专题1-1 直线的倾斜角与斜率6大题型（期中复习讲义）高二数学下学期沪教版

专题1-1 直线的倾斜角与斜率 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲（Ctrl并单击鼠标题型名称可跟踪链接） 题型一 确定直线位置的几何要素 题型二 直线倾斜角的求解与范围判定 题型三 直线斜率的计算与取值范围 题型四 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型五 两条直线平行的判定与应用 题型六 两条直线垂直的判定与综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定直线位置的几何要素 能根据直线方程分析直线所过的象限，掌握确定直线位置的两大核心要素（定点、斜率），能结合系数符号判定直线的位置特征 期中基础必考点，多以选择小题形式出现，分值4分，难度低，侧重直线一般式方程与系数符号的结合分析，是直线方程的入门基础考点 直线的倾斜角 能准确理解直线倾斜角的定义，熟记倾斜角的取值范围，能根据直线方程、两点坐标、直线旋转等场景求解倾斜角，掌握倾斜角范围的判定方法 期中高频核心考点，填空、选择小题必考，分值4分，是斜率的几何基础，易在倾斜角范围、旋转类问题中设置易错点，常与斜率结合命题 直线的斜率 能熟练运用斜率公式计算过两点的直线斜率，掌握倾斜角与斜率的转化关系，能结合线段相交场景求解斜率的取值范围，理解直线法向量与斜率的关联 期中中档核心考点，填空、选择高频出现，分值4分，侧重斜率的几何意义与取值范围分析，常作为直线平行、垂直判定的基础，是期中考查的重点内容 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 能根据直线的图象判断倾斜角与斜率的大小关系，掌握不同象限内倾斜角与斜率的单调性规律，能结合图象分析斜率的变化趋势 期中高频易错点，多以选择小题形式出现，分值4分，易混淆钝角倾斜角的斜率大小关系，侧重数形结合思想的考查 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 能根据斜率关系判定两条直线是否平行，掌握一般式方程下两直线平行的充要条件，能求解平行直线的方程，掌握两平行线间的距离公式 期中中档必考点，填空、选择、解答题均有涉及，分值4-8分，易在直线斜率不存在的场景设置陷阱，常结合直线方程求解综合命题 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 能根据斜率关系判定两条直线是否垂直，掌握一般式方程下两直线垂直的充要条件，能求解垂直直线的方程，能结合垂直关系解决综合几何问题 期中高频核心考点，填空、选择、解答题必考，分值4-10分，是直线模块的综合应用核心，易与三角形、距离公式结合考查，常作为解答题的基础设问出现 知识点01 确定直线位置的几何要素 定义：确定一条直线的核心几何要素分为两类，①两点确定一条直线，已知直线上两个不同的点，可唯一确定直线；②已知直线上一个定点和直线的斜率（倾斜角），可唯一确定直线。 直线的一般式方程为（、不同时为0），可通过系数符号分析直线所过的象限、与坐标轴的交点等位置特征。 【特别提醒】 1.直线与x轴交点：令，得（）；与y轴交点：令，得（），通过交点所在坐标轴的正负，可快速判定直线所过象限。 2.对于直线的斜截式方程，斜率和y轴截距是确定直线位置的核心要素，决定直线的倾斜方向，决定直线与y轴的交点位置。 【易错点】 1.分析直线一般式方程的系数时，忽略、为0的特殊情况，当时，直线平行于x轴；当时，直线平行于y轴，无法用斜截式表示。 2.判定直线象限时，错误计算截距的正负，尤其是负号处理不当，导致象限判定错误。 3.误认为“截距”就是距离，截距可正、可负、可为0，并非线段的长度。 【解题方法】 1.象限判定法：通过直线一般式方程，分别求出与x轴、y轴的交点坐标，根据交点在坐标轴的正负半轴，结合两点确定直线的走向，判定直线所过象限。 2.斜截式转化法：将直线一般式方程转化为斜截式，通过斜率的正负判定倾斜方向，通过截距的正负判定与y轴的交点位置，进而确定直线所过象限。 知识点02 直线的倾斜角 定义：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为。 倾斜角的取值范围：（即）。 【特别提醒】 1.每一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角刻画了直线对x轴正方向的倾斜程度。 2.倾斜角与斜率的核心关系：当时，斜率；当时，直线垂直于x轴，斜率不存在。 3.直线旋转类问题中，逆时针旋转倾斜角增大，顺时针旋转倾斜角减小，需注意旋转后倾斜角仍需落在范围内。 【易错点】 1.记错倾斜角的取值范围，误写为或，导致倾斜角判定错误。 2.认为所有直线都有斜率，忽略倾斜角为（90°）时，直线斜率不存在的特殊情况。 3.直线旋转问题中，未考虑旋转后倾斜角超出的情况，未进行合理的角度转化，导致结果错误。 4.已知斜率求倾斜角时，忽略倾斜角的范围，直接用反正切函数表示，未对钝角倾斜角进行的转化。 【解题方法】 1.倾斜角基础求法： ① 已知直线方程：转化为斜截式，求出斜率，结合和，求出倾斜角； ② 已知直线上两点：先通过斜率公式求出斜率，再结合正切函数求倾斜角； ③ 已知直线平行/垂直关系：先根据平行/垂直性质求出斜率，再求倾斜角。 2.倾斜角范围判定法： 结合直线与线段相交的场景，先求出线段两个端点与定点连线的斜率，再结合正切函数在和上的单调性，确定倾斜角的取值范围。 3.旋转类问题解法： 先确定原直线的倾斜角，再根据旋转方向和旋转角度，计算旋转后的倾斜角，若结果超出，则通过加/减进行转化，最终结果落在内。 知识点03 直线的斜率 定义：当直线倾斜角时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母表示，即。 过两点，（）的直线的斜率公式：。 【特别提醒】 1.斜率的正负与倾斜角的关系：时，，倾斜角越大，斜率越大；时，，倾斜角越大，斜率越大。 2.直线的方向向量与斜率的关系：若直线的方向向量为，则直线的斜率（）；若直线的法向量为，则直线的方向向量为，斜率（）。 3.斜率是刻画直线倾斜程度的代数表示，与直线上两点的选取顺序无关，。 【易错点】 1.使用斜率公式时，忽略的情况，此时直线垂直于x轴，斜率不存在，不能套用斜率公式。 2.计算斜率时，分子分母的坐标对应错误，将作为斜率，导致符号错误。 3.分析斜率取值范围时，忽略倾斜角经过的情况，直接用单调性合并区间，导致范围判定错误。 4.混淆直线法向量与方向向量的关系，错误计算直线的斜率。 【解题方法】 1.斜率基础计算法： ① 已知两点坐标：直接代入斜率公式计算，先判断与是否相等，若相等则斜率不存在； ② 已知倾斜角：根据计算，时斜率不存在； ③ 已知直线的法向量/方向向量：先转化为方向向量，再计算斜率。 2.斜率取值范围求解模板： ① 确定定点坐标，以及线段的两个端点坐标； ② 分别计算定点与两个端点连线的斜率； ③ 结合图形，判断直线旋转过程中是否经过垂直于x轴的位置（斜率不存在）； ④ 结合正切函数的单调性，写出斜率的取值范围。 知识点04 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 定义：直线的图象由倾斜角和截距共同决定，倾斜角决定直线的倾斜方向，斜率是倾斜角的代数体现，二者的对应关系直接决定直线的图象特征。 【特别提醒】 1.正切函数的单调性是判断斜率大小的核心：在上，单调递增，随增大而增大，且；在上，单调递增，随增大而增大，且。 2.直线在y轴上的截距决定直线的上下位置，不影响斜率和倾斜角的大小。 3.多条直线比较斜率大小时，先区分倾斜角是锐角还是钝角，锐角对应的斜率为正，钝角对应的斜率为负，再分别比较大小。 【易错点】 1.误认为倾斜角越大，斜率越大，忽略倾斜角在时，斜率为负的情况，导致大小比较错误。 2.混淆直线的倾斜程度与斜率的绝对值的关系，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大，与斜率的正负无关。 3.多条直线图象比较时，误将截距的大小与斜率的大小关联，导致判断错误。 【解题方法】 1.图象法斜率大小比较步骤： ① 观察直线的倾斜方向，区分倾斜角是锐角（斜率为正）、直角（斜率不存在）、钝角（斜率为负）； ② 先比较正负，正数大于负数； ③ 同为锐角时，倾斜角越大，斜率越大；同为钝角时，倾斜角越大，斜率越大； ④ 最终整合出斜率的大小关系。 2.图象特征分析法： 根据直线的斜率正负和截距正负，可快速判定直线所过的象限，结合图象验证直线方程的系数符号是否正确。 知识点05 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 定义：对于两条不重合的直线、，其倾斜角分别为、，斜率分别为、。 1.斜率存在时：； 2.斜率都不存在时：两条直线的倾斜角均为90°，两条直线均垂直于x轴，互相平行。 直线一般式，（、不同时为0，、不同时为0），的充要条件是，且（或）。 【特别提醒】 1.两直线平行的前提是两条直线不重合，若，两条直线可能平行，也可能重合，需进一步验证截距是否不同。 2.与直线平行的直线，可设为（），利用待定系数法求解，简化计算。 3.两平行线间的距离公式：对于，，距离。 【易错点】 1.判定两直线平行时，忽略斜率不存在的情况，仅通过判定，遗漏两条直线均垂直于x轴的平行情况。 2.利用一般式判定平行时，仅验证，忽略两直线重合的情况，未验证，导致结果错误。 3.求平行线间距离时，未将两条直线的x、y系数化为相同，直接代入公式计算，导致距离计算错误。 4.三条直线无法构成三角形的问题中，遗漏三条直线交于同一点的情况，仅考虑两两平行的情况，导致漏解。 【解题方法】 1.两直线平行判定步骤： ① 先判断两条直线的斜率是否都存在，若一条斜率存在，一条不存在，必然不平行； ② 若斜率都存在，计算、，若，不平行；若，验证截距是否不同，截距不同则平行，截距相同则重合； ③ 若斜率都不存在，验证两条直线的x轴截距是否不同，不同则平行，相同则重合。 2.平行直线方程求解法： ① 斜截式：已知直线，平行直线设为（），代入已知点坐标求； ② 一般式：已知直线，平行直线设为（），代入已知点坐标求。 3.三条直线无法构成三角形问题解法： 分三类情况讨论：① 其中两条直线平行；② 三条直线交于同一点；③ 其中两条直线重合，分别求解对应参数，再整合结果。 知识点06 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 定义：对于两条直线、，其斜率分别为、。 1.斜率都存在时：； 2.一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线也互相垂直（一条平行于x轴，一条垂直于x轴）。 直线一般式，，的充要条件是。 【特别提醒】 1.一般式的垂直判定公式无需考虑斜率是否存在，适用于所有情况，是解题中优先选用的方法。 2.与直线垂直的直线，可设为，利用待定系数法求解，简化计算。 3.直线垂直的本质是两条直线的方向向量互相垂直，数量积为0，是垂直判定公式的核心原理。 【易错点】 1.判定两直线垂直时，忽略一条斜率为0、一条斜率不存在的垂直情况，仅通过判定，导致漏解。 2.利用斜率判定垂直时，错误认为，记混垂直与平行的斜率关系，导致判定错误。 3.求解垂直直线方程时，设方程时系数符号错误，导致最终方程错误。 4.结合三角形、几何图形的垂直问题中，忽略直角顶点的多种情况，导致漏解。 【解题方法】 1.两直线垂直判定步骤： ① 优先使用一般式判定：计算，若结果为0，则两直线垂直； ② 若使用斜率判定，先判断两条直线斜率是否都存在，若一条斜率为0，一条斜率不存在，则垂直；若斜率都存在，计算，若结果为-1，则垂直。 2.垂直直线方程求解法： ① 斜截式：已知直线（），垂直直线设为，代入已知点坐标求； ② 一般式：已知直线，垂直直线设为，代入已知点坐标求。 3.几何综合问题解法： 结合几何图形的性质，先确定直角顶点的位置，再利用垂直的斜率关系或一般式公式，建立方程求解未知参数。 题型一 确定直线位置的几何要素 答｜题｜模｜板 直线象限判定解题步骤： 步骤1：分析直线一般式方程的系数符号，确定、、的正负； 步骤2：分别令、，求出直线与y轴、x轴的交点坐标，判定交点在坐标轴的正负半轴； 步骤3：根据两个交点的位置，结合两点确定直线的走向，判定直线所经过的象限； 步骤4：验证特殊情况，若或，直线平行于坐标轴，直接判定所过象限。 易｜错｜点｜拨 1.计算截距时，负号处理错误，导致交点坐标的正负判定错误； 2.忽略或的特殊情况，直接套用斜截式分析，导致结果错误； 3.混淆x轴、y轴截距的计算方式，令时求成x轴截距，令时求成y轴截距。 【典例1】已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（　　）象限． A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 【答案】C 【分析】先由已知分析可得ac＜0，然后分别令x＝0和y＝0求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【解答】解：由ab＜0，bc＞0可得：ac＜0， 令x＝0，解得y0， 此时点（0，）在y轴负半轴上， 令y＝0，解得x0， 此时点（，0）在x轴正半轴上， 所以直线过第一，三，四象限， 故选：C． 【点评】本题考查了确定直线的位置的几何要素，属于基础题． 【变式1】如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】由题意，利用直线的斜率以及它在y轴上的截距，可得结论． 【解答】解：∵AB＞0且BC＜0，∴0，0， 那么直线Ax+By+C＝0，即直线y的斜率小于零，在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点评】本题主要考查直线的斜率以及它在y轴上的截距，属于基础题． 题型二 直线倾斜角的求解与范围判定 答｜题｜模｜板 倾斜角基础求解模板： 步骤1：根据已知条件（直线方程、两点坐标），求出直线的斜率； 步骤2：结合，以及倾斜角，求解的值； 步骤3：若，；若，；若，；若不存在，。 倾斜角范围判定模板： 步骤1：确定定点，以及线段的两个端点坐标； 步骤2：分别计算直线、的斜率，进而得到对应的倾斜角； 步骤3：结合图形，判断直线与线段相交时，倾斜角的旋转范围； 步骤4：结合正切函数的单调性，写出倾斜角的取值范围，注意包含斜率不存在的情况。 易｜错｜点｜拨 1.已知负斜率求倾斜角时，直接写成，未转化为，导致倾斜角超出取值范围； 2.判定倾斜角范围时，忽略倾斜角经过的情况，直接合并区间，导致范围错误； 3.直线旋转问题中，未考虑旋转后倾斜角超出的情况，未进行角度转化。 【典例1】（2025•宝山区期中）已知点A（2，3），点B（﹣2，），直线l过点P（﹣1，0），若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是　 　 ． 【答案】[45°，120°] 【分析】由已知画出图形，求出PA，PB的斜率，得到所在直线的倾斜角，则答案可求． 【解答】解：如图，A（2，3），B（﹣2，），P（﹣1，0）， ∵，， ∴PA所在直线的倾斜角为45°，PB所在直线的倾斜角为120°． ∴若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是[45°，120°]． 故答案为：[45°，120°]． 【点评】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 【变式1】（2024•黄浦区期中）经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：∵经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°， ∴tan45°，即﹣t＝t﹣4，解得t＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 【变式2】将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率1，则直线MN的倾斜角是 　 　 （结果用角度制表示）． 【答案】105°或165°． 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系及直线的旋转求出结果． 【解答】解：直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率1，即直线M′N′的倾斜角为45°， 当直线M′N′按逆时针旋转60°时，得到直线MN的倾斜角为105°， 当直线M′N′按顺时针旋转60°时，得到直线MN的倾斜角为165°． 故答案为：105°或165°． 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，直线的旋转，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 【变式3】（2025•静安区期中）直线l：2y﹣1＝0的倾斜角是 　 　 ． 【答案】0° 【分析】由直线的方程，可得直线平行于x轴，可得直线的倾斜角的大小． 【解答】解：因为直线l：2y﹣1＝0，即y，则直线l平行于x轴，所以于直线的倾斜角为0°． 故答案为：0°． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题． 题型三 直线斜率的计算与取值范围 答｜题｜模｜板 两点斜率计算模板： 步骤1：确定直线上两点、的坐标； 步骤2：判断与是否相等，若相等，直线斜率不存在； 步骤3：若，代入斜率公式，计算得到斜率。 斜率取值范围求解模板： 步骤1：明确定点坐标，以及线段的两个端点坐标； 步骤2：计算定点与两个端点连线的斜率、； 步骤3：结合图形，判断直线旋转过程中是否经过垂直于x轴的位置（斜率不存在）； 步骤4：若不经过，斜率范围在和之间；若经过，斜率范围为； 步骤5：验证边界值，确定区间的开闭。 易｜错｜点｜拨 1.斜率公式中分子分母坐标对应错误，导致斜率符号错误； 2.求解斜率取值范围时，忽略斜率不存在的情况，导致区间遗漏； 3.混淆斜率的正负与倾斜角的关系，错误合并区间； 4.利用法向量求斜率时，系数符号处理错误，导致斜率计算错误。 【典例1】已知两点A（2，﹣1），B（﹣5，﹣3），直线l过点（1，1），若直线l与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据直线的斜率公式，求出直线PA、PB的斜率，可得直线l的斜率取值范围． 【解答】解：如图所示： 由于直线l与线段AB相交， 故有k≤kPA或 k≥kPB， 求得，， 可得直线l的斜率取值范围是， 故选：A． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 【变式1】（2025•宝山区期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据斜率的计算公式求解即可． 【解答】解：直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2）， 则． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 【变式2】（2024•闵行区期中）已知直线l的一个法向量是（2，﹣1），则它的斜率为 　 　 ． 【答案】2 【分析】由已知求出直线的方向向量，由此即可求解． 【解答】解：由题意可得直线的方向向量可以为（1，2）， 所以直线的斜率为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了直线的斜率的求解，涉及到直线的法向量与方向向量的关系，属于基础题． 【变式3】（2025•静安区期中）P（x，y）在线段AB上运动，已知A（2，4），B（5，﹣2），则的取值范围是 　 　 ． 【答案】[，]． 【分析】画出图形，求出PC的斜率，即可得到的取值范围． 【解答】解：如图：表示线段上的点与C（﹣1，﹣1）连线的斜率， ∴KAC，KBC， 则的取值范围是[，]． 故答案为：[，]． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查计算能力． 【变式4】设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　 　 ． 【答案】1． 【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率． 【解答】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率． 故答案为：1． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和点的坐标的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 题型四 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 答｜题｜模｜板 图象斜率大小比较解题步骤： 步骤1：观察图象中每条直线的倾斜方向，区分倾斜角为锐角（斜率为正）、钝角（斜率为负）； 步骤2：先按正负分组，正数恒大于负数； 步骤3：锐角组中，倾斜角越大，斜率越大；钝角组中，倾斜角越大，斜率越大； 步骤4：整合所有直线的斜率，写出大小关系。 易｜错｜点｜拨 1.误认为倾斜角越大，斜率越大，忽略钝角倾斜角对应的斜率为负，导致大小比较错误； 2.混淆斜率的正负与倾斜角的象限，错误将钝角倾斜角的斜率判定为正数； 3.多条直线比较时，未先区分正负，直接按倾斜角大小排序，导致结果错误。 【典例1】（2025•上海期中）若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【答案】B 【分析】由图象看出三条直线的倾斜角的范围和大小，然后利用正切函数的象限符号和单调性得到三条直线的斜率的大小关系． 【解答】解：因为直线的斜率是其倾斜角的正切值，当倾斜角大于90°小于180°时，斜率为负值， 当倾斜角大于0°小于90°时斜率为正值，且正切函数在（0°，90°）上为增函数， 由图象三条直线的倾斜角可知，k2＜k1＜k3． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，是基础题． 题型五 两条直线平行的判定与应用 答｜题｜模｜板 两直线平行判定解题步骤： 步骤1：写出两条直线的一般式方程，确定系数、、和、、； 步骤2：计算，若结果不为0，则两直线不平行； 步骤3：若，再验证（或），若成立，则两直线平行；若不成立，则两直线重合； 步骤4：若直线为斜截式，先判断斜率是否存在，再比较斜率和截距。 平行直线方程求解模板： 步骤1：根据已知直线方程，设出平行直线的方程（斜截式/一般式）； 步骤2：将已知点的坐标代入所设方程，求解未知参数； 步骤3：验证参数是否满足平行条件（截距不同），写出最终的直线方程。 易｜错｜点｜拨 1.判定平行时，忽略斜率不存在的情况，仅通过斜率相等判定，导致漏解； 2.利用一般式判定时，未验证两直线不重合，导致将重合直线误判为平行； 3.求平行线间距离时，未将两条直线的x、y系数化为一致，导致计算错误； 4.三条直线无法构成三角形问题中，遗漏三线共点的情况，导致参数求解不全。 【典例5】（2024•闵行区期中）直线l1：7x+2y+1＝0，l2：mx+y＝0，l3：x+my﹣1＝0，若三条直线无法构成三角形，则实数m可取值的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分l1∥l2、l1∥l3、l2∥l3及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的m的值，即可得解． 【解答】解：①l1∥l2时，则2m＝7×1，解得，经检验符合题意； ②l1∥l3时，则7m＝2×1，解得，经检验符合题意； ③l2∥l3时，则m2＝1×1，解得m＝±1，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数m可取值的集合为，即符合题意的实数m共6个． 故选：D． 【点评】本题主要考查两直线的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 【变式1】已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m+1）y+1＝0，若l1∥l2，则m＝ 　 　 ． 【答案】﹣2． 【分析】由两条直线平行的充要条件列方程，求解即可． 【解答】解：直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m+1）y+1＝0， 若l1∥l2，可得m[﹣（m+1）]＝﹣2且﹣2≠﹣（m+1）， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 【变式2】（2025•上海期中）经过点（2，﹣1）且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程是 　 　 ． 【答案】2x﹣y﹣5＝0． 【分析】设出直线方程为2x﹣y+C＝0，代入（2，﹣1），求出C＝﹣5，求出直线方程． 【解答】解：设直线为2x﹣y+C＝0， 再将（2，﹣1）代入得4+1+C＝0，解得C＝﹣5， 故直线方程为2x﹣y﹣5＝0． 故答案为：2x﹣y﹣5＝0． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题． 【变式3】（2025•徐汇区期中）已知直线l过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y＝1和l2：x+y＝6截得的线段长度为5，求直线l的方程． 【答案】x＝3或y＝1． 【分析】求出平行线之间的距离，结合|AB|＝5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解． 【解答】解：由题意，直线l1、l2之间的距离为d， 且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5， 设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ，故θ＝45°． 由直线l1：x+y+1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°， 又由直线l过点P（3，1）， 故直线l的方程为：x＝3或y＝1． 【点评】本题主要考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，考查计算能力，属于中档题． 题型六 两条直线垂直的判定与综合应用 答｜题｜模｜板 两直线垂直判定解题步骤： 步骤1：写出两条直线的一般式方程，确定系数、、、； 步骤2：计算，若结果为0，则两直线垂直；若不为0，则不垂直； 步骤3：若使用斜率判定，先判断斜率是否都存在，若一条斜率为0，一条斜率不存在，则垂直；若斜率都存在，验证是否成立。 垂直直线方程求解模板： 步骤1：根据已知直线方程，设出垂直直线的方程（一般式优先）； 步骤2：将已知点的坐标代入所设方程，求解未知参数； 步骤3：验证垂直条件，写出最终的直线方程。 易｜错｜点｜拨 1.判定垂直时，忽略一条斜率为0、一条斜率不存在的情况，仅通过判定，导致漏解； 2.记混垂直与平行的斜率关系，错误认为是垂直，是平行； 3.设垂直直线方程时，系数符号处理错误，导致方程不满足垂直条件； 4.几何综合问题中，未考虑直角顶点的多种情况，导致漏解。 【典例6】（2025•浦东新区期中）过点（4，5）且与直线l：x+3y﹣6＝0垂直的直线的一般式方程为 　 　 ． 【答案】3x﹣y﹣7＝0． 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可设所求直线方程为3x﹣y+m＝0， 所求直线过点（4，5）， 则3×4﹣5+m＝0，解得m＝﹣7， 故所求直线的一般式方程为3x﹣y﹣7＝0． 故答案为：3x﹣y﹣7＝0． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 【变式1】（2024秋•上海期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为 　 　 ． 【答案】﹣6 【分析】由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a． 【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直， ∴a+6＝0，解得a＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式2】直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝　 　 ． 【答案】﹣2 【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求． 【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0， ∴直线l1的方向向量为（1，﹣（a+3））， 直线l2的方向向量为（1，）， ∵l1的方向向量是l2的法向量， ∴两直线的方向向量垂直，即•1×1+（﹣a﹣3）0，解得a＝﹣2， ∴实数a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了直线的方向向量与法向量，以及利用空间向量数量积的运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 【变式3】（2024•闵行区期中）已知点A（1，0），B（﹣1，2）． （1）设m∈R，若直线AB与直线x﹣my+1＝0垂直，求m的值； （2）求过点B且与直线2x﹣y+1＝0夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】（1）m＝1； （2）3x﹣4y+11＝0或x＝﹣1． 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对△ACD用正弦定理，得到β的正弦值，对△BDE用正弦定理，得到|BE|，设出交点求解二次方程即可求解． 【解答】解：（1）因为A（1，0），B（﹣1，2）， 所以直线AB的斜率为， 因为直线AB与直线x﹣my+1＝0垂直， 所以， 解得m＝1； （2）如图： 点E为过点B且与直线2x﹣y+1＝0夹角的余弦值为的直线与直线y＝2x+1的交点， 点为直线y＝2x+1与x轴的交点，点D（0，1）为直线AB与直线y＝2x+1的交点， 点E'（﹣1，﹣1）为过点B作x轴的垂线交直线y＝2x+1的交点，∠α＝∠BED，∠β＝∠BDE， 设夹角为α，因为，所以， 因为，， 所以在△ACD中，，所以， 因为，所以在△BDE中，， 所以，所以|BE|＝3，易知|BE′|＝|BE|＝3， 设交点E坐标为（x，2x+1），所以（x+1）2+（2x+1﹣2）2＝32， 所以或﹣1，所以交点坐标为（，）或（﹣1，﹣1）， 所以直线方程为或， 即3x﹣4y+11＝0或x＝﹣1． 【点评】本题考查了直线垂直和正弦定理的应用，属于中档题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024•闵行区期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（　　） A． B．（0，π] C．[0，π） D．[0，π] 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案． 【解答】解：平面直角坐标系中，由直线倾斜角的定义可知直线倾斜角的范围为[0，π）． 故选：C． 【点评】本题考查直线的倾斜角的定义的应用，属于基础题． 2．（2025•宝山区期中）已知直线l的方程为2x+y+1＝0，则直线l的倾斜角为 　 　 ． 【答案】π﹣arctan2 【分析】根据题意，求出直线的斜率，结合直线斜率与倾斜角的关系分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l的方程为2x+y+1＝0，其斜率k＝﹣2， 则直线的倾斜角为π﹣arctan2． 故答案为：π﹣arctan2． 【点评】本题直线的倾斜角，涉及直线的一般式方程，属于基础题． 3．（2024•松江区期中）直线x+y﹣1＝0的倾斜角大小是 　 　 ． 【答案】135° 【分析】由题意，利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论． 【解答】解：∵直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1， ∴它的倾斜角为135°． 故答案为：135°． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 4．（2025•浦东新区期中）经过点、B（1，0）的直线l的斜率为 　 　 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解． 【解答】解：点、B（1，0）， 则直线l的斜率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题． 5．（2025•嘉定区期中）若直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为　 　 ． 【答案】 【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【解答】解：直线l的倾斜角为，则该直线的斜率：tan． 故答案为 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025•杨浦区期中）直线的倾斜角为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据直线的斜率求解即可． 【解答】解：因为直线的斜率k， 即倾斜角α的正切为， 又0≤α＜π． 故直线的倾斜角为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 2．若直线ax+by+c＝0的一个法向量，则这条直线的倾斜角为　 ． 【答案】 【分析】由已知中直线ax+by+c＝0的一个法向量，根据直线ax+by+c＝0的法向量为λ（b，a），我们可以确定直线ax+by+c＝0中a，b的关系，进而求出直线的斜率，最后得到直线的倾斜角． 【解答】解：∵直线ax+by+c＝0的一个法向量 ∴直线ax+by+c＝0满足 a﹣b＝0 故线ax+by+c＝0的斜率为 故直线的倾斜角为 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据已知中直线ax+by+c＝0的一个法向量，求出直线的斜率是解答本题的关键． 3．（2025•浦东新区期中）已知点A（0，﹣8），B（2，﹣2），C（4，m），若线段AB，AC，BC不能构成三角形，则m的值是 　 　 ． 【答案】4 【分析】由线段AB，AC，BC不能构成三角形知A，B，C三点共线，由kAB＝kAC求得m的值． 【解答】解：因为线段AB，AC，BC不能构成三角形，所以A，B，C三点共线， 显然直线AB的斜率存在，故kAB＝kAC，即，解得m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 4．（2025•上海期中）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0． （1）当m为何值时，l1与l2相交； （2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离． 【答案】（1）m≠﹣5且m≠8； （2）m＝﹣5；． 【分析】（1）当（m+4）（m﹣1）≠6（m+6）时l1与l2相交，即可求出m的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出m的值，再由距离公式计算可得． 【解答】解：（1）由题意可得当直线l1与l2相交，则（m+4）（m﹣1）≠6（m+6），解得m≠﹣5且m≠8． （2）由直线l1与l2平行，则，解得m＝﹣5， 所以此时直线l1：x﹣y+16＝0，， 所以l1与l2的距离． 【点评】本题考查了两直线得位置关系，是基础题． 5．（2025•上海期中）已知一条直线经过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3），则直线l的倾斜角是 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据斜率公式，即可求解． 【解答】解：设倾斜角为α，0≤α＜π， 故，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查计算能力，属于基础题． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024•普陀区期中）在△ABC中，|AB|＝6，|AC|＝8，|BC|＝10． （1）建立适当的直角坐标系，求边BC所在直线的方程； （2）求△ABC的重心G到边BC所在直线的距离． 【答案】（1）4x+3y﹣24＝0； （2）． 【分析】（1）由于∠BAC＝90°，故以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，从而得到边BC所在直线的方程； （2）求出重心G坐标，利用点到直线公式即可求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，|AB|＝6，|AC|＝8，|BC|＝10， 则|AB|2+|AC|2＝|BC|2， 则∠BAC＝90° 所以以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如下平面直角坐标系： 所以B（6，0），C（0，8）， 则边BC所在直线的方程为，化简可得：4x+3y﹣24＝0； （2）由于A（0，0），B（6，0），C（0，8）， 所以△ABC的重心G坐标为，即重心， 所以△ABC的重心G到边BC所在直线的距离． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-1 直线的倾斜角与斜率 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲（Ctrl并单击鼠标题型名称可跟踪链接） 题型一 确定直线位置的几何要素 题型二 直线倾斜角的求解与范围判定 题型三 直线斜率的计算与取值范围 题型四 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型五 两条直线平行的判定与应用 题型六 两条直线垂直的判定与综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定直线位置的几何要素 能根据直线方程分析直线所过的象限，掌握确定直线位置的两大核心要素（定点、斜率），能结合系数符号判定直线的位置特征 期中基础必考点，多以选择小题形式出现，分值4分，难度低，侧重直线一般式方程与系数符号的结合分析，是直线方程的入门基础考点 直线的倾斜角 能准确理解直线倾斜角的定义，熟记倾斜角的取值范围，能根据直线方程、两点坐标、直线旋转等场景求解倾斜角，掌握倾斜角范围的判定方法 期中高频核心考点，填空、选择小题必考，分值4分，是斜率的几何基础，易在倾斜角范围、旋转类问题中设置易错点，常与斜率结合命题 直线的斜率 能熟练运用斜率公式计算过两点的直线斜率，掌握倾斜角与斜率的转化关系，能结合线段相交场景求解斜率的取值范围，理解直线法向量与斜率的关联 期中中档核心考点，填空、选择高频出现，分值4分，侧重斜率的几何意义与取值范围分析，常作为直线平行、垂直判定的基础，是期中考查的重点内容 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 能根据直线的图象判断倾斜角与斜率的大小关系，掌握不同象限内倾斜角与斜率的单调性规律，能结合图象分析斜率的变化趋势 期中高频易错点，多以选择小题形式出现，分值4分，易混淆钝角倾斜角的斜率大小关系，侧重数形结合思想的考查 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 能根据斜率关系判定两条直线是否平行，掌握一般式方程下两直线平行的充要条件，能求解平行直线的方程，掌握两平行线间的距离公式 期中中档必考点，填空、选择、解答题均有涉及，分值4-8分，易在直线斜率不存在的场景设置陷阱，常结合直线方程求解综合命题 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 能根据斜率关系判定两条直线是否垂直，掌握一般式方程下两直线垂直的充要条件，能求解垂直直线的方程，能结合垂直关系解决综合几何问题 期中高频核心考点，填空、选择、解答题必考，分值4-10分，是直线模块的综合应用核心，易与三角形、距离公式结合考查，常作为解答题的基础设问出现 知识点01 确定直线位置的几何要素 定义：确定一条直线的核心几何要素分为两类，①两点确定一条直线，已知直线上两个不同的点，可唯一确定直线；②已知直线上一个定点和直线的斜率（倾斜角），可唯一确定直线。 直线的一般式方程为（、不同时为0），可通过系数符号分析直线所过的象限、与坐标轴的交点等位置特征。 【特别提醒】 1.直线与x轴交点：令，得（）；与y轴交点：令，得（），通过交点所在坐标轴的正负，可快速判定直线所过象限。 2.对于直线的斜截式方程，斜率和y轴截距是确定直线位置的核心要素，决定直线的倾斜方向，决定直线与y轴的交点位置。 【易错点】 1.分析直线一般式方程的系数时，忽略、为0的特殊情况，当时，直线平行于x轴；当时，直线平行于y轴，无法用斜截式表示。 2.判定直线象限时，错误计算截距的正负，尤其是负号处理不当，导致象限判定错误。 3.误认为“截距”就是距离，截距可正、可负、可为0，并非线段的长度。 【解题方法】 1.象限判定法：通过直线一般式方程，分别求出与x轴、y轴的交点坐标，根据交点在坐标轴的正负半轴，结合两点确定直线的走向，判定直线所过象限。 2.斜截式转化法：将直线一般式方程转化为斜截式，通过斜率的正负判定倾斜方向，通过截距的正负判定与y轴的交点位置，进而确定直线所过象限。 知识点02 直线的倾斜角 定义：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为。 倾斜角的取值范围：（即）。 【特别提醒】 1.每一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角刻画了直线对x轴正方向的倾斜程度。 2.倾斜角与斜率的核心关系：当时，斜率；当时，直线垂直于x轴，斜率不存在。 3.直线旋转类问题中，逆时针旋转倾斜角增大，顺时针旋转倾斜角减小，需注意旋转后倾斜角仍需落在范围内。 【易错点】 1.记错倾斜角的取值范围，误写为或，导致倾斜角判定错误。 2.认为所有直线都有斜率，忽略倾斜角为（90°）时，直线斜率不存在的特殊情况。 3.直线旋转问题中，未考虑旋转后倾斜角超出的情况，未进行合理的角度转化，导致结果错误。 4.已知斜率求倾斜角时，忽略倾斜角的范围，直接用反正切函数表示，未对钝角倾斜角进行的转化。 【解题方法】 1.倾斜角基础求法： ① 已知直线方程：转化为斜截式，求出斜率，结合和，求出倾斜角； ② 已知直线上两点：先通过斜率公式求出斜率，再结合正切函数求倾斜角； ③ 已知直线平行/垂直关系：先根据平行/垂直性质求出斜率，再求倾斜角。 2.倾斜角范围判定法： 结合直线与线段相交的场景，先求出线段两个端点与定点连线的斜率，再结合正切函数在和上的单调性，确定倾斜角的取值范围。 3.旋转类问题解法： 先确定原直线的倾斜角，再根据旋转方向和旋转角度，计算旋转后的倾斜角，若结果超出，则通过加/减进行转化，最终结果落在内。 知识点03 直线的斜率 定义：当直线倾斜角时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母表示，即。 过两点，（）的直线的斜率公式：。 【特别提醒】 1.斜率的正负与倾斜角的关系：时，，倾斜角越大，斜率越大；时，，倾斜角越大，斜率越大。 2.直线的方向向量与斜率的关系：若直线的方向向量为，则直线的斜率（）；若直线的法向量为，则直线的方向向量为，斜率（）。 3.斜率是刻画直线倾斜程度的代数表示，与直线上两点的选取顺序无关，。 【易错点】 1.使用斜率公式时，忽略的情况，此时直线垂直于x轴，斜率不存在，不能套用斜率公式。 2.计算斜率时，分子分母的坐标对应错误，将作为斜率，导致符号错误。 3.分析斜率取值范围时，忽略倾斜角经过的情况，直接用单调性合并区间，导致范围判定错误。 4.混淆直线法向量与方向向量的关系，错误计算直线的斜率。 【解题方法】 1.斜率基础计算法： ① 已知两点坐标：直接代入斜率公式计算，先判断与是否相等，若相等则斜率不存在； ② 已知倾斜角：根据计算，时斜率不存在； ③ 已知直线的法向量/方向向量：先转化为方向向量，再计算斜率。 2.斜率取值范围求解模板： ① 确定定点坐标，以及线段的两个端点坐标； ② 分别计算定点与两个端点连线的斜率； ③ 结合图形，判断直线旋转过程中是否经过垂直于x轴的位置（斜率不存在）； ④ 结合正切函数的单调性，写出斜率的取值范围。 知识点04 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 定义：直线的图象由倾斜角和截距共同决定，倾斜角决定直线的倾斜方向，斜率是倾斜角的代数体现，二者的对应关系直接决定直线的图象特征。 【特别提醒】 1.正切函数的单调性是判断斜率大小的核心：在上，单调递增，随增大而增大，且；在上，单调递增，随增大而增大，且。 2.直线在y轴上的截距决定直线的上下位置，不影响斜率和倾斜角的大小。 3.多条直线比较斜率大小时，先区分倾斜角是锐角还是钝角，锐角对应的斜率为正，钝角对应的斜率为负，再分别比较大小。 【易错点】 1.误认为倾斜角越大，斜率越大，忽略倾斜角在时，斜率为负的情况，导致大小比较错误。 2.混淆直线的倾斜程度与斜率的绝对值的关系，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大，与斜率的正负无关。 3.多条直线图象比较时，误将截距的大小与斜率的大小关联，导致判断错误。 【解题方法】 1.图象法斜率大小比较步骤： ① 观察直线的倾斜方向，区分倾斜角是锐角（斜率为正）、直角（斜率不存在）、钝角（斜率为负）； ② 先比较正负，正数大于负数； ③ 同为锐角时，倾斜角越大，斜率越大；同为钝角时，倾斜角越大，斜率越大； ④ 最终整合出斜率的大小关系。 2.图象特征分析法： 根据直线的斜率正负和截距正负，可快速判定直线所过的象限，结合图象验证直线方程的系数符号是否正确。 知识点05 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 定义：对于两条不重合的直线、，其倾斜角分别为、，斜率分别为、。 1.斜率存在时：； 2.斜率都不存在时：两条直线的倾斜角均为90°，两条直线均垂直于x轴，互相平行。 直线一般式，（、不同时为0，、不同时为0），的充要条件是，且（或）。 【特别提醒】 1.两直线平行的前提是两条直线不重合，若，两条直线可能平行，也可能重合，需进一步验证截距是否不同。 2.与直线平行的直线，可设为（），利用待定系数法求解，简化计算。 3.两平行线间的距离公式：对于，，距离。 【易错点】 1.判定两直线平行时，忽略斜率不存在的情况，仅通过判定，遗漏两条直线均垂直于x轴的平行情况。 2.利用一般式判定平行时，仅验证，忽略两直线重合的情况，未验证，导致结果错误。 3.求平行线间距离时，未将两条直线的x、y系数化为相同，直接代入公式计算，导致距离计算错误。 4.三条直线无法构成三角形的问题中，遗漏三条直线交于同一点的情况，仅考虑两两平行的情况，导致漏解。 【解题方法】 1.两直线平行判定步骤： ① 先判断两条直线的斜率是否都存在，若一条斜率存在，一条不存在，必然不平行； ② 若斜率都存在，计算、，若，不平行；若，验证截距是否不同，截距不同则平行，截距相同则重合； ③ 若斜率都不存在，验证两条直线的x轴截距是否不同，不同则平行，相同则重合。 2.平行直线方程求解法： ① 斜截式：已知直线，平行直线设为（），代入已知点坐标求； ② 一般式：已知直线，平行直线设为（），代入已知点坐标求。 3.三条直线无法构成三角形问题解法： 分三类情况讨论：① 其中两条直线平行；② 三条直线交于同一点；③ 其中两条直线重合，分别求解对应参数，再整合结果。 知识点06 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 定义：对于两条直线、，其斜率分别为、。 1.斜率都存在时：； 2.一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线也互相垂直（一条平行于x轴，一条垂直于x轴）。 直线一般式，，的充要条件是。 【特别提醒】 1.一般式的垂直判定公式无需考虑斜率是否存在，适用于所有情况，是解题中优先选用的方法。 2.与直线垂直的直线，可设为，利用待定系数法求解，简化计算。 3.直线垂直的本质是两条直线的方向向量互相垂直，数量积为0，是垂直判定公式的核心原理。 【易错点】 1.判定两直线垂直时，忽略一条斜率为0、一条斜率不存在的垂直情况，仅通过判定，导致漏解。 2.利用斜率判定垂直时，错误认为，记混垂直与平行的斜率关系，导致判定错误。 3.求解垂直直线方程时，设方程时系数符号错误，导致最终方程错误。 4.结合三角形、几何图形的垂直问题中，忽略直角顶点的多种情况，导致漏解。 【解题方法】 1.两直线垂直判定步骤： ① 优先使用一般式判定：计算，若结果为0，则两直线垂直； ② 若使用斜率判定，先判断两条直线斜率是否都存在，若一条斜率为0，一条斜率不存在，则垂直；若斜率都存在，计算，若结果为-1，则垂直。 2.垂直直线方程求解法： ① 斜截式：已知直线（），垂直直线设为，代入已知点坐标求； ② 一般式：已知直线，垂直直线设为，代入已知点坐标求。 3.几何综合问题解法： 结合几何图形的性质，先确定直角顶点的位置，再利用垂直的斜率关系或一般式公式，建立方程求解未知参数。 题型一 确定直线位置的几何要素 答｜题｜模｜板 直线象限判定解题步骤： 步骤1：分析直线一般式方程的系数符号，确定、、的正负； 步骤2：分别令、，求出直线与y轴、x轴的交点坐标，判定交点在坐标轴的正负半轴； 步骤3：根据两个交点的位置，结合两点确定直线的走向，判定直线所经过的象限； 步骤4：验证特殊情况，若或，直线平行于坐标轴，直接判定所过象限。 易｜错｜点｜拨 1.计算截距时，负号处理错误，导致交点坐标的正负判定错误； 2.忽略或的特殊情况，直接套用斜截式分析，导致结果错误； 3.混淆x轴、y轴截距的计算方式，令时求成x轴截距，令时求成y轴截距。 【典例1】已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（　　）象限． A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 【变式1】如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 题型二 直线倾斜角的求解与范围判定 答｜题｜模｜板 倾斜角基础求解模板： 步骤1：根据已知条件（直线方程、两点坐标），求出直线的斜率； 步骤2：结合，以及倾斜角，求解的值； 步骤3：若，；若，；若，；若不存在，。 倾斜角范围判定模板： 步骤1：确定定点，以及线段的两个端点坐标； 步骤2：分别计算直线、的斜率，进而得到对应的倾斜角； 步骤3：结合图形，判断直线与线段相交时，倾斜角的旋转范围； 步骤4：结合正切函数的单调性，写出倾斜角的取值范围，注意包含斜率不存在的情况。 易｜错｜点｜拨 1.已知负斜率求倾斜角时，直接写成，未转化为，导致倾斜角超出取值范围； 2.判定倾斜角范围时，忽略倾斜角经过的情况，直接合并区间，导致范围错误； 3.直线旋转问题中，未考虑旋转后倾斜角超出的情况，未进行角度转化。 【典例1】（2025•宝山区期中）已知点A（2，3），点B（﹣2，），直线l过点P（﹣1，0），若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是　 　 ． 【变式1】（2024•黄浦区期中）经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝　 　 ． 【变式2】将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率1，则直线MN的倾斜角是 　 　 （结果用角度制表示）． 【变式3】（2025•静安区期中）直线l：2y﹣1＝0的倾斜角是 　 　 ． 题型三 直线斜率的计算与取值范围 答｜题｜模｜板 两点斜率计算模板： 步骤1：确定直线上两点、的坐标； 步骤2：判断与是否相等，若相等，直线斜率不存在； 步骤3：若，代入斜率公式，计算得到斜率。 斜率取值范围求解模板： 步骤1：明确定点坐标，以及线段的两个端点坐标； 步骤2：计算定点与两个端点连线的斜率、； 步骤3：结合图形，判断直线旋转过程中是否经过垂直于x轴的位置（斜率不存在）； 步骤4：若不经过，斜率范围在和之间；若经过，斜率范围为； 步骤5：验证边界值，确定区间的开闭。 易｜错｜点｜拨 1.斜率公式中分子分母坐标对应错误，导致斜率符号错误； 2.求解斜率取值范围时，忽略斜率不存在的情况，导致区间遗漏； 3.混淆斜率的正负与倾斜角的关系，错误合并区间； 4.利用法向量求斜率时，系数符号处理错误，导致斜率计算错误。 【典例1】已知两点A（2，﹣1），B（﹣5，﹣3），直线l过点（1，1），若直线l与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025•宝山区期中）直线l过点A（1，0）和B（﹣1，2），则l的斜率为　 　 ． 【变式2】（2024•闵行区期中）已知直线l的一个法向量是（2，﹣1），则它的斜率为 　 　 ． 【变式3】（2025•静安区期中）P（x，y）在线段AB上运动，已知A（2，4），B（5，﹣2），则的取值范围是 　 　 ． 【变式4】设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　 　 ． 题型四 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 答｜题｜模｜板 图象斜率大小比较解题步骤： 步骤1：观察图象中每条直线的倾斜方向，区分倾斜角为锐角（斜率为正）、钝角（斜率为负）； 步骤2：先按正负分组，正数恒大于负数； 步骤3：锐角组中，倾斜角越大，斜率越大；钝角组中，倾斜角越大，斜率越大； 步骤4：整合所有直线的斜率，写出大小关系。 易｜错｜点｜拨 1.误认为倾斜角越大，斜率越大，忽略钝角倾斜角对应的斜率为负，导致大小比较错误； 2.混淆斜率的正负与倾斜角的象限，错误将钝角倾斜角的斜率判定为正数； 3.多条直线比较时，未先区分正负，直接按倾斜角大小排序，导致结果错误。 【典例1】（2025•上海期中）若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 题型五 两条直线平行的判定与应用 答｜题｜模｜板 两直线平行判定解题步骤： 步骤1：写出两条直线的一般式方程，确定系数、、和、、； 步骤2：计算，若结果不为0，则两直线不平行； 步骤3：若，再验证（或），若成立，则两直线平行；若不成立，则两直线重合； 步骤4：若直线为斜截式，先判断斜率是否存在，再比较斜率和截距。 平行直线方程求解模板： 步骤1：根据已知直线方程，设出平行直线的方程（斜截式/一般式）； 步骤2：将已知点的坐标代入所设方程，求解未知参数； 步骤3：验证参数是否满足平行条件（截距不同），写出最终的直线方程。 易｜错｜点｜拨 1.判定平行时，忽略斜率不存在的情况，仅通过斜率相等判定，导致漏解； 2.利用一般式判定时，未验证两直线不重合，导致将重合直线误判为平行； 3.求平行线间距离时，未将两条直线的x、y系数化为一致，导致计算错误； 4.三条直线无法构成三角形问题中，遗漏三线共点的情况，导致参数求解不全。 【典例5】（2024•闵行区期中）直线l1：7x+2y+1＝0，l2：mx+y＝0，l3：x+my﹣1＝0，若三条直线无法构成三角形，则实数m可取值的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m+1）y+1＝0，若l1∥l2，则m＝ 　 　 ． 【变式2】（2025•上海期中）经过点（2，﹣1）且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程是 　 　 ． 【变式3】（2025•徐汇区期中）已知直线l过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y＝1和l2：x+y＝6截得的线段长度为5，求直线l的方程． 题型六 两条直线垂直的判定与综合应用 答｜题｜模｜板 两直线垂直判定解题步骤： 步骤1：写出两条直线的一般式方程，确定系数、、、； 步骤2：计算，若结果为0，则两直线垂直；若不为0，则不垂直； 步骤3：若使用斜率判定，先判断斜率是否都存在，若一条斜率为0，一条斜率不存在，则垂直；若斜率都存在，验证是否成立。 垂直直线方程求解模板： 步骤1：根据已知直线方程，设出垂直直线的方程（一般式优先）； 步骤2：将已知点的坐标代入所设方程，求解未知参数； 步骤3：验证垂直条件，写出最终的直线方程。 易｜错｜点｜拨 1.判定垂直时，忽略一条斜率为0、一条斜率不存在的情况，仅通过判定，导致漏解； 2.记混垂直与平行的斜率关系，错误认为是垂直，是平行； 3.设垂直直线方程时，系数符号处理错误，导致方程不满足垂直条件； 4.几何综合问题中，未考虑直角顶点的多种情况，导致漏解。 【典例6】（2025•浦东新区期中）过点（4，5）且与直线l：x+3y﹣6＝0垂直的直线的一般式方程为 　 　 ． 【变式1】（2024秋•上海期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为 　 　 ． 【变式2】直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝　 　 ． 【变式3】（2024•闵行区期中）已知点A（1，0），B（﹣1，2）． （1）设m∈R，若直线AB与直线x﹣my+1＝0垂直，求m的值； （2）求过点B且与直线2x﹣y+1＝0夹角的余弦值为的直线方程． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2024•闵行区期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（　　） A． B．（0，π] C．[0，π） D．[0，π] 2．（2025•宝山区期中）已知直线l的方程为2x+y+1＝0，则直线l的倾斜角为 　 　 ． 3．（2024•松江区期中）直线x+y﹣1＝0的倾斜角大小是 　 　 ． 4．（2025•浦东新区期中）经过点、B（1，0）的直线l的斜率为 　 　 ． 5．（2025•嘉定区期中）若直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为　 　 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025•杨浦区期中）直线的倾斜角为 　 　 ． 2．若直线ax+by+c＝0的一个法向量，则这条直线的倾斜角为　 ． 3．（2025•浦东新区期中）已知点A（0，﹣8），B（2，﹣2），C（4，m），若线段AB，AC，BC不能构成三角形，则m的值是 　 　 ． 4．（2025•上海期中）已知直线l1：（m+4）x+（m+6）y﹣16＝0与直线l2：6x+（m﹣1）y﹣8＝0． （1）当m为何值时，l1与l2相交； （2）当m为何值时，l1与l2平行，并求l1与l2的距离． 5．（2025•上海期中）已知一条直线经过点A（﹣1，﹣1）、B（2，3），则直线l的倾斜角是 　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024•普陀区期中）在△ABC中，|AB|＝6，|AC|＝8，|BC|＝10． （1）建立适当的直角坐标系，求边BC所在直线的方程； （2）求△ABC的重心G到边BC所在直线的距离． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $