精品解析：广东佛山市第四中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年八年级上学期第一阶段学业质量检测 数学 第I卷（选择题共30分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 1.4 B. C. D. 2. 下列说法中，能确定位置的是（　　） A. 禅城区魁奇一路 B. 琼花大剧院大剧场排座 C. 距离创意产业园米 D. 祖庙与梁园之间 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，8 D. 5，12，13 5. 下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点和的对称关系是（　　） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 7. 如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点，棋子“仕”在点，则棋子“马”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 10. 意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是___________． 12. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 13. 点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 14. 边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 15. 如图所示，在矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题（第16、17题每题6分，第18、19、20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题10分、第24题11分，共76分） 16. 计算： 17. 计算： （1） （2） 18. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______； （2）若，其中是整数，且，求与的值． 19. 如图，三个顶点都在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________；点到轴的距离为___________； （3）求出的面积． 20. 如图，在中，，，，点D为内一点，且，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形）的面积． 21. 综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b （1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） （2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； （3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 22. 综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 23. 综合探究： 像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题： （1）与________互为有理化因式； （2）化去分母中的根号：________（n为正整数）； （3）比较大小：________；（填“＞”“＜”或“＝”） （4）计算：． 24. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期第一阶段学业质量检测 数学 第I卷（选择题共30分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. 1.4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数），据此判断各选项即可． 【详解】解：A、1.4是有限小数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、，1是整数，属于有理数，不符合题意； D、π是无限不循环小数，属于无理数，符合题意， 故选：D 2. 下列说法中，能确定位置的是（　　） A. 禅城区魁奇一路 B. 琼花大剧院大剧场排座 C. 距离创意产业园米 D. 祖庙与梁园之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位置的确定，根据确定位置的方法逐一判断即可，熟练掌握常见的确定位置的方法：用有序数对确定物体位置；用方向和距离来确定物体的位置． 【详解】解：、禅城区魁奇一路是一条道路，范围宽泛，无法确定具体位置，不符合题意； 、琼花大剧院大剧场排座通过排和座两个精准信息，能唯一确定具体座位位置，符合题意； 、距离创意产业园米只有距离，没有方向，无法确定具体位置，不符合题意； 、祖庙与梁园之间是一个区域范围，无法确定具体位置，不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 4. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，4，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形．分别验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形； 故选：D． 5. 下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，故不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，故不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点和的对称关系是（　　） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握不同对称情况下点的坐标变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特征为横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点和的横坐标相等，纵坐标互为相反数 又∵关于轴对称的点的坐标特征为横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴点和点关于轴对称， 故选：A． 7. 如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点，棋子“仕”在点，则棋子“马”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，先根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而得到棋子“马”所在点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 故棋子“马”所在点的坐标是； 故选D． 8. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标符号判断象限，横坐标为正，纵坐标恒为正，故点在第一象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第一象限． 故选：A． 9. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析： 如图(1)所示： 如图(2)所示： 由于 所以最短路径为10. 故选B. 10. 意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 12. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 13. 点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合勾股定理计算点到原点的距离． 【详解】解：已知点， ∵点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到原点的距离可构造直角三角形，如图所示： ∵两条直角边长分别为点到轴、轴的距离， ∴由勾股定理计算点到原点的距离为． 14. 边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【答案】3或12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 15. 如图所示，在矩形中，，，点为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点E在线段上和的延长线上两种情况，分别根据折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：①如图1，点E在线段上时， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当点E在的延长线上时， ∵， ∴， 设,则：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上，的值为1或9． 故答案为：1或9． 三、解答题（第16、17题每题6分，第18、19、20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题10分、第24题11分，共76分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，利用平方差公式及完全平方公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______； （2）若，其中是整数，且，求与的值． 【答案】（1），； （2）10，． 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得出，则的小数部分是；因为，所以，则的小数部分是； （2）因为，所以，先得出的整数部分是9，的小数部分是，根据，其中是整数，且，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴的整数部分是2， ∴的小数部分是； ∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是2， 则 即的小数部分是； 【小问2详解】 解：∴ ∴ ∴ ∴的整数部分是9， 则 ∴的小数部分是 ∵，其中是整数，且， ∴， ∴ 19. 如图，三个顶点都在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________；点到轴的距离为___________； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2），5 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置确定点的坐标，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出点到轴的距离即可； （3）借助网格求面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知点的坐标为，点到轴的距离为； 【小问3详解】 解：的面积. 20. 如图，在中，，，，点D为内一点，且，． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分（四边形）的面积． 【答案】（1）5 （2）24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其 逆定理是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理逆定理可证为直角三角形，且，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 21. 综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b （1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） （2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； （3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】（1）画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， 【小问2详解】 解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； 【小问3详解】 解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 22. 综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）解：；；；； 证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以．  （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 23. 综合探究： 像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题： （1）与________互为有理化因式； （2）化去分母中的根号：________（n为正整数）； （3）比较大小：________；（填“＞”“＜”或“＝”） （4）计算：． 【答案】（1） （2） （3）＜ （4） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据互为有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理数进行求解即可； （3）将两个式子转化为分数的形式，进行比较即可； （4）利用分母有理化进行化简后，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴与互为有理化因式； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∵， ∴， 即：； 故答案为： 【小问4详解】 ． 24. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $