精品解析：广东广州东江外语实验学校2026-2027学年上学期八年级10月作业数学试题

2026-2027学年度第一学期10月限时作业 八年级数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题 1. 下列长度的线段能构成三角形的是（　　　） A. 3，2，1 B. 2，1，1 C. 5，3，4 D. 3，2，6 2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 3. 如图，是的外角，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（ ） A. 10 B. C. D. 7 8. 如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（　　） A. 1cm2 B. 2cm2 C. 8cm2 D. 16cm2 10. 如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 在中，，，则___________． 12. 一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长的取值范围是________________． 13. 如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可） 14. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 15. 如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为____． 16. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____． 三、解答题： 17. 在中，，比大，求、的度数． 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．延长至点，求证：平分； 20. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 21. 如图，在中，是边上的高． （1）作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的面积是20，，求的长度． 22. 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 23. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 24. 如图1，在中，，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．设，． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①，则________． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 25. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期10月限时作业 八年级数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题 1. 下列长度的线段能构成三角形的是（　　　） A. 3，2，1 B. 2，1，1 C. 5，3，4 D. 3，2，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，该选项不符合题意； B、1+1=2，不能构成三角形，该选项不符合题意； C、3+4＞5，能构成三角形，该选项符合题意； D、3+2＜6，不能构成三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 2. 如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形两边之差小于第三边 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键． 3. 如图，是的外角，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴=∠B+∠A ∴∠A=-∠B， ∴∠A=60° 故选：D 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 5. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作一个角等于已知角的方法得到，利用””可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出． 【详解】解：由作图可得，，， ∴， ∴． 综上所述，全等的依据为””． 7. 如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（ ） A. 10 B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12， ∴S△ABC=AB•CE=AC•BD， ∴AC==10， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟知三角形面积公式是解题的关键． 8. 如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长和，交于点，根据三角形内角和定理求出的度数，根据折叠的性质得：，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，得到的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，延长和，交于点， ∵，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理．延长和，交于点，根据三角形内角和定理和折叠的性质求角的度数是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（　　） A. 1cm2 B. 2cm2 C. 8cm2 D. 16cm2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵F是CE中点， ∴△BEF的面积与△BCF的面积相等， ∴S△BEC＝2S△BEF＝8（cm2）， ∵D、E分别为BC、AD的中点， ∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等， ∴S△ABC＝2S△BEC＝16（cm2）． 故选D． 点睛：此题考查了三角形的中线，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 10. 如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，， 由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是，，， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 二、填空题： 11. 在中，，，则___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理并结合题意得出，由此即可得到答案，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：30． 12. 一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是5和11， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 13. 如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可） 【答案】∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD） 【解析】 【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AE＝AC， ∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE； 添加∠B＝∠D，利用“AAS” 可以证明△ABC≌△ADE； 添加∠C＝∠E，利用“ASA” 可以证明△ABC≌△ADE． 故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 14. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 由题意得：, ∴，答：两堵木墙之间的距离为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 15. 如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为____． 【答案】3或7 【解析】 【分析】过点P作PE⊥AO于E，由Rt△POE≌Rt△PON可得 OE=ON=5，然后根据点D与点E的相对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用HL证出Rt△PDE≌Rt△PMN，可得DE=MN，即可求出OD． 【详解】过点P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，PN⊥OB， ， 在Rt△POE和Rt△PON中 ， Rt△POE≌Rt△PON， ∴OE=ON=5， ①若点D在线段上时，连接PD，如下图所示 在Rt△PDE和Rt△PMN中 ∴Rt△PDE≌Rt△PMN， ∴DE=MN， ∵MN=ON－OM=2， ∴DE=2， ∴OD=OE－DE=3， ②若点D在的延长线上时，连接PD，如下图所示 在Rt△PDE和Rt△PMN中 ， ∴Rt△PDE≌Rt△PMN， ∴DE=MN， ∵MN=ON－OM=2， ∴DE=2， ∴OD=OE＋DE=7， 综上所述：OD=3或7． 故答案为：3或7． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 16. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____． 【答案】42°或84°或92°． 【解析】 【分析】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：①42°角是α，则友好角度数为42°； ②42°角是β，则α＝β＝42°， 所以，友好角α＝84°； ③42°角既不是α也不是β， 则α＋β＋42°＝180°， 所以，α＋α＋42°＝180°， 解得α＝92°， 综上所述，友好角度数为42°或84°或92°． 故答案为：42°或84°或92°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 三、解答题： 17. 在中，，比大，求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意可知，，再根据三角形内角和定理列式求解即可． 【详解】解：∵比大， ∴， 根据三角形内角和定理得：， ∴， 解得：， ∴． 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， 在与中 ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】略 19. 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．延长至点，求证：平分； 【答案】证明：过点P作于点F，于点N，于点M， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 【答案】（1） 证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE=CF，AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）68° 【解析】 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠ACB=45°，从而得到∠BAE=23°，再根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BAE=23°，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， ∵∠CAE＝22°， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=23°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+23°=68°． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度不大，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21. 如图，在中，是边上的高． （1）作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的面积是20，，求的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）4 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据尺规基本作图-作已知角的平分线的作图方法作图即可； （2）过点E作于点F，由三角形的面积公式可得，结合角平分线的性质可得．进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作于点F， ∵△BCE的面积是20，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵CE为∠ACB的平分线，， ∴． 22. 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 【答案】 证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∵∠D＝90°， ∴OD⊥CD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理得：∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC． 【解析】 【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了与角平分线相关的证明问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、角平分线的性质、垂直的定义是解题的关键． 23. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）当点Q的运动速度为或时，能够使与全等 （2）经过点P与点Q第一次在的边上相遇 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及一元一次方程的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）分为若时与若时，两种情况分类讨论，求解即可； （3）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解方程可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， D为的中点。 ， 若时， 则，， ， 点，点运动的时间， ； 若时， 则，， 点，点运动的时间， ， 当点Q的运动速度为或时，能够使与全等； 【小问2详解】 设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 经过点与点第一次相遇， ， 经过点P与点Q第一次在的边上相遇． 24. 如图1，在中，，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．设，． （1）求证：． （2）当点D在线段BC上运动时， ①，则________． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明 （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 【答案】 （1）证明：∵，． 又∵， ∴． 又∵， ∴ （2）①130； ②，证明如下： 由（1）已证， ∴． 又∵， ∴．， ∵在中， ∴． （3）．证明如下： 同理（1）可证， ∴． ∵， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到∠BAD=∠CAE，再结合，，即可证明全等； （2）①根据的度数可以求出∠B的度数，因为∠ACB+∠ACE=∠B+∠ACE，根据（1）中全等，可以得到∠B=∠ACE，故2∠B，即可求出答案； ②因为2∠B，而∠B=，故得到180°-，可得+180°； （3）同理（1）可证，可以得到，再根据外角定理，，， 可以得到． 【详解】（1）略 （2）①∵50°，AB=AC ∴∠B==65° ∵AB=AC ∴∠ACB=∠B ∴∠ACB+∠ACE ∴∠B+∠ACE ∵ ∴∠B=∠ACE ∴ ∴ ②略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练全等三角形的证明、性质以及外角定理是解决本题的关键． 25. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $