令，得， 显然，于是有， 因为线在x轴上的截距为2， 所以， 故答案为： 【例4-3】已知点，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得中点，结合求得边上的中线所在直线的方程. （2）求得直线的斜率，由点斜式求得边上的高所在的直线的方程. （3）求得到直线的距离，结合的长度求得三角形的面积. 【详解】（1）的中点为，即， 由于，所以边上的中线所在直线的方程为. （2），所以边上的高的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为. （3）直线的方程为， 到的距离为， ， 所以.    【变式4-1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答. 【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即； 当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或    【变式4-2】已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据两点式过的两点，结合两点间的斜率求解即可. 【详解】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）化简直线方程为，列出方程组，求得定点坐标，即可可证； （2）根据题意，分直线过坐标原点和不过坐标原点，两种情况讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线的方程为，可化为， 由，解得，即， 所以不论为何值，直线比过定点. （2）解：由（1）知，直线恒过定点， 当直线过坐标原点时，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得，即， 综上可得，直线的方程为或. 题型5：直线的一般式方程 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【例5-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】求出直线的斜率，再根据斜率公式可得到倾斜角. 【详解】将直线方程化为： 因此，斜率 . 直线倾斜角 满足：， 所以：. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或 【变式5-1】（24-25高二下·上海·月考）直线在轴上的截距是 . 【答案】 【分析】在直线方程中，令即可得解. 【详解】在直线方程中，令，解得. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）求过点且垂直于直线的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线垂直的直线方程为，再把点代入，即可求出值，得到所求方程． 【详解】垂直于直线的直线可设为， 将点代入可得，得， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 题型6：直线的点法式方程 【例6-1】（24-25高二上·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用直线的点法式可解. 【详解】根据题意知道直线l的法向量可取，则直线l的点法式方程为. 故选：D． 【例6-2】（25-26高二上·上海·期中）已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是 ． 【答案】 【分析】先求线段中点，再确定垂直平分线的法向量，最后依据点法式方程定义写出方程. 【详解】先求线段的中点，坐标为. 再求向量，该向量即为线段垂直平分线的法向量. 由点法式方程的定义，以中点和法向量， 可得线段垂直平分线的点法式方程为. 故答案为：. 【例6-3】已知点、和，求经过点A且与BC平行的直线l的点法式方程． 【答案】． 【分析】根据题意求出BC的一个法向量，运用点法式即可. 【详解】解：，取的一个法向量， 可得直线l的点法式方程为． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】又的法向量可设出的一般方程，再将点代入计算即可得. 【详解】由的一个法向量，可设， 则有，解得，即直线的方程为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一个法向量，再由平行关系写出所求直线的点法式方程； （2）先求出直线的一个法向量，再由垂直关系找到所求直线的法向量，从而得解. 【详解】（1）直线的一个法向量为． 由题意，得所求直线与直线平行，故是所求直线的一个法向量． 又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． （2）因为直线的一个法向量为， 故所求直线的一个法向量为，又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）过点和的直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线的斜率后可求直线的一般式方程. 【详解】直线的斜率为， 故直线的方程为：， 化简后可得一般方程为：， 故答案为：. 2．（24-25高二上·广西河池·月考）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为 ． 【答案】1 【分析】由倾斜角得到斜率，再由点斜式求出直线方程，然后令求出即可； 【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，直线1的纵截距为1． 故答案为：1． 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】将直线的一般式转换成斜截式即可求解. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·开学考试）若直线的方程为，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定方程，求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线：的斜率，则直线的倾斜角满足，而， 因此，所以直线的倾斜角大小为. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 （用表示）. 【答案】 【分析】由直线方程求得斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线可得斜率， 设直线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】由直线方程计算斜率，由斜率得倾斜角. 【详解】由直线方程得直线斜率，故直线的倾斜角为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用两直线垂直时，斜率间的关系，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 9．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海虹口·期末）直线与的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角. 【详解】直线化为斜截式为， 故直线的斜率是， 直线的倾斜角满足， 结合，可得， 直线倾斜角为 所以直线与的夹角大小为. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海·月考）直线与直线的夹角的大小为 . 【答案】 【分析】根据直线方程得到直线倾斜角的正切值，由此可得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，， ∴， 设直线与直线的夹角为，则， 由得. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果 【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是. 故答案为：.(答案不唯一) 二、单选题 13．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 14．（24-25高二上·上海·期末）经过点，且法向量为的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线法向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】直线的法向量为，直线的斜率， 直线的方程为，即. 故选：B 15．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：B. 16．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 三、解答题 17．已知直线过点且与直线的夹角为，求直线的方程 【答案】或. 【解析】由直线的倾斜角为，根据题意可得直线的倾斜角为或，又线过点，即可求直线方程. 【详解】直线的倾斜角为， 因为直线过点且与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 所以直线的方程为或. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了直线的一般方程，属于基础题. 18．求直线按照向量表示的方向和大小平移后所得到的直线的方程. 【答案】 【分析】设点是直线上的任意一点，依题意可得在直线上存在一点，使得，即可得到，再根据点在直线上，代入直线方程，即可得到平移后的直线方程. 【详解】设点是直线上的任意一点，由平移的定义知，在直线上存在一点，使得， 即，所以， 因为点在直线上，所以，从而， 即. 直线上的任意一点的坐标均满足这个方程，所以的方程为. 19．已知直线，根据下列条件，求实数的值： (1)经过点； (2)在两个坐标轴的截距相等. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将带入直线求解即可. （2）根据题意得到，再解方程即可. 【详解】（1）因为过，所以，解得. （2）直线，不过原点， 所以时，，时，. 所以，解得. 20．已知直线. (1)若直线的斜率，求实数的取值范围； (2)证明：对任意实数，直线都经过一个确定的点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将直线方程转化成斜截式，再利用条件建立不等关系，即可求出结果； （2）将直线方程变形成，再利用，得到，从而可证明直线过定点. 【详解】（1）因为，由题知，所以，所以， 又因为，所以， 即，即，由，得到或，由，得到或，所以或. （2）由，变形得到，令，得到， 当，恒成立， 所以，不论取何值，恒过定点，结论成立. 21．设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲直线的方程 知识清单 知识点01：直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的两点式方程 知识点04：直线的截距式方程 知识点05：直线的一般式方程 知识点06：直线的点法式方程 题型讲解 （举三反三） 题型1：直线的点斜式方程 题型2：直线的斜截式方程 题型3：直线的点斜式与斜截式方程的应用 题型4：直线的两点式与截距式方程 题型5：直线的一般式方程 题型6：直线的点法式方程 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．直线的点斜式方程 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点03．直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点04．直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点06.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 题型1：直线的点斜式方程 【例1-1】在中，三内角所对的边分别为，且，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【例1-2】（25-26高二上·上海·月考）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为 . 【例1-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知，，若点在线段AB上，求的最大值． 【变式1-1】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 【变式1-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【变式1-3】已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 题型2：直线的斜截式方程 【例2-1】斜率为且在x轴上的截距为a的直线的斜截式方程为 ． 【例2-2】已知直线l经过原点，且与直线y＝x＋1的夹角为45°，则直线l的方程为 ． 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【变式2-1】直线的斜率的大小为 ． 【变式2-2】直线l1∶y=-2x+3，l2∶的夹角的大小为 【变式2-3】在平面直角坐标系中，根据所给直线方程，作出相应图形，并求出该直线的斜率和在轴上的截距. (1)； (2). 题型3：直线的点斜式与斜截式方程的应用 【例3-1】过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【变式3-1】过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为 . 【变式3-2】直线过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为 ． 【变式3-3】已知直线l经过点． (1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程； (2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程． 题型4：直线的两点式与截距式方程 【例4-1】（24-25高二上·上海·期末）直线在轴上的截距是 ． 【例4-2】已知直线：（），若直线在x轴上的截距为2，则实数 ． 【例4-3】已知点，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【变式4-1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为 ． 【变式4-2】已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【变式4-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 题型5：直线的一般式方程 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【例5-2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）直线的倾斜角为 . 【例5-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【变式5-1】（24-25高二下·上海·月考）直线在轴上的截距是 . 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）求过点且垂直于直线的直线方程为 ． 【变式5-3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 题型6：直线的点法式方程 【例6-1】（24-25高二上·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·上海·期中）已知点，，则线段的垂直平分线的点法式方程是 ． 【例6-3】已知点、和，求经过点A且与BC平行的直线l的点法式方程． 【变式6-1】（24-25高二下·上海·月考）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【变式6-2】（24-25高二上·上海·月考）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）过点和的直线l的一般式方程为 ． 2．（24-25高二上·广西河池·月考）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为 ． 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为 ． 4．（25-26高二上·上海·开学考试）若直线的方程为，则直线的倾斜角大小为 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小是 （用表示）. 6．（24-25高二上·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 7．（24-25高二上·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 8．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 9．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知点、，则直线的方程是 . 10．（24-25高二下·上海虹口·期末）直线与的夹角大小为 ． 11．（24-25高二下·上海·月考）直线与直线的夹角的大小为 . 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是 ． 二、单选题 13．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海·期末）经过点，且法向量为的直线方程是（ ） A． B． C． D． 15．直线与直线垂直，则的值为（    ） A． B．1 C． D．9 16．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题 17．已知直线过点且与直线的夹角为，求直线的方程 18．求直线按照向量表示的方向和大小平移后所得到的直线的方程. 19．已知直线，根据下列条件，求实数的值： (1)经过点； (2)在两个坐标轴的截距相等. 20．已知直线. (1)若直线的斜率，求实数的取值范围； (2)证明：对任意实数，直线都经过一个确定的点. 21．设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $