专题4.5 数据的集中趋势和离散程度 章末复习（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题4.5 数据的集中趋势和离散程度 1.理解算术平均数、加权平均数的概念，掌握计算公式；认识权的三种表达形式（频数、比值、百分比），会用分布式计算（新增），利用各组平均数、样本容量求整体平均数；知道算术平均数是加权平均数权相等的特例，了解平均数易受极端值影响。 2.理解中位数、众数的意义，会对数据排序后求中位数，能识别一组数据众数可能不唯一、也可能没有众数；能在统计表、条形图中读取、计算中位数与众数。 3.理解四分位数（新增）；掌握五数概括，会读、会画简单箱线图（新增），能借助箱线图比较多组数据的集中位置、分布、离散情况；知道四分位数不受极端值影响。 4.理解极差、离差平方和（新增）、方差、标准差的概念，掌握方差计算公式，会计算简单数据的方差、标准差，会用计算器计算方差；理解方差的统计意义：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；了解组内离差平方和最小是合理分组的标准（新增）。 会用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，掌握用样本推断总体的统计思想。 5.经历统计量依次生成的探究链条：只用平均数有局限→引入中位数、众数→用四分位数、箱线图刻画分布→引入方差刻画整体波动；体会不同统计量是从不同角度刻画数据；学会对比极差、方差三种刻画离散程度指标的优缺点；在数据分组、对比决策的活动中，体会位置统计量、数值统计量的不同研究思路，发展运算能力、几何直观。 6.能在真实情境（成绩、薪资、产品检测、比赛打分等）解释各个统计量的实际含义；能根据分析目的，自主选择合适统计量（平均数 / 中位数 / 众数 / 箱线图 / 方差）描述、评价数据；能综合多个统计量说理、做出合理决策；形成完整数据分析意识：不只看单一数值，兼顾集中水平、分布形态、波动大小。 7.感受统计是服务于现实决策的工具；体会统计量没有绝对好坏，只有适不适合研究目标；养成用数据说话、理性分析的习惯。 核心要求：不止会算，还要理解统计量是从不同视角描述数据，能根据研究目的自主选择统计工具；统计说理、决策评价、对比辨析，这是较旧版教材最大亮点；提前渗透百分位数、箱线图、组内离差平方和、数据分组思想，降低高中统计入门门槛，为高中统计做足铺垫。 1.算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.叫作这n个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数，通常用表示，“”读作“x拔”。 平均数反映这组数据的平均水平，表示这一组数据的集中趋势。当任一数据变化时，都会影响算术平均数。 2.加权平均数： 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权（weighted ），也称为权重。 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则，叫做这n个数的加权平均数（weighted average）． 3.分布式计算（教材新增）：分布式计算的思路是先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数。 在大数据的情况下，分布式计算是数据分析的常用方法，可以大大提高工作效率。 4.中位数：将一组数值形式的数据按大小顺序排列，可以把两边的数据个数分成一样多的数叫作这组数据的中位数（median）；如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数。 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，可以用中位数来描述这组数据的集中趋势。 5.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数（mode）。 当一组数据中有较多的重复数据时，可以用众数来描述这组数据的集中趋势。 6.把从小到大排列的一组数据等分成四份，这三个数称为这组数据的四分位数（quartile），分别记为m25，m50，m75，他们属于百分位数（percentile）。通常将m25，m50，m75，分别称为第一四分位数（下四分位数），第二四分位数（中位数），第三四分位数（上四分位数）。 7.第k百分位数mk就是将一组数据按从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于mk的数据至少占k%，大于或等于mk的数据至少占（100-k）%。如下图： 8.求四分位数的步骤：一般地，可通过下列方法获得一组容量为n的数据的四分位数： （1）先将一组数据从小到大排列；（2）计算（或25%a），将结果记为a； ①若a是整数，则第a个和第a+1个数据的平均数是m25； ②若a不是整数，设p为a的整数部分加1，则第p个数据是m25。 用类似的方法，依次求得其他两个四分位数。 9.箱线图：利用一组数据的最大值、最小值及四分位数这5个数据直观描述一组数据分布情况的统计图称为箱线图（box-and-whisker plot）。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 10.离差平方和：在统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares deviation）。 （新教材新增内容） 设n个数据的平均数， 那么这组数据的离差平方和公式为：。 11.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差（variance）。.通常用“”表示，即。 一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大（即波动越大，越不稳定）。 12.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示， 即 13.极差：一组数据中最大值与最小值的差。 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 14.分组的合理性 一般地，有n个数据如果把这些数据分为两组，前m个数据为第一组，后 (n-m) 个数据为第二组，记为的平均数， 为的平均数，那么这些数据分组后各组的离差平方和为： 第一组的离差平方和：； 第二组的离差平方和：； 称为组内离差平方和。（新教材新增内容） 研究表明，当达到最小时，分组较合理，可以将 “组内离差平方和达到最小” 作为数据的分组标准。 题型01 算术平均数的相关运算 【典例】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【变式2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某次考试，A，B，C，D，E五人的平均分是90分．若A，B，C的平均分是86分，B，D，E的平均分是95分，则B的得分是________分． 【变式4】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）校园举行“一二・九”朗诵比赛，选手的最后得分是五位评委打分的平均数．七年一班选派小轩、小宇两位同学参加比赛，五位评委给小轩的打分依次是：分，分，分，分，分；给小宇的五个打分中，有三个均比小轩的多分，有两个均比小轩的少分，小轩最后得分是___________分，小宇最后得分是___________分． 【变式5】（25-26八年级下·浙江·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 题型02 加权平均数的相关运算 【典例】（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，已知小清的故事内容、情感表达、演讲技巧得分（单位：分）分别是，，，若将故事内容、情感表达、演讲技巧按的比计算选手的最终成绩，则小清的最终成绩为__________分． 【变式1】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是____元． 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 【变式3】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【变式4】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 题型03 运用平均数作决策 【典例】（2026·河北张家口·模拟预测）某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 【变式1】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 题型04 中位数与众数的相关运算 【典例】（2026·江苏徐州·二模）在2025赛季“苏超”联赛中，徐州队每场比赛的进球数统计如下：1，1，2，1，1，0，2，2，3，0，1，1关于这组数据，下列说法错误的是（     ） A．中位数是1 B．众数是1和2 C．平均数是 D．极差是3 【变式1】（25-26九年级下·山东济南·自主招生）如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 【变式2】（26-27九年级上·江苏·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【变式4】（25-26八年级下·福建莆田·期末）有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 【变式5】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 题型05 利用中位数与众数作决策 【典例】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）某商店销售，，，，这种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式2】（25-26七年级下·北京石景山·期末）某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（     ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【变式3】（2025·江苏镇江·一模）为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（ ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（26-27八年级上·成都·期中）一个饭店所有员工的月收入情况如下： 员工 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 洗碗工 人数 1 2 2 2 3 8 2 月收入/元 6700 3900 3500 4200 3500 3400 3200 (1)该饭店所有员工月收入的平均数是多少元？月收入的中位数、众数呢？ (2)你觉得用（1）中三个数据中的哪一个来描述该饭店员工的月收入水平更为恰当？说说你的理由． (3)某天，一个员工辞职了，其他员工的月收入没变，而月收入的平均数却增大了．你认为辞职的可能是哪个岗位上的员工？ 【变式5】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩．现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计（单位：分）． 1班：82，80，95，80，90，70，60，80，65，98； 2班：90，70，60，90，90，98，82，90，70，60． 将以上两组数据进行整理，如表1： 表1 班级 平均数 中位数 众数 1班 80 80 2班 80 90 表2 选手 测试成绩/分 理论 操作 答辩 方方 圆圆 根据以上信息，回答下列问题：(1)填空： ， ． (2)方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本班一半以上的同学”，由此可判断他是 班的学生（填“1”或者“2”）． (3)方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高． 题型06 四分位数的相关问题 【典例】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 【变式1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7，在投中球数的这组数据中，第一四分位数为__________． 【变式2】（25-26八年级下·天津和平·期末）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，9，，，，，，，则这组数据的第一四分位数是___________________________，第三四分位数是____________________________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·课后作业）某企业计划通过业务考核的方式，公开招收一批技术工人．共有18人参加技术考核，成绩（单位：分．满分100分）如下： 80 85 89 84 88 90 65 93 77 87 70 81 98 95 78 79 97 69 (1)求和．(2)企业需要根据考核成绩确定一个分数线（单位：分），使得招收人员的成绩在大于或等于a的范围内的约占全体人员的．请确定a的值． 【变式4】（26-27九年级上·广东中山·开学考试）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 题型07 箱线图的相关问题 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某地区2026年1月和2月的空气质量指数（）箱线图如下，值越小，空气质量越好，值超过200，说明达到重度污染．以下是几位同学根据箱线图得到的结论： 嘉琪：该地区2026年2月值的最小值比1月小； 嘉嘉：该地区2026年1月值比2月AQI值集中； 琪琪：该地区2026年1月和2月值的中位数相同． 则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉琪的错误 B．只有嘉嘉的正确 C．只有琪琪的错误 D．只有嘉琪的正确 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（   ）． A．最好成绩是秒 B．平均数是秒 C．中位数是秒 D．有次成绩小于秒 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图是某次测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列判断错误的是（     ） A．本次测试成绩的中位数是分 B．本次测试成绩的最高分是分 C．本次测试成绩的极差（最高分与最低分的差）是分 D．本次测试成绩在分和分的人数共占总人数的 【变式4】（26-27九年级上·广东汕头·开学考试）汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【变式5】（25-26八年级下·云南红河·期末）已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 题型08 四分位数与箱线图综合问题 【典例】（26-27九年级上·河南平顶山·开学考试）【数据收集】某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】(1)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】(2)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某机器人公司对甲，乙两款机器人的使用情况进行调查评分（单位：分），结果分为四个等级：A级：91~100，B级：86~90，C级：81~85，D级：75~80．现从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：其中甲款机器人B级的评分分数为86，87，87，88，88，89，90，90；乙款机器人的评分分数为75，75，76，78，78，82，82，82，82，86，86，90，90，90，94，94，97，97，97，99．根据样本数据，绘制如下图表． 抽取的对甲，乙两款机器人评分的统计表 型号 平均数 众数 中位数 甲 86.5 92 c 乙 86.5 b 86 抽取的对甲，乙两款机器人评分的箱线图 抽取的对甲款机器人评分的扇形统计图 回答下列问题：(1)上述图表中， ， ．(2)求的值． (3)请结合箱线图对这两款机器人的评分情况进行分析（写出两条即可）． 【变式2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，琪琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为_________，乙的平均数为_________； (2)在图2中，B反映的成绩_______________；（填“甲”或“乙”）； (3)直接写出A的较小四分位数和B的较大四分位数，并判断甲和乙谁的成绩比较好，写出理由． 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）某学校将八年级2班学生的视力情况绘制成了箱线图（如图）．观察箱线图并完成下列问题． (1)在视力情况箱线图中，女生视力的中位数__________，上四分位数__________，下四分位数__________； (2)如果八年级2班男生小明的视力是4.6，那么他的视力在男生中处于什么位置； (3)小聪观察发现八年级2班女生与男生视力的下四分位数都是4.3，他判断女生与男生视力低于4.3的人数一样多．你认为小聪的判断是否合理，并说明理由． 【变式4】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校开展“数学说题”活动，有位学生参加说题活动．为了解学生的说题水平并评选出相应的奖次，现将位学生的说题成绩进行统计，并绘制成如下统计表和箱线图（成绩为百分制，用表示）． 位学生说题成绩统计表 组别 具体成绩 位学生说题成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息解决下列问题： (1)这位学生说题成绩的中位数是 ；(2)箱线图中的上四分位数是 ； (3)目前有两种设奖方案，方案一：一等奖人，二等奖人，三等奖人；方案二：一等奖人，二等奖人，三等奖人．如果要使相同奖次学生的成绩尽可能接近，应选择哪种方案进行设奖，并说明理由． 题型09 （组内）离差平方和的相关问题 【典例】（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）某年，，，，等个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 【变式3】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【变式4】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 题型10 方差、标准差、极差相关运算 【典例】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【变式1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）一组数据，0，，3，5的极差是7，那么可能的值的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【变式4】（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 题型11 运用方差、标准差、极差作决策 【典例】（26-27九年级上·广西南宁·月考）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题：(1)_______，_______；(2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【变式1】（2026·河北廊坊·二模）甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，质检员随机各抽取100袋，测得其实际质量并进行统计分析，得到数据如下表所示，则包装糖果的质量更稳定的是____________（填“甲”或“乙”）包装机． 包装机名称 平均质量（g/袋） 方差 甲 乙 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______．(2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲同学的10次测试成绩：160，165，170，175，175，190，175，175，180，185 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 175 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题：(1)表中的值为___________，的值为___________； (2)同学甲和乙中，稳定性更好的是___________，理由是：___________； (3)现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估，先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是___________． 【变式4】（26-27八年级上·成都·期中）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 题型12 多统计量与统计思想综合问题 【典例】（25-26八年级下·北京·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如下统计分析： 【收集数据】七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 【整理数据】将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用表示成绩）：A组：，B组：，C组：，D组：． 其中七年级名学生的比赛成绩众数出现在B组，B组的数据为：，，，，，，，，；八年级名学生的比赛成绩中C组的数据为：，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图： 【分析数据】 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 83 八年级 89 (1)________，________，________； (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由； (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号，估计七、八年级共________名学生获此称号；②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到分，成绩分别为：，，，，．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 40 第二种 第一组人，第二组人 22 你认为哪一种分法更合理？请简述理由． 【变式1】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）某校开展了“青少年知识竞赛”活动，为了解七、八年级学生成绩的分布情况，从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 信息1：七年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 八年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 信息2：七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 a 91 55.3 八年级 85.2 86 b 62.1 信息3：七年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：________，________，________； (2)该校七、八年级各1200名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩优秀的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级对知识掌握更好？请说明理由．（从两个不同的角度） 【变式2】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】(1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，可以看出，环，_________环，可以看出_________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，_________，可以看出，_________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填_________环，②处应填_________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数_________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】(3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据(1)如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] (2)如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策(3)请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 【巩固训练】 1．（2026·广东茂名·一模）如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（     ） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）某鞋店对40名顾客所购鞋号统计如表，则该店应多进的鞋号为（     ） 鞋号 频数 A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）在投篮训练中，小明每天练习投篮30个，为分析投篮练习效果，将连续14天每天的投进个数绘制成箱线图，如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．练习中投进最多的个数比投进最少的个数多8个 B．第三四分位数是28 C．中位数是25 D．第一四分位数是23 5.（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 6．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 7．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 8．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）近年来，人工智能快速迭代，在人们的生活中发挥的作用越来越大．某测评小组针对“千问”和“豆包”两款AI助手开展用户满意度评分调研，随机各抽取20名用户的评分（满分100分），进行数据整理、描述与分析工作．满意度得分用分表示，分为四个等级：A．非常满意（）；B．满意（）；C．基本满意（）；D．不太满意（）． 下面给出了部分信息： a．对“千问”20份评分数据为：99，98，97，97，94，93，90，90，89，86，85，85，85，85，78，78，75，74，70，62． b．对“豆包”仅给出B组“满意”（）包含的所有数据：90，90，88，87，87，87，86，84． c．对“豆包”助手评分人数占比统计图如图： d．两款AI评分统计量如下表： AI名称 平均数 中位数 众数 千问 85.5 85.5 豆包 85.5 87 根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中 ， ， ；(2)在此次测验中，有2000人对“豆包”助手进行评分．请通过计算估计其中对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数． (3)如果要给这两款AI助手写一份测评结论，你会推荐哪一款？请说明理由（写出一条即可）． 9．（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 10．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数；(3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【强化训练】 1．（2026·河北唐山·二模）某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 3．（2025·黑龙江牡丹江·二模）一组数据，，，，，，，中有唯一的众数，平均数是5，则这组数据的中位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·辽宁沈阳·一模）小明同学对数据17，36，50，6□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 5．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（2026·浙江温州·模拟预测）冬奥会单板滑雪比赛中，6位裁判分别给出某位选手的原始评分，然后再从这6个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到4个有效评分．那么4个有效评分与6个原始评分相比，这两组数据中一定不变的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 7．（25-26八年级下·广东·期中）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 8．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某校组织七、八年级学生去铜官窑研学，开展了传统文化教育活动．在活动结束后进行了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各a人的竞赛成绩，将抽查的两个年级成绩用x表示，并将成绩分为四个等级（A：；B：；C：；D：），其中八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，83，81．在对成绩进一步整理、描述和分析后，绘制了如下有待完善的统计图表： 七、八年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 b 86 根据以上信息，解答下列问题：(1)请补全七、八年级竞赛成绩分布直方图； (2)从七、八年级每个年级中随机抽取的人数__________，七、八年级竞赛成绩统计表中的__________； (3)该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生都参加竞赛，估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的学生人数共有__________人； (4)请你从平均数和方差两个统计量中任选一个，比较该校七、八年级对传统文化知识的掌握情况． 9．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）某学校开展了“防溺水”知识竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请你直接写出条形统计图中________，七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是________（单位：分），八年级抽取学生的竞赛成绩的众数是________（单位：分）； (2)该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ (3)根据以上数据，你认为该学校七，八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期末）甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 数据的集中趋势和离散程度 1.理解算术平均数、加权平均数的概念，掌握计算公式；认识权的三种表达形式（频数、比值、百分比），会用分布式计算（新增），利用各组平均数、样本容量求整体平均数；知道算术平均数是加权平均数权相等的特例，了解平均数易受极端值影响。 2.理解中位数、众数的意义，会对数据排序后求中位数，能识别一组数据众数可能不唯一、也可能没有众数；能在统计表、条形图中读取、计算中位数与众数。 3.理解四分位数（新增）；掌握五数概括，会读、会画简单箱线图（新增），能借助箱线图比较多组数据的集中位置、分布、离散情况；知道四分位数不受极端值影响。 4.理解极差、离差平方和（新增）、方差、标准差的概念，掌握方差计算公式，会计算简单数据的方差、标准差，会用计算器计算方差；理解方差的统计意义：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；了解组内离差平方和最小是合理分组的标准（新增）。 会用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，掌握用样本推断总体的统计思想。 5.经历统计量依次生成的探究链条：只用平均数有局限→引入中位数、众数→用四分位数、箱线图刻画分布→引入方差刻画整体波动；体会不同统计量是从不同角度刻画数据；学会对比极差、方差三种刻画离散程度指标的优缺点；在数据分组、对比决策的活动中，体会位置统计量、数值统计量的不同研究思路，发展运算能力、几何直观。 6.能在真实情境（成绩、薪资、产品检测、比赛打分等）解释各个统计量的实际含义；能根据分析目的，自主选择合适统计量（平均数 / 中位数 / 众数 / 箱线图 / 方差）描述、评价数据；能综合多个统计量说理、做出合理决策；形成完整数据分析意识：不只看单一数值，兼顾集中水平、分布形态、波动大小。 7.感受统计是服务于现实决策的工具；体会统计量没有绝对好坏，只有适不适合研究目标；养成用数据说话、理性分析的习惯。 核心要求：不止会算，还要理解统计量是从不同视角描述数据，能根据研究目的自主选择统计工具；统计说理、决策评价、对比辨析，这是较旧版教材最大亮点；提前渗透百分位数、箱线图、组内离差平方和、数据分组思想，降低高中统计入门门槛，为高中统计做足铺垫。 1.算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.叫作这n个数的算术平均数（arithmetic mean），简称平均数，通常用表示，“”读作“x拔”。 平均数反映这组数据的平均水平，表示这一组数据的集中趋势。当任一数据变化时，都会影响算术平均数。 2.加权平均数： 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权（weighted ），也称为权重。 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则，叫做这n个数的加权平均数（weighted average）． 3.分布式计算（教材新增）：分布式计算的思路是先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数。 在大数据的情况下，分布式计算是数据分析的常用方法，可以大大提高工作效率。 4.中位数：将一组数值形式的数据按大小顺序排列，可以把两边的数据个数分成一样多的数叫作这组数据的中位数（median）；如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数。 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，可以用中位数来描述这组数据的集中趋势。 5.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数（mode）。 当一组数据中有较多的重复数据时，可以用众数来描述这组数据的集中趋势。 6.把从小到大排列的一组数据等分成四份，这三个数称为这组数据的四分位数（quartile），分别记为m25，m50，m75，他们属于百分位数（percentile）。通常将m25，m50，m75，分别称为第一四分位数（下四分位数），第二四分位数（中位数），第三四分位数（上四分位数）。 7.第k百分位数mk就是将一组数据按从小到大排列后，将数据分成两部分：小于或等于mk的数据至少占k%，大于或等于mk的数据至少占（100-k）%。如下图： 8.求四分位数的步骤：一般地，可通过下列方法获得一组容量为n的数据的四分位数： （1）先将一组数据从小到大排列；（2）计算（或25%a），将结果记为a； ①若a是整数，则第a个和第a+1个数据的平均数是m25； ②若a不是整数，设p为a的整数部分加1，则第p个数据是m25。 用类似的方法，依次求得其他两个四分位数。 9.箱线图：利用一组数据的最大值、最小值及四分位数这5个数据直观描述一组数据分布情况的统计图称为箱线图（box-and-whisker plot）。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 10.离差平方和：在统计学中，将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares deviation）。 （新教材新增内容） 设n个数据的平均数， 那么这组数据的离差平方和公式为：。 11.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差（variance）。.通常用“”表示，即。 一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大（即波动越大，越不稳定）。 12.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示， 即 13.极差：一组数据中最大值与最小值的差。 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。 14.分组的合理性 一般地，有n个数据如果把这些数据分为两组，前m个数据为第一组，后 (n-m) 个数据为第二组，记为的平均数， 为的平均数，那么这些数据分组后各组的离差平方和为： 第一组的离差平方和：； 第二组的离差平方和：； 称为组内离差平方和。（新教材新增内容） 研究表明，当达到最小时，分组较合理，可以将 “组内离差平方和达到最小” 作为数据的分组标准。 题型01 算术平均数的相关运算 【典例】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）现有一组数据6，3，9，8，10，12，5，11，则这组数据的平均数是________________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，小军、小华、小亮的投球成绩点主要分布在线的左侧， ∴他们的平均成绩明显小于，而小伟的投球成绩点分布在线的两侧，且偏离程度较小， ∴小伟的平均成绩最接近． 【变式2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如果数据、、、、的平均数是，那么的值是________． 【答案】7 【详解】解：由题意得：，解得：． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某次考试，A，B，C，D，E五人的平均分是90分．若A，B，C的平均分是86分，B，D，E的平均分是95分，则B的得分是________分． 【答案】93 【详解】解： （分） 答：B的得分是93分．故答案为：93． 【变式4】（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）校园举行“一二・九”朗诵比赛，选手的最后得分是五位评委打分的平均数．七年一班选派小轩、小宇两位同学参加比赛，五位评委给小轩的打分依次是：分，分，分，分，分；给小宇的五个打分中，有三个均比小轩的多分，有两个均比小轩的少分，小轩最后得分是___________分，小宇最后得分是___________分． 【答案】 【详解】解：小轩的总得分为（分），则小轩的最后得分为（分）， ∵给小宇的打分中，三个比小轩对应分数多分，两个比小轩对应分数少分， ∴小宇的总得分比小轩多分，∴小宇的总得分为（分）， ∴小宇的最后得分为（分）． 【变式5】（25-26八年级下·浙江·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【详解】解：，，，，的平均数是5，， ． 题型02 加权平均数的相关运算 【典例】（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，已知小清的故事内容、情感表达、演讲技巧得分（单位：分）分别是，，，若将故事内容、情感表达、演讲技巧按的比计算选手的最终成绩，则小清的最终成绩为__________分． 【答案】 【详解】解：故事内容、情感表达、演讲技巧的权重比为，总权重为， 小清的最终成绩为． 【变式1】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是____元． 【答案】2.25 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是：（元） 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 【答案】 【详解】解：∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 【变式3】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）如图是用雷达图展示的小智参与趣味数学活动过程中，探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分情况，依次按进行综合测评，则他的综合得分为（     ） A．10分 B．9分 C．8分 D．6.4分 【答案】C 【详解】解： 分，∴他的综合得分为8分． 【变式4】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：，解得，， 则此次招聘中面试的权重较大，故答案为：面试． 题型03 运用平均数作决策 【典例】（2026·河北张家口·模拟预测）某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如图1： (1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？ (2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、丙三人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生． 【详解】（1）解：“品行规范”的平均数为：（分）， ∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分；“学习规范”的平均分为：（分）， ∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分；∴两项均满足的为乙同学，∴应推选乙． (2)解：甲投票分数为：（分），乙投票分数为：（分）， 丙投票分数为：（分）． ∵“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按的比例确定最后成绩， ∴（分），（分）， （分），∴甲将会被推选为三好学生． 【变式1】（25-26八年级下·云南德宏·期末）为了推动人工智能技术的发展与普及，激发青少年对人工智能的兴趣和探索热情，学校组织了“人工智能创新大赛”．下表是八年级甲、乙两个班的各项成绩（单位：分）． 参赛班级 编程竞赛 智能机器人设计 算法挑战 甲 85 89 93 乙 91 85 88 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的平均成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？ (2)如果学校对编程竞赛、智能机器人设计、算法挑战成绩按照的比确定，请通过计算说明甲、乙两班谁的最终成绩更好？ 【答案】(1)解：∵各项成绩同等重要， ∴甲班的平均成绩： 乙班的平均成绩：， ∵，∴从他们的平均成绩看，甲班的成绩更好． (2)解：甲班的最终成绩为：， 乙班的最终成绩为：， ∵，∴从他们的最终成绩看，乙班的成绩更好． 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩(单位：分)如表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 85 90 乙 92 83 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，谁将被录用？ (2)如果公司认为笔试成绩比面试成绩更重要，笔试和面试按的比例计算总成绩，谁将被录用？ 【答案】(1)两人平均分相同，均可被录用(2)乙将被录用 【详解】（1）解：∵笔试和面试同等重要， ∴甲平均分为：，乙平均分为：，∴两人平均分相同，均可被录用； （2）解：∵笔试和面试按的比例计算总成绩， ∴甲总成绩为：，乙总成绩为：，∵∴乙将被录用． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 【答案】(1)丙 (2)乙(3)第（2）问的计算方法比较合理；乙 【详解】（1）解：丙． （分），（分），（分）． ，丙为优胜者． （2）解：甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 丙的平均成绩为（分）． 丙的平均成绩＜甲的平均成绩＜乙的平均成绩，乙为优胜者． （3）解：加权平均数能够体现权重的重要性，有利于人才的选拔， 所以第（2）问的计算方法比较合理，我认为要选乙去参加比赛． 题型04 中位数与众数的相关运算 【典例】（2026·江苏徐州·二模）在2025赛季“苏超”联赛中，徐州队每场比赛的进球数统计如下：1，1，2，1，1，0，2，2，3，0，1，1关于这组数据，下列说法错误的是（     ） A．中位数是1 B．众数是1和2 C．平均数是 D．极差是3 【答案】B 【详解】解：将原数据从小到大排序得：0，0，1，1，1，1，1，1，2，2，2，3，共个数据． A、第、个数据均为，故中位数为，本选项说法正确． B、数据出现次数最多，故众数只有，本选项说法错误． C、平均数为，本选项说法正确． D、这组数据最大值为，最小值为，极差为，本选项说法正确． 【变式1】（25-26九年级下·山东济南·自主招生）如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 【答案】4，4 【详解】解：中位数是将数据按从小到大排列，第20个和第21个数据的平均数，为， 众数是出现次数最多的数，为4． 【变式2】（26-27九年级上·江苏·单元复习）从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【答案】22 【详解】解：由题可知，这五个数字为1，2，3，8，8，则这5个数的和为． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期末）若一组数据，，，的众数和中位数相等，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵这组数据存在众数，又∵原有数据各出现一次，∴或或， 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，符合题意； 当时，将数据从小到大排序得：，，，， 此时众数为，中位数为，，不合题意，舍去；综上，． 【变式4】（25-26八年级下·福建莆田·期末）有一组从小到大排列的数据：，下列结论中，正确的是（     ） A．这组数据的平均数比中位数大 B．这组数据的中位数不能确定 C．这组数据的众数是 D．这组数据的平均数可能是 【答案】A 【详解】解：∵这组数据从小到大排列为，，，， ∴，这组数据共个数，中位数是排序后第个数，∴中位数为 A、这组数据的平均数为，，，即平均数一定比中位数大，故此选项正确；B、中位数可以确定为，故此选项错误 ； C、当时，这组数据为，众数为和，故此选项错误 ； D、若平均数为，则数据总和为，计算得，与矛盾，因此平均数不可能是，故此选项错误． 【变式5】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 其中小陈同学投中了4个，下列判断：①可能有学生投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和不可能为42；④m的值可能为5．所有正确推断的序号是________． 【答案】①③④ 【详解】解：设七个数据从小到大排列为 ， ∵中位数为6，数据个数为奇数，∴ ，∵众数为7，∴7的出现次数最多，且7只能出现在中，最多出现3次；已知最小值为2，且存在数据4，每人最多投中10个. ① 举例：数据为，满足所有条件，因此可能有学生投中9个，①正确. ② 举例：数据为，满足所有条件，此时投中6个的学生有2人，因此②错误. ③ 假设七个数据之和为42，分情况讨论：若7出现3次，可得，即； ∵，且数据含2和4，因此最大为，不可能；若7出现2次，要保证7是唯一众数，其他数据出现次数不能超过1次；最大和为，不符合题意；因此七个数据之和不可能为42，③正确. ④ 举例：数据为，总和为，平均数，满足所有条件，因此的值可能为5，④正确.综上，正确推断的序号是①③④. 题型05 利用中位数与众数作决策 【典例】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【详解】解：∵13位同学所得分数互不相同，前6名获奖，将13个分数按从小到大排序后，中位数是排序后的第7个分数，∴中位数及中位数之后共有7个分数，包含全部6个获奖分数， 该同学将自己的成绩与中位数比较，若成绩大于中位数，则一定获奖，否则不能获奖． 因此只需知道这13名同学成绩的中位数即可判断能否获奖． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）某商店销售，，，，这种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：∵商店经理要决定多进哪种上衣，核心是知道哪种尺码的上衣销量最高，也就是找这组销量数据中对应出现次数最多的情况，又∵众数的定义是一组数据中出现次数最多的数，符合这一需求； 平均数反映平均销量，中位数反映中间水平，方差反映数据波动程度，都不符合实际需求， ∴应选择众数作为参考依据． 【变式2】（25-26七年级下·北京石景山·期末）某书店拟推出由7本短篇绘本组成的亲子阅读套装产品．现有10本候选绘本，其页数数据如图所示．已知序号为1到5号的绘本已确定入选，且这5本绘本页数的中位数为40页．6号绘本从甲、乙、丙中挑选，7号绘本从丁、戊中挑选，使最终选定的7本绘本页数的中位数仍为40页，可以选择（     ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】C 【详解】解：由图像可知，要使选定7本绘本的页数的中位数仍为40， 则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择40页以上的一本绘本和40页以下的一本绘本， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊，只能选择丙、丁． 【变式3】（2025·江苏镇江·一模）为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（ ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：页和2页的人数和为14，中位数没有改变，总人数不能超过27， ∵第二次抽查的同学，最少的练了3页，第二次最多抽查：（人）；故选：B． 【变式4】（26-27八年级上·成都·期中）一个饭店所有员工的月收入情况如下： 员工 经理 领班 迎宾 厨师 厨师助理 服务员 洗碗工 人数 1 2 2 2 3 8 2 月收入/元 6700 3900 3500 4200 3500 3400 3200 (1)该饭店所有员工月收入的平均数是多少元？月收入的中位数、众数呢？ (2)你觉得用（1）中三个数据中的哪一个来描述该饭店员工的月收入水平更为恰当？说说你的理由． (3)某天，一个员工辞职了，其他员工的月收入没变，而月收入的平均数却增大了．你认为辞职的可能是哪个岗位上的员工？ 【答案】(1)平均数为元，中位数为元，众数为元． (2)用中位数（或众数）更为恰当． 理由：该饭店存在经理月收入这样的极端高值，平均数受极端值影响较大，无法反映普通员工的月收入水平， 中位数或众数不受极端值影响，更能体现大多数员工的月收入实际情况． (3)辞职的可能是迎宾、厨师助理、服务员、洗碗工岗位上的员工 【详解】（1）解：总人数为（人）， 总收入为（元） ∴该饭店所有员工月收入的平均数是（元） 将所有员工月收入从小到大排列后，第10个数据为3400元，第11个数据为3500元 ∴中位数为（元） ∵月收入3400元的员工有8人，出现次数最多，∴众数为3400元； （2）略 （3）解：原月收入平均数为元．若辞职员工的月收入低于原平均数，剩余员工的月收入平均数会增大， 迎宾、厨师助理、服务员、洗碗工岗位上的员工的月收入均低于元， ∴这些岗位的员工辞职都可能使平均数增大， ∴辞职的可能是迎宾、厨师助理、服务员、洗碗工岗位上的员工． 【变式5】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩．现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计（单位：分）． 1班：82，80，95，80，90，70，60，80，65，98； 2班：90，70，60，90，90，98，82，90，70，60． 将以上两组数据进行整理，如表1： 表1 班级 平均数 中位数 众数 1班 80 80 2班 80 90 表2 选手 测试成绩/分 理论 操作 答辩 方方 圆圆 根据以上信息，回答下列问题：(1)填空： ， ． (2)方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本班一半以上的同学”，由此可判断他是 班的学生（填“1”或者“2”）． (3)方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高． 【答案】(1)，(2)(3)圆圆的总评成绩更高 【详解】（1）解：班成绩中出现了次，出现次数最多，因此众数； 将班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数，因此； （2）解：班的中位数为分，班的中位数为分，方方理论成绩为分，满足，， 方方的成绩超过本班一半以上同学，可判断他是班的学生； （3）解：方方的总评成绩为：（分）， 圆圆的总评成绩为：（分）， ，圆圆的总评成绩更高． 题型06 四分位数的相关问题 【典例】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【详解】解：∵数据已经按从小到大排列，样本容量， 第一种方法：计算位置，为整数，根据分位数计算规则，上四分位数为第项与第项数据的平均数，第项数据是，第项数据是，∴ 第二种方法：从小到大排列，后4个数据为：，，，，∴上四分位数 【变式1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7，在投中球数的这组数据中，第一四分位数为__________． 【答案】 【详解】解法一：将原数据从小到大排列得：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，数据总个数为， 计算第一四分位数位置得 ,位置为整数， 因此第一四分位数为第个数据和第个数据的平均数，第一四分位数为． 解法二：将原数据从小到大排列得：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 选取前6个数据：6，6，6，7，7，7，再求这6个数据的中位数：，第一四分位数为． 【变式2】（25-26八年级下·天津和平·期末）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，9，，，，，，，则这组数据的第一四分位数是___________________________，第三四分位数是____________________________． 【答案】 【详解】解：将12个幸福指数按从小到大顺序排列，得， 解法一：第一四分位数为前6个数据的中位数，∴第一四分位数为， 第三四分位数为后6个数据的中位数，∴第三四分位数为； 解法二：∵，∴第一四分位数为 ∵，∴第三四分位数为． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·课后作业）某企业计划通过业务考核的方式，公开招收一批技术工人．共有18人参加技术考核，成绩（单位：分．满分100分）如下： 80 85 89 84 88 90 65 93 77 87 70 81 98 95 78 79 97 69 (1)求和．(2)企业需要根据考核成绩确定一个分数线（单位：分），使得招收人员的成绩在大于或等于a的范围内的约占全体人员的．请确定a的值． 【答案】(1)，(2)或88 【详解】（1）解：解法一：18人的成绩从小到大排列为： 65，69，70，77，78，79，80，81，84，85，87，88，89，90，93，95，97，98， 第一四分位数为前9个数据的中位数，∴第一四分位数； 第三四分位数为后9个数据的中位数，∴第三四分位数； 解法二：18人的成绩从小到大排列为： 65，69，70，77，78，79，80，81，84，85，87，88，89，90，93，95，97，98， ∵，∴第一四分位数为第5个数，即； ∵，∴第三四分位数为第14个数，即； （2）解：∵招收人员的成绩在大于或等于a的范围内的约占全体人员的，∴， ∵大于等于87的有8人，约占；大于等于88的有7人，约占，均符合约占的要求， ∴或88． 【变式4】（26-27九年级上·广东中山·开学考试）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 【答案】C 【详解】解：根据表格数据，可得视力为4.8和4.9的总人数为：（人）， 视力为5.0所占人数最多为15，即众数为5.0， 中位数是第20和第21个数据的平均数，累计已知的前序人数，第20、21个数据所在的视力分组受遮挡数据影响．上四分位数为． 上四分位数是排序后第75%位置的数值，对应第30位和第31位数据的平均值． 第24~38位均为视力5.0，∴第30、31位的数值一定是5.0，上四分位数为5.0． 下四分位数是第10个数据，累计前序人数，这个位置的数据所在分组受遮挡数据影响． ∴仍能根据目前已知的数据分析确定的有众数和上四分位数． 题型07 箱线图的相关问题 【典例】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）某地区2026年1月和2月的空气质量指数（）箱线图如下，值越小，空气质量越好，值超过200，说明达到重度污染．以下是几位同学根据箱线图得到的结论： 嘉琪：该地区2026年2月值的最小值比1月小； 嘉嘉：该地区2026年1月值比2月AQI值集中； 琪琪：该地区2026年1月和2月值的中位数相同． 则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉琪的错误 B．只有嘉嘉的正确 C．只有琪琪的错误 D．只有嘉琪的正确 【答案】C 【详解】解：根据箱线图得：该地区2026年2月值的最小值比1月小；故嘉琪正确； 该地区2026年1月值比2月值集中；故嘉嘉正确； 该地区2026年1月和2月值的中位数不相同，故琪琪错误． 综上可知，只有琪琪的错误． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）有一组被墨水污染的数据：，，，，，★，★，，，，，，其箱线图如图所示．则这组数据的第一四分位数和平均数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：由题意得，这组数据的第一四分位数为4，最小数为3，最大的数为18 ∴这两个被污染的数为3和18， ∴这组数据的平均数为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）下图是八年级某位同学最近次米跑步测试成绩的箱线图（其中每一次测试成绩均不相同），下列说法错误的是（   ）． A．最好成绩是秒 B．平均数是秒 C．中位数是秒 D．有次成绩小于秒 【答案】B 【详解】解：选项A：箱线图最下端代表最小值（跑步用时越少成绩越好），最小值为秒，即最好成绩是秒，A正确． 选项B：中位数是，但平均数受每一个数据的大小影响，箱线图只能给出五个关键值，无法推出平均数等于，平均数不一定是，故B错误． 选项C：一共个数据，中位数是第个数据，箱线图中间的横线对应的值为秒，因此中位数是秒，C正确． 选项D：箱线图中，，故下四分位数（秒）为第个数据，因此有次成绩小于秒，D正确． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图是某次测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列判断错误的是（     ） A．本次测试成绩的中位数是分 B．本次测试成绩的最高分是分 C．本次测试成绩的极差（最高分与最低分的差）是分 D．本次测试成绩在分和分的人数共占总人数的 【答案】C 【详解】解：选项A：箱线图中箱体中间线对应中位数，中位数是分，判断正确，不符合题意； 选项B：箱线图最上端对应最高分，最高分是分，判断正确，不符合题意； 选项C：极差最高分最低分分，不是分，判断错误，符合题意； 选项D：下四分位数的含义是的数据小于它，上四分位数的含义是的数据大于它， 因此分占总人数，分占总人数，合计占，判断正确，不符合题意． 【变式4】（26-27九年级上·广东汕头·开学考试）汕头市某区教育局为了解甲、乙两所初中学校八年级学生的体育模拟测试成绩（满分120分），分别从两校各随机抽取了相同人数的学生，绘制了成绩的箱线图如图所示．则下列说法错误的是（     ） A．这次考试中两校均没有满分的 B．甲校成绩的上四分位数大于乙校成绩的下四分位数 C．甲校的成绩比乙校的成绩波动更大 D．甲校成绩的下四分位数与乙校成绩的中位数相同 【答案】D 【详解】解：A、两校最高分均未达120分，故无满分，正确； B、甲校上四分位数约为90，乙校下四分位数约为80，，正确； C、甲校成绩范围更大，波动更明显，正确；D、箱线图显示甲校下四分位数约为60，乙校中位数约为90，甲校下四分位数与乙校中位数不同，故选项D错误． 【变式5】（25-26八年级下·云南红河·期末）已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（     ） A．班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 【答案】D 【详解】解：根据箱线图的上四分位数为箱子上边界对应的值，下四分位数为箱子下边界对应的值，中位数为箱子内部的横线对应的值，最大值、最小值为上下侧虚线的端点对应的值，分析各选项． 选项，根据箱线图，班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意； 选项，班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图，应是班的成绩比班的成绩更集中，故符合题意． 题型08 四分位数与箱线图综合问题 【典例】（26-27九年级上·河南平顶山·开学考试）【数据收集】某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】(1)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】(2)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【详解】（1）解法一：∵选手的数据从小到大排列为，∴， ∵选手B的数据从小到大排列为，∴， 解法二：∵选手的数据从小到大排列为，，∴， ∵选手B的数据从小到大排列为，，∴， ∴选手A射击成绩的中位数选手B射击成绩的中位数. (2)解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的成绩波动小，更加稳定． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某机器人公司对甲，乙两款机器人的使用情况进行调查评分（单位：分），结果分为四个等级：A级：91~100，B级：86~90，C级：81~85，D级：75~80．现从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：其中甲款机器人B级的评分分数为86，87，87，88，88，89，90，90；乙款机器人的评分分数为75，75，76，78，78，82，82，82，82，86，86，90，90，90，94，94，97，97，97，99．根据样本数据，绘制如下图表． 抽取的对甲，乙两款机器人评分的统计表 型号 平均数 众数 中位数 甲 86.5 92 c 乙 86.5 b 86 抽取的对甲，乙两款机器人评分的箱线图 抽取的对甲款机器人评分的扇形统计图 回答下列问题：(1)上述图表中， ， ．(2)求的值． (3)请结合箱线图对这两款机器人的评分情况进行分析（写出两条即可）． 【答案】(1)20；82(2)87 (3)①甲款机器人评分中位数高于乙款机器人评分中位数，说明甲款机器人用户评分的中等水平比乙款高； ②甲款机器人评分的箱线图箱子比乙款短，数据更集中，说明甲款机器人整体口碑好，用户评价高．（答案不唯一，言之有理即可） 【详解】（1）解：甲款机器人B级的评分个数为个， ，； 乙款机器人的评分分数中，出现的次数最多，则众数分； （2）解：甲款共20个样本，中位数是第10，11个数的平均值． A级数量：份，B级8份，评分从高到低第10，11个数是87，87，； （3）略 【变式2】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，琪琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)图1中甲的众数为_________，乙的平均数为_________； (2)在图2中，B反映的成绩_______________；（填“甲”或“乙”）； (3)直接写出A的较小四分位数和B的较大四分位数，并判断甲和乙谁的成绩比较好，写出理由． 【答案】(1)7，8 (2)甲 (3)解法一：根据（2）可知A反映乙的成绩，B反映甲的成绩， A的较小四分位数是乙成绩前半部分的中位数，为； B的较大四分位数是甲成绩后半部分的中位数，为； 又甲的平均数为，甲的平均数小于乙的平均数，故乙的成绩比较好． 解法二：根据（2）可知A反映乙的成绩，B反映甲的成绩，共有12个数据，，， A的较小四分位数是乙成绩的第3个和第4个数据的平均数，即； B的较大四分位数是甲成绩的第9和第10个数据的平均数，即； 又甲的平均数为，甲的平均数小于乙的平均数，故乙的成绩比较好． 【详解】（1）解：甲的成绩中，7环出现的次数最多，故众数为7． 乙的成绩的平均数为． （2）解：甲、乙两人射击训练的次数均为12次，成绩按从小到大排列，中位数均是第6次和第7次的平均数，由图1可知，甲成绩的第6次和第7次均为7环，故甲成绩的中位数为， 乙成绩的第6次和第7次均为8环，故乙成绩的中位数为， 所以乙成绩的中位数大于甲成绩的中位数， 由图2可知，A的中位数高于B的中位数，∴A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； （3）略 【变式3】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）某学校将八年级2班学生的视力情况绘制成了箱线图（如图）．观察箱线图并完成下列问题． (1)在视力情况箱线图中，女生视力的中位数__________，上四分位数__________，下四分位数__________； (2)如果八年级2班男生小明的视力是4.6，那么他的视力在男生中处于什么位置； (3)小聪观察发现八年级2班女生与男生视力的下四分位数都是4.3，他判断女生与男生视力低于4.3的人数一样多．你认为小聪的判断是否合理，并说明理由． 【答案】(1)4.5；4.85；4.3 (2)方法一：中下水平位置； 方法二：处于中位数和下四分位数之间或． (3)不合理， 理由：虽然女生的视力低于，男生的视力低于4.3，但是女生人数与男生人数不一定相等，所以视力低于4.3的女生人数与男生人数不一定相等． 【详解】（1）解：在视力情况箱线图中，女生视力的中位数， 上四分位数，下四分位数； （2）解：方法一：小明的视力在男生中比的男生视力好，但比的男生视力差，处于中下水平位置．（方法一侧重于文字语言定性表达，核心词是“中下”） 方法二：八年级2班男生视力的中位数为4.85，下四分位数为4.3，而小明的视力处于中位数和下四分位数之间；（方法二侧重于数学语言定量表达） （3）略． 【变式4】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校开展“数学说题”活动，有位学生参加说题活动．为了解学生的说题水平并评选出相应的奖次，现将位学生的说题成绩进行统计，并绘制成如下统计表和箱线图（成绩为百分制，用表示）． 位学生说题成绩统计表 组别 具体成绩 位学生说题成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息解决下列问题： (1)这位学生说题成绩的中位数是 ； (2)箱线图中的上四分位数是 ； (3)目前有两种设奖方案，方案一：一等奖人，二等奖人，三等奖人；方案二：一等奖人，二等奖人，三等奖人．如果要使相同奖次学生的成绩尽可能接近，应选择哪种方案进行设奖，并说明理由． 【答案】(1)中位数为 (2) (3)方案一：，    方案二：，         ∵， ∴应选择方案一 【详解】（1）解： 先把位学生的成绩从小到大排列：， 个数据的中位数是第个数据，第个数据为，因此中位数是； （2）解：先把位学生的成绩从小到大排列，结果为：， 情况一：∵中位数是从小到大数第个数据，∴中位数， ∴后半部分的数据，后半部分数据的中位数即上四分位数为； 情况二：∵共有个数据，，∴上四分位数是从小到大第个数据，∴上四分位数； （3）略 题型09 （组内）离差平方和的相关问题 【典例】（26-27九年级上·陕西延安·开学考试）教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，前组数据为、后组数据为， 计算第一组的平均数：，第一组的离差平方和：； 计算第二组的平均数：，第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：，最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）某年，，，，等个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 【答案】C 【详解】解：将个城市的人均生活用电量从小到大排序，得， 四个间隔对应的组内离差平方和分别为，，，， 为最小值，对应第个间隔的分组. 第个间隔位于与之间，即分组为和，与选项C一致． 【变式3】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 【变式4】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 题型10 方差、标准差、极差相关运算 【典例】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法正确的是（   ） A．平均数是3 B．中位数是4 C．标准差是 D．方差是3 【答案】A 【详解】解： A：平均数为，正确； B：将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，中位数为中间的数3，而非4，错误； C：方差计算为，标准差为，而非，错误； D：由上述计算，方差为2，而非3，错误．故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）小明查看了连续5日的天气预报中当天最高气温情况，分别是24，21，24，26，25（单位：）．则这5日中，最高气温的极差是__________． 【答案】5 【详解】解：最高气温的极差为． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）一组数据，0，，3，5的极差是7，那么可能的值的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵极差的定义为一组数据中最大值与最小值的差，已知该组数据极差为，分情况讨论： 若为这组数据的最大值，则最小值为，可得：，解得； 若为这组数据的最小值，则最大值为，可得：，解得； 若，则该组数据极差为，不符合题意，舍去；因此的可能值共有个 【变式3】（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项，∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得：，∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：，∴C选项说法正确，不符题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得：新平均数， 新方差， ∵，∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 【变式4】（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 【答案】7（答案不唯一） 【详解】解：这射击员知道前4次的成绩为：7，9，8，6．此时平均数为：， 此时方差为： 当第5次射击成绩为时，∴五次平均数为， ∴， 当第5次射击成绩为时，∴此时平均数为； ， ∴当第5次射击成绩为或环时，满足条件．故答案为：7（答案不唯一）． 题型11 运用方差、标准差、极差作决策 【典例】（26-27九年级上·广西南宁·月考）智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100； 乙模型：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 85 60 75 90 95 100 乙模型 83.5 70 82.5 90 100 65.25 根据以上信息回答下列问题：(1)_______，_______；(2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】(1)80，145(2)解：补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： (3)解：选择乙模型，理由如下：两模型平均数相近，但乙模型的方差较小，由箱线图看箱体更小，所以波动更小，更稳定； 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数略高，上四分位数和中位数都较高，整体高分较多． 【详解】（1）解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：70，75，80，80，80，85，85，90，90，100，共10个数， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有5个数据，最中间数据是第3个数据为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3个数据，则，即； （2）解：略； （3）解：略． 【变式1】（2026·河北廊坊·二模）甲、乙两台包装机同时包装每袋质量为的糖果，质检员随机各抽取100袋，测得其实际质量并进行统计分析，得到数据如下表所示，则包装糖果的质量更稳定的是____________（填“甲”或“乙”）包装机． 包装机名称 平均质量（g/袋） 方差 甲 乙 【答案】乙 【详解】解：∵甲包装机和乙包装机包装糖果的平均质量相同，而乙包装机的包装糖果质量的方差小于甲包装机的包装糖果质量的方差，∴包装糖果的质量更稳定的是乙包装机． 【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 (1)直接写出表中，，的值：______，______，______．(2)求出的值； (3)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)86，85，85(2)d的值为(3)八（2）班前5名同学的成绩较好，理由如下， 由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定， 八（2）班前5名同学的成绩较好． 【详解】（1）解：八（2）班的平均分（分）； 八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数；85出现了2次，次数最多，所以众数； （2）解：八（1）班的方差 ，则的值为； （3）略 【变式3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲同学的10次测试成绩：160，165，170，175，175，190，175，175，180，185 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 175 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题：(1)表中的值为___________，的值为___________； (2)同学甲和乙中，稳定性更好的是___________，理由是：___________； (3)现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估，先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是___________． 【答案】(1)；(2)乙；乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强(3)乙 【详解】（1）解：甲同学的10次测试成绩：160，165，170，175，175，190，175，175，180，185， 则甲同学的平均数为，故； 则方差为， 故． （2）解：∵甲的方差为，乙的方差为，其中，∴同学甲和乙中，稳定性更好的是乙， 理由是：乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强． （3）解：甲，乙，丙平均数均为，丁只有，先淘汰丁； ∵四分位距上四分位数下四分位数，∴箱线图箱体宽度就是四分位距，箱体越窄四分位距越小， 由箱线图可知，乙的箱体宽度最小，也就是乙的四分位距最小，选乙， 故代表班级进行跳绳比赛的同学是乙． 【变式4】（26-27八年级上·成都·期中）某篮球运动员在对阵A队和B队各四场比赛中技术统计如下： 场次 对阵A队 对阵B队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 22 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 29 15 0 第三场 24 14 2 17 12 4 第四场 26 10 5 22 7 2 (1)该运动员在对阵A队和B队各四场比赛中，平均每场得分是多少？ (2)请你从得分的角度分析，该运动员在与A，B两队的比赛中，对阵哪一个队的发挥比较稳定？ (3)如果规定“综合得分”为平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较该运动员在对阵哪一个队时表现更好． 【答案】(1)对阵A队平均每场得分分，对阵B队平均每场得分分 (2)解：计算两队得分的方差： 对阵A队得分的方差 ， 对阵B队得分的方差 ， ∵， ∴该运动员对阵A队时发挥更稳定； 综上所述，该运动员对阵A队时得分更高，且发挥更稳定； (3)解：计算对阵A队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次） ， 对阵A队综合得分：， 计算对阵B队的平均篮板与平均失误： 平均篮板：（个），平均失误：（次）， 对阵B队综合得分：， ∵ ， ∴该运动员在对阵B队时表现更好． 【详解】（1） 解：对阵A队的平均每场得分为 （分）， 对阵B队的平均每场得分为 （分）； （2）略 （3）略 题型12 多统计量与统计思想综合问题 【典例】（25-26八年级下·北京·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如下统计分析： 【收集数据】七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 【整理数据】将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用表示成绩）：A组：，B组：，C组：，D组：． 其中七年级名学生的比赛成绩众数出现在B组，B组的数据为：，，，，，，，，；八年级名学生的比赛成绩中C组的数据为：，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图： 【分析数据】 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 83 八年级 89 (1)________，________，________； (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由； (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号，估计七、八年级共________名学生获此称号；②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到分，成绩分别为：，，，，．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 40 第二种 第一组人，第二组人 22 你认为哪一种分法更合理？请简述理由． 【答案】(1)74；；10 (2)解：八年级劳动技能比赛的总体成绩较好，八年级劳动技能比赛的总体成绩的众数，中位数都高于七年级，且方差小于七年级，根据方差越小，越稳定，得到八年级劳动技能比赛的总体成绩较好； (3)①550；②选择第二种分法 【详解】（1）解：根据题意，得74出现的次数最多，故（分）， 根据题意，得中位数是第10个，第11个数据的平均数，故（分）， 根据题意，得B组占比为：， 故，解得； （2）略 （3）①解：根据题意，得（人）． ②解：第一种分法成绩的组内离差平方和为40；第二种分法成绩的组内离差平方和为22； 第二种分法成绩的组内离差平方和最小，故选择第二种分法； 【变式1】（25-26八年级下·河南濮阳·期末）某校开展了“青少年知识竞赛”活动，为了解七、八年级学生成绩的分布情况，从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 信息1：七年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 八年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 信息2：七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 a 91 55.3 八年级 85.2 86 b 62.1 信息3：七年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：________，________，________； (2)该校七、八年级各1200名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩优秀的学生共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级对知识掌握更好？请说明理由．（从两个不同的角度） 【答案】(1)87；86；40；(2)840人 (3)七年级对知识掌握更好．理由如下： ∵七、八年级成绩的平均数相等，但七年级成绩的中位数、众数均大于八年级， ∴七年级对知识掌握更好． 【详解】（1）解：七年级A组有人，B组有人，C组7人， 将C组数据从小到大排列为81，83，84，86，86，88，89，第10，11个数据分别为86，88， 所以七年级的中位数，七年级D组人数为（人）， 所以，则； （2）解：（人），答：估计两个年级成绩优秀的学生共有840人； （3）略 【变式2】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】(1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，可以看出，环，_________环，可以看出_________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，_________，可以看出，_________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填_________环，②处应填_________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数_________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】(3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B；(2)7.5；9；10；； (3)选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 【详解】（1）解：由图1得，A的成绩为，，，，，，，，的成绩为，，，，，，，，∴（环）， （环），∴的平均成绩略高； ， ∴的方差为，的成绩更稳定． （2）解：把的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， ∴中位数为（环），下四分位数为（环） 把的成绩从小到大排列为：，，，，，，，， ∴中位数为（环），上四分位数为（环）， ∴①处应填环，②处应填环，③处应填环； ∵A，B两名选手成绩的中位数相等，∴基于四分位数或箱线图，可以判断A，B的中位数相等． （3）略 【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据 (1)如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] (2)如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策(3)请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 【答案】(1)①；②(2)，， (3)选择乙模型， 理由：甲乙平均准确率相同，都是，但是乙的方差小于甲的方差，乙的准确率波动更小，更稳定；从四分位数、箱线图看，乙的最小值高于甲的最小值，乙的下四分位数也高于甲的下四分位数，乙低分更少，整体表现更稳定可靠． 【详解】（1）①解：乙模型测试的平均准确率为； ②解：乙模型测试的准确率的方差为． （2）解：甲模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 乙模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 方法一：中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数，则， 第一四分位数为前个数据的中位数，即第个数据，则， 第三四分位数为后个数据的中位数，即第个数据，则． 方法二：，则第一四分位数为第个数据，； ，则中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数，； ，则第三四分位数为第个数据，． （3）略 【巩固训练】 1．（2026·广东茂名·一模）如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（     ） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156 【答案】B 【详解】解：将5个票价数据从小到大排序，得： 计算平均数：选项A正确； 计算中位数：5个数据的中位数是排序后第3个数据，即中位数为，选项B错误； 计算众数：数据中出现次数最多 众数为，选项C正确； 计算极差：极差最大值最小值选项D正确． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）某鞋店对40名顾客所购鞋号统计如表，则该店应多进的鞋号为（     ） 鞋号 频数 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由统计表可知，各鞋号对应的频数分别为：号频数，号频数，号频数，号频数，号频数， ∵，号鞋的频数最大，说明购买号鞋的人数最多，∴该店应多进号鞋． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25，∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐，∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）在投篮训练中，小明每天练习投篮30个，为分析投篮练习效果，将连续14天每天的投进个数绘制成箱线图，如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．练习中投进最多的个数比投进最少的个数多8个 B．第三四分位数是28 C．中位数是25 D．第一四分位数是23 【答案】D 【详解】解：A、由箱线图可知：最大值为29，最小值为21，（个）， 则练习中投进最多的个数比投进最少的个数多8个，正确； B、箱体的上边缘为28，第三四分位数是28，正确；C、箱体内部的线是25，中位数是25，正确； D、箱体的下边缘为24，第一四分位数是24，则第一四分位数是23，表述错误． 5.（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得，即，解得． 6．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 【答案】/ 【详解】解：由题意得，，则，，，，的平均数为： ．故答案为：． 7．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【详解】解： 方法1：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， ∵本组数据总个数为，上四分位数即分位数， ∴计算位置得， ∵不是整数，向上取整得，∴上四分位数为排序后第个数据，即． 方法2：这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， 中位数为，∵后半段：，∴上四分位数为后半段数据的中位数． 8．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）近年来，人工智能快速迭代，在人们的生活中发挥的作用越来越大．某测评小组针对“千问”和“豆包”两款AI助手开展用户满意度评分调研，随机各抽取20名用户的评分（满分100分），进行数据整理、描述与分析工作．满意度得分用分表示，分为四个等级：A．非常满意（）；B．满意（）；C．基本满意（）；D．不太满意（）． 下面给出了部分信息： a．对“千问”20份评分数据为：99，98，97，97，94，93，90，90，89，86，85，85，85，85，78，78，75，74，70，62． b．对“豆包”仅给出B组“满意”（）包含的所有数据：90，90，88，87，87，87，86，84． c．对“豆包”助手评分人数占比统计图如图： d．两款AI评分统计量如下表： AI名称 平均数 中位数 众数 千问 85.5 85.5 豆包 85.5 87 根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中 ， ， ； (2)在此次测验中，有2000人对“豆包”助手进行评分．请通过计算估计其中对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数． (3)如果要给这两款AI助手写一份测评结论，你会推荐哪一款？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)，，(2)1200人 (3)我会推荐“豆包”，理由如下：“豆包”和“千问”的平均数相同，但“豆包”的中位数及众数都比“千问”的更高，说明用户更喜欢“豆包” 【详解】（1）解：由统计图可知：对“豆包”的A组人数为人，总共有20个数据，则中位数为第10和第11个数据之和的平均数，即为； 从“千问”的20个调查数据来看，其中85分出现了4次，是次数最多的，所以； 对“豆包”的B组“满意”（）所占百分比为； （2）解：由题意得：（人）； 答：对“豆包”助手非常满意及满意（）的用户总人数为1200人． （3）略 9．（25-26八年级下·青海玉树·期末）某校兴趣小组在科学实践活动中，在学校的甲、乙两块试验田中各随机抽取了16棵西红柿植株，并统计了每棵植株上西红柿的个数，将其数据整理如下（单位：个）： 甲试验田：28，29，34，36，37，39，41，46，48，50，53，54，55，55，63，64； 乙试验田：38，42，44，45，47，48，50，51，53，54，55，60，60，61，62，62． (1)请分别求出甲、乙两块试验田中16棵植株上西红柿个数的第一四分位数、中位数、第三四分位数； (2)根据（1）中的数据结果标注在如图所示的箱线图中． 【答案】(1)甲试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是36.5个，中位数是47个，第三四分位数是个；乙试验田16棵植株上西红柿个数的第一四分位数是46个，中位数是52个，第三四分位数是60个 (2) 【详解】（1）解：甲数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； 乙数据中第8个和第9个数据分别为，故中位数为， 四分位数的两种求法： 法一：前8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第一四分位数为， 后8个数据中，第4个和第5个数据分别为，故第三四分位数为； 法二：，为整数，故第一四分位数为第4个和第5个数据的平均数为， ，为整数，故第三四分位数为第12个和第13个数据的平均数为； （2）略 10．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数；(3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【答案】(1)13；12(2)11件 (3)解：应选中位数作为日生产件数的定额． 理由：一共有10名工人，即为6人． 中位数为 12 件，日产量大于或等于 12 件的工人有人，恰好占工人总数的． 若选择平均数11件作为定额，虽然也有6人可以完成，但平均数易受极端数据影响，不适合作为生产任务定额； 若选择众数 13 件作为定额，只有 4 人可以完成，达不到的要求．因此应选中位数； 【详解】（1）解：∵13出现了4次，出现的次数最多，∴众数是13； 把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，排在第5个数和第6个数的平均数即为中位数，则中位数是． （2）解：10名工人的日均生产件数的平均数为（件）， 答：10名工人的日均生产件数的平均数为11件． （3）略 【强化训练】 1．（2026·河北唐山·二模）某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】解：∵7是这一天加工零件数的中位数，由题意可知：将数据排序，第个数据为7， ∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：， ∴x的最小值是：，故选C． 2．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图为某地区2026年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区3月有重度污染天气 B．该地区3月的值比2月集中 C．该地区3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染，∴该地区年月有重度污染天气，故选项说法正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项说法错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故C选项说法正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项说法正确． 3．（2025·黑龙江牡丹江·二模）一组数据，，，，，，，中有唯一的众数，平均数是5，则这组数据的中位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平均数是5，∴，∴， ∵有唯一的众数，∴众数可以为2或3，当众数为3时，a，b分别为3，8， 从小到大排列后位于正中间的两个数均为3，此时中位数为； 当众数为2时，a，b分别为2，9，从小到大排列后位于正中间的两个数均为3， 此时中位数为；综上所述，中位数为3．故选：C 4．（2026·辽宁沈阳·一模）小明同学对数据17，36，50，6□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 【答案】B 【详解】解：由题意可把这组数据从小到大排序为17，36，50，52，6□， ∴5个数据的中位数是排序后的第3个数，即中位数为，与被涂污数字无关；平均数需要计算所有数据的和，方差与每个数据的大小有关，极差为最大数减最小数，最大数为6□，因此平均数、方差、极差都与被涂污数字有关． 5．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵，∴选项A的总离差平方和最小. 6．（2026·浙江温州·模拟预测）冬奥会单板滑雪比赛中，6位裁判分别给出某位选手的原始评分，然后再从这6个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到4个有效评分．那么4个有效评分与6个原始评分相比，这两组数据中一定不变的统计量是（     ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】解：设6个原始评分从小到大排列为：，原始数据的中位数为，去掉最低分和最高分后，剩余4个有效评分为，其中位数为：，与原始中位数相等； 众数、平均数、方差均可通过举反例证明可能发生变化： 取评分1，2，2，3，3，3，原始众数为3，去掉1和3后有效评分的众数为2和3； 取评分1，2，3，4，5，10，原始平均数为，去掉1和10后有效评分的平均数为； 方差随数据集合和平均数的变化也可能改变． 综上，4个有效评分与6个原始评分相比，这两组数据中一定不变的统计量是中位数． 7．（25-26八年级下·广东·期中）若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 【答案】 【详解】∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3， ∴，，∴a，b，c，4，d，e的平均数是， ．故答案为：． 8．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某校组织七、八年级学生去铜官窑研学，开展了传统文化教育活动．在活动结束后进行了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各a人的竞赛成绩，将抽查的两个年级成绩用x表示，并将成绩分为四个等级（A：；B：；C：；D：），其中八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，83，81．在对成绩进一步整理、描述和分析后，绘制了如下有待完善的统计图表： 七、八年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 b 86 根据以上信息，解答下列问题：(1)请补全七、八年级竞赛成绩分布直方图； (2)从七、八年级每个年级中随机抽取的人数__________，七、八年级竞赛成绩统计表中的__________； (3)该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生都参加竞赛，估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的学生人数共有__________人； (4)请你从平均数和方差两个统计量中任选一个，比较该校七、八年级对传统文化知识的掌握情况． 【答案】(1)如图所示： (2)40；86 (3)780 (4)示例一：从平均数看，八年级平均数是85，七年级平均数是80，八年级平均成绩更高，说明八年级学生整体掌握情况更好． 示例二：从方差看，八年级方差是，七年级方差是，八年级方差更小，说明八年级成绩更稳定． 【详解】（1）由扇形图可知，八年级A等级有16人，占，所以． 七年级B等级人数为：．补全统计图：略． （2）由扇形图可知，八年级A等级有16人，占，所以． 八年级B等级成绩从小到大排序为：81，82，83，84，84，86，86，86，86，89． 因为八年级共有40个数据，所以中位数是第20、21个数据的平均数． C等级有8人，D等级有6人， 所以第20、21个数据都在B等级，分别是86和86．． （3）七年级A等级人数估计：人．八年级A等级人数估计：人． 所以两个年级A等级总人数约为：人． （4）示例二：从平均数看，八年级平均数是85，七年级平均数是80，八年级平均成绩更高，说明八年级学生整体掌握情况更好． 示例二：从方差看，八年级方差是32．9，七年级方差是45．7，八年级方差更小，说明八年级成绩更稳定． 9．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）某学校开展了“防溺水”知识竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图： 七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请你直接写出条形统计图中________，七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是________（单位：分），八年级抽取学生的竞赛成绩的众数是________（单位：分）； (2)该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ (3)根据以上数据，你认为该学校七，八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)6，86，93 (2)154人 (3)八年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵八年级的众数大于七年级的众数∴八年级此次竞赛成绩较好 或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下： ∵七年级的中位数大于八年级的中位数∴七年级此次竞赛成绩较好 【详解】（1）解：七年级抽取20名学生的竞赛成绩中B组人数； ∵共有20个数据∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数 ∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为； ∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多 ∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93； （2）解：（人）， ∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人； （3）略 10．（25-26八年级下·广东珠海·期末）甲、乙两组的体育测试成绩（百分制）如下： 甲：60，65，70，80，88，92，93，96，98，100； 乙：70，92，80，85，96，93，，71，93，94． 某同学计算了两组成绩的四分位数，如下表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 (1)根据甲组数据，求甲组成绩的四分位数：________，________，________． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组测试成绩的箱线图，并观察图中乙组测试成绩的箱线图求的值． (3)根据对箱线图和四分位数的理解，你认为哪组成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)70，90，96 (2)； (3)（甲、乙必须二选一，理由合理即可） 如：①甲组成绩更好，因为甲组最高分比乙组最高分高；②乙组成绩更好，因为甲乙两组成绩的中位数相同，甲组成绩的组内差距比乙组更大 【详解】（1）解：方法一：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，65，70，80，88，92，93，96，98，100；分为两组，第一四分位数即为前一组的中位数，即 第二四分位数即为整组数据的中位数，即第5，6个数据的平均数，得； 第三四分位数即为后一组的中位数，即； 方法二：，3为大于2.5的最小整数， 所以，第一四分位数即为，，5为整数， 所以，第二四分位数即为，，8为大于7.5的最小整数， 所以，第三四分位数即为； （2）解：将已知数据从小到大排列：70，71，80，85，92，93，93，94，96， 由乙组箱线图可知中位数是90，，解得； （3）略 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $