精品解析：广东省广州市增城区东江外语实验学校2024-2025学年八年级上学期第一次限时训练数学试题

2024学年第一次限时作业 八年级 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列长度的线段能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个正边形的一个外角为，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明需要证明与全等，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（ ） A. 10 B. C. D. 7 8. 如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（　　） A. 1cm2 B. 2cm2 C. 8cm2 D. 16cm2 10. 如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，则___________． 12. 一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长的取值范围是________________． 13. 如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可） 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知与的周长分别为和，则的长等于______． 15. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 16. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____． 二、解答题：本题共9小题，共72分． 17. 如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 18. 在中，，比大，求、的度数． 19. 如图所示，，，，求证：． 20. 如图，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）作出与△ABC关于y轴对称的图形； （2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ； （3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置． 21. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 22. 如图，四边形中，，点O为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）求证：． 23. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 24. 已知，且满足，过A作轴，垂足为B． （1）求A点坐标． （2）如图1，分别以为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图2，过A作轴，垂足为E，点分别为线段上的两个动点（不与端点重合），满足，设，试探究的值是否为定值？如果是，求此定值；如果不是，请说明理由． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一次限时作业 八年级 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列长度的线段能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知． 【详解】解：A．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．，不够组成三角形，故此选项不符合题意； C．，能组成三角形，故此选项符合题意； D．，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 3. 已知一个正边形的一个外角为，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个外角相等，且外角和为，用360除以40即可求解． 【详解】解：∵一个正边形的一个外角为， ∴， 故选B 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角问题，掌握正多边形的外角和等于360°是解题的关键． 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 5. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明需要证明与全等，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及已知角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的判定及已知角的尺规作图是解题的关键；由作图可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（ ） A. 10 B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12， ∴S△ABC=AB•CE=AC•BD， ∴AC==10， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟知三角形面积公式是解题的关键． 8. 如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长和，交于点，根据三角形内角和定理求出的度数，根据折叠的性质得：，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，得到的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，延长和，交于点， ∵，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理．延长和，交于点，根据三角形内角和定理和折叠的性质求角的度数是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（　　） A. 1cm2 B. 2cm2 C. 8cm2 D. 16cm2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵F是CE中点， ∴△BEF的面积与△BCF的面积相等， ∴S△BEC＝2S△BEF＝8（cm2）， ∵D、E分别为BC、AD的中点， ∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等， ∴S△ABC＝2S△BEC＝16（cm2）． 故选D． 点睛：此题考查了三角形的中线，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 10. 如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，， 由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是，，， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，则___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理并结合题意得出，由此即可得到答案，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：30． 12. 一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是5和11， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 13. 如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可） 【答案】∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD） 【解析】 【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AE＝AC， ∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE； 添加∠B＝∠D，利用“AAS” 可以证明△ABC≌△ADE； 添加∠C＝∠E，利用“ASA” 可以证明△ABC≌△ADE． 故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知与的周长分别为和，则的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据是边的垂直平分线，得出，根据 与 的周长分别为 20 和 13，得出 ，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ， ∵与的周长分别为 20 和 13 ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 16. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 _____． 【答案】42°或84°或92°． 【解析】 【分析】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：①42°角是α，则友好角度数为42°； ②42°角是β，则α＝β＝42°， 所以，友好角α＝84°； ③42°角既不是α也不是β， 则α＋β＋42°＝180°， 所以，α＋α＋42°＝180°， 解得α＝92°， 综上所述，友好角度数为42°或84°或92°． 故答案为：42°或84°或92°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 二、解答题：本题共9小题，共72分． 17. 如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，尺规作图；由发射塔到两个城镇M，N的距离相等可知发射塔在线段的垂直平分线上，由发射塔到两条公路和的距离也相等可知发射塔在的角平分线上，故作线段的垂直平分线与的角平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：点P位置如图所示： 18. 在中，，比大，求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意可知，，再根据三角形内角和定理列式求解即可． 【详解】解：∵比大， ∴， 根据三角形内角和定理得：， ∴， 解得：， ∴． 19. 如图所示，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∴， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC． 【详解】略 20. 如图，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）作出与△ABC关于y轴对称的图形； （2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ； （3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置． 【答案】（1）见解析 （2）（﹣1，﹣1） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案； （3）连接，与y轴的交点即为所求点P． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示：（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）； 【小问3详解】 如图所示：连接，与y轴的交点即为所求点P． ， 当三点共线时，△PAC周长最小． 【点睛】本题考查了在画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 【答案】（1）见解析 （2）68° 【解析】 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠ACB=45°，从而得到∠BAE=23°，再根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BAE=23°，即可求解． 【小问1详解】 证明：证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE=CF，AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； 【小问2详解】 解：∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， ∵∠CAE＝22°， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=23°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+23°=68°． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度不大，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 22. 如图，四边形中，，点O为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 23. 如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． （1）当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）当点Q的运动速度为或时，能够使与全等 （2）经过点P与点Q第一次在的边上相遇 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及一元一次方程的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）分为若时与若时，两种情况分类讨论，求解即可； （3）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解方程可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， D为的中点。 ， 若时， 则，， ， 点，点运动的时间， ； 若时， 则，， 点，点运动的时间， ， 当点Q的运动速度为或时，能够使与全等； 【小问2详解】 设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 经过点与点第一次相遇， ， 经过点P与点Q第一次在的边上相遇． 24. 已知，且满足，过A作轴，垂足为B． （1）求A点坐标． （2）如图1，分别以为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图2，过A作轴，垂足为E，点分别为线段上的两个动点（不与端点重合），满足，设，试探究的值是否为定值？如果是，求此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）线段和的数量关系为：，位置关系为：，见解析 （3）是定值，1 【解析】 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性质即可得出答案； （2）连接，易证为等腰直角三角形，得出，再由等边三角形的性质推出，求出，证得，得出，则，即可得出答案； （3）在x轴负半轴取点M，使得，连接，证得，得出，再证得，得出，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：线段和的数量关系为：，位置关系为：，理由如下： 连接，如图1所示： 由（1）得： 轴， ， 为等腰直角三角形， ， 为等边三角形， ， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：是定值，理由如下： 在x轴负半轴取点M，使得，连接，如图2所示： 轴， x轴，x轴轴， ∴四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是定值，定值为1． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $