精品解析：四川成都市武侯区西川实验学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段学情检测数学

2026–2027学年度上期综合练习2 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；完成时间120分钟． 2．请使用答题卡作答． 3．在作答前，请务必将自己的姓名、学号填写在答题卡规定的地方． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：0是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，是无理数 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数是三个正整数，且满足勾股定理（为最大数），需检查各选项是否均为正整数并验证等式． 【详解】解：选项A：，不是勾股数，不合题意； 选项B：含有小数，不是勾股数，不合题意； 选项C：，且均为正整数，是勾股数，符合题意； 选项D：不是正整数，不是勾股数，不合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先判断点M横纵坐标的正负，即可确定点M所在象限． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵ 点的纵坐标， ∴ 点在第一象限． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，与无法合并，计算错误； B选项，，计算正确； C选项，，计算错误； D选项，，计算错误． 5. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）． A. B. 16 C. 11 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 6. 若最简二次根式与能合并，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】先化简,根据可合并的最简二次根式被开方数相同列等式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 8. 如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积，关键是知识点的灵活应用；根据等腰三角形三线合一可得，进而利用勾股定理可得的长，利用等面积可求，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵中，是的中线， ∴， ∴， ∵于点，， ∴， ∴，即：， ∴在中，，  故选：A ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键． 根据以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积． 故答案为：144． 10. 的算术平方根是______，化简的结果是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】解：， 的算术平方根是； ． 11. 在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，那么线段上表示整数的点共有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】估算两个无理数的取值范围，确定线段覆盖的数值区间，统计区间内的整数个数 【详解】解：∵，，且 ∴ ∵，，且 ∴ 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 不等式两边同加2，得 ∴线段上的数满足，即 ∴该范围内的整数为0，1，2，3，共4个 12. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离．设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解:       【小问2详解】         15. 解下列方程组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入消元法解方程组； （2）对①和②进行整理，利用加减消元法解方程组． 【小问1详解】 解：由①得：， 将代入②得，， ， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以，原方程组的解为：． 【小问2详解】 解：对①进行整理：， 即：③， 得：， ， ④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 所以，原方程组的解为：． 16. 为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置用坐标可以表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中． i）表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ii）为了尽可能保护古树，管理部门在以古树B，C，E所成的三角形内种植绿植，那么种植的面积是多少？ 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图， （2）i），古树的位置如图所示． ii） 【解析】 【分析】（1）将点向左平移2格，再向下平移1格的格点即为点，以为原点建立直角坐标系即可； （2）i）根据图可得古树C的位置的坐标，标出古树的位置即可； ii）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：i）由图可得，表示古树C的位置的坐标为， 在网格中标出古树的位置略． ii）， ∴种植的面积是． 17. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的度数； （2）连接，求线段的长； （3）过点A作于点E，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，则，再由勾股定理的逆定理可得，即可得结论； （2）连接，过点作交的延长线于点，证明，则，，可得，在中，即可求得的长； （3）过点作交于点，先计算，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，则， 由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：如图， ∵ ， ∴， ∴． 18. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 【答案】（1）13（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及无理方程的求解，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用“两点之间线段最短”或方程变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形直角边，通过移项平方消根号，结合正数条件求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （3） ，（舍去） 的值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行分母有理化化简，再通过代数式的恒等变形简化代入计算过程，减少复杂运算 【详解】解：， 对所求代数式变形， ∵， ∴代入得原式． 20. 已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为两个方程组解相同，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求解、的值，最后计算的值． 【详解】解：两个关于，的二元一次方程组的解相同， 解方程组， 可得：， 把代入方程和， 可得：， 解得：， ． 21. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米，一辆宽为米的卡车装满货物后能够通过该隧道，那么这辆卡车装满货物后的高度最大为______米． 【答案】 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点，则米，米，根据勾股定理求出米，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点， 由题意得，半圆的直径为米，则半径为米， 卡车宽米，则卡车边缘距离中心线的水平距离为米， 在中，由勾股定理得米， 这辆卡车装满货物后的高度最大为米． 22. 已知，，，…，若（n为正整数），则化简的结果为______，那么代数式的值为______（都用含n的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对通分整理，可发现其分子为完全平方式，据此化简；将化简后的拆分为可裂项的形式，累加时通过裂项相消简化计算，得到代数式的结果． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ∵ n为正整数，所有项均为正数 ∴ 将拆分变形： 对累加求和： ． 23. 对于平面上的线段和线段上的M，N两点，给出如下定义：若以，，为边的三角形是以为斜边的直角三角形，则称M，N是线段的“勾股点”． 如图，在中，，，M，N是线段的“勾股点”（点M在点N左侧）．当，时，线段的长度为______；连接，，当，时，线段的长度为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据定义可直接得到核心关系式，设，由、表示出，代入得方程，求解一元一次方程即可得到的长度；取斜边中点O，由直角三角形斜边中线性质得，且．在中得，再分类讨论M、N的位置，结合勾股点定义列方程，整体代入化简后舍去不合理情况，最终求得． 【详解】解：设， ， ． 是线段的“勾股点”， ． 解得； 取的中点O，连接，如图： 在中，O是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 设，，则， 在中， ， 当点N在上时，M在上，如图： 此时，，， 根据“勾股点”定义得， ， 将代入得， ， 将代入得， ， ∴ ， ∵N在上，， ∴ 联立得， ∴， ∴； 当M，N都在上时，如图： 此时，，， 根据“勾股点”定义得， 解得， ∵，即为负数，此情况不成立； 当点N在边上，如图： 此时，，， 由勾股点定义得， ， 将代入得， ， 代入得， ， ∵， ∴，与上式矛盾，故此情况不存在． 综上所述，线段的长度为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某大模型公司计划部署两种型号分别是和的服务器．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员（人） 每台成本（万元） 4 12 5 16 （1）若该公司有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于该公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台，请问有多少种安装方案？并写出所有符合条件的方案． 【答案】（1）服务器安装5台，服务器安装8台 （2）共有2种安装方案，方案如下： 方案一：安装服务器10台，服务器5台； 方案二：安装服务器5台，服务器9台． 【解析】 【分析】（1）以技术人员总人数和总投入资金为等量关系，列二元一次方程组求解； （2）以技术人员总人数为等量关系列二元一次方程，结合服务器数量为正整数、服务器超过4台的条件，求出所有符合条件的整数解． 【小问1详解】 解：设服务器安装x台，服务器安装y台， 根据题意得， ， 解得， 答：服务器安装5台，服务器安装8台； 【小问2详解】 解：设服务器安装x台，服务器安装y台， 根据题意得， 解得， ， 解得， ∵， ， ∵能被4整除， 又， 是4的正整数倍． 又， 可取4，8，对应y的值为9，5，则对应x的值为5，10， 综上所述，共有2种安装方案：方案一：安装服务器10台，服务器5台； 方案二：安装服务器5台，服务器9台． 25. 在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． （1）【类比归纳】若，则______，______； （2）若，其中，则_____，______． （3）【迁移应用】请根据上面的思想方法，计算：． （4）计算：． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式展开，利用恒等式的性质，解答即可， （2）根据文中提供的方法，解答即可． （3）把化成完全平方式，再开方即可． （4）根据前面的方法，进行两次配方解答即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：，，其中， ，． 【小问3详解】 解：， ． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ． 26. 如图，，，．过点A作直线，P为射线上一动点，连接，将沿直线折叠得到． （1）直线与直线m相交于点F． i）证明：； ii）连接，当时，求线段的长； （2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，请求出满足条件的所有的长． 【答案】（1）i）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴； ii） （2）或 【解析】 【分析】（1）i）据两直线平行内错角相等得，再根据折叠的性质得，即可得出，则此题可证； ii）连接，交于点D，再根据勾股定理求出，进而求出，然后求出，即可求出，接下来过点E作，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出答案； （2）由（1）可知，此时； 当时，根据折叠的性质可知，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 i）略； ii）连接，交于点D， 根据勾股定理求出． 根据折叠的性质得是的垂直平分线，， ∴． 在和中， ， 即， 解得， 根据勾股定理，得， ∴． 过点E作，交于点H， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 根据勾股定理，得； 【小问2详解】 解：或． 由（1）可知， 此时； 当时， 根据折叠的性质可知是的垂直平分线， ∴， 在中，， 即， 解得． 在和中，，， ∴， 解得， 根据勾股定理，得， 所以的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027学年度上期综合练习2 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；完成时间120分钟． 2．请使用答题卡作答． 3．在作答前，请务必将自己的姓名、学号填写在答题卡规定的地方． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 7，24，25 D. 1，，2 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）． A. B. 16 C. 11 D. 6. 若最简二次根式与能合并，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 17 D. 18 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 10. 的算术平方根是______，化简的结果是______． 11. 在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是，那么线段上表示整数的点共有______个． 12. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为______． 13. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解下列方程组 （1）； （2） 16. 为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置用坐标可以表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中． i）表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ii）为了尽可能保护古树，管理部门在以古树B，C，E所成的三角形内种植绿植，那么种植的面积是多少？ 17. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的度数； （2）连接，求线段的长； （3）过点A作于点E，求线段的长． 18. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为______． 20. 已知两个关于，的二元一次方程组和的解相同，那么的值为______． 21. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米，一辆宽为米的卡车装满货物后能够通过该隧道，那么这辆卡车装满货物后的高度最大为______米． 22. 已知，，，…，若（n为正整数），则化简的结果为______，那么代数式的值为______（都用含n的代数式表示） 23. 对于平面上的线段和线段上的M，N两点，给出如下定义：若以，，为边的三角形是以为斜边的直角三角形，则称M，N是线段的“勾股点”． 如图，在中，，，M，N是线段的“勾股点”（点M在点N左侧）．当，时，线段的长度为______；连接，，当，时，线段的长度为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某大模型公司计划部署两种型号分别是和的服务器．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员（人） 每台成本（万元） 4 12 5 16 （1）若该公司有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于该公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台，请问有多少种安装方案？并写出所有符合条件的方案． 25. 在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． （1）【类比归纳】若，则______，______； （2）若，其中，则_____，______． （3）【迁移应用】请根据上面的思想方法，计算：． （4）计算：． 26. 如图，，，．过点A作直线，P为射线上一动点，连接，将沿直线折叠得到． （1）直线与直线m相交于点F． i）证明：； ii）连接，当时，求线段的长； （2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，请求出满足条件的所有的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $