专题07 反比例函数章末复习（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义以“概念-图象-性质-应用”为主线，通过表格对比k>0与k<0时反比例函数的图象位置、增减性及对称性，结合几何意义框架图（过双曲线上点作坐标轴垂线得矩形面积为|k|），系统梳理反比例函数的定义、解析式确定及与一次函数综合等知识脉络，突出k的几何意义和实际问题中等量关系（如行程vt=s、压强p=F/S）等重难点。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“反比例函数的实际应用”专题中，通过桔槔汲水工具的力学问题（拉力F与距离l成反比例，表格数据求函数关系），引导学生从实际情境抽象出数学模型，培养模型意识和抽象能力。每个题型配有典例及变式训练，如k的几何意义题型结合图形计算面积，强化几何直观，基础学生可掌握性质应用，优秀学生能突破综合题，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题07 反比例函数 章末复习 1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，确定比例系数k，会求反比例函数解析式。 2.会画反比例函数的图象，知道反比例函数图象是双曲线；掌握k>0、k<0时图象的位置、增减性、对称性；理解k的几何意义（过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|）。 3.能够利用反比例函数的图象和性质比较函数值大小、求参数、解决与一次函数的综合问题。 4.能分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数解决工程、面积、行程等实际问题，能结合实际写出自变量取值范围。 5.经历从实际问题抽象出反比例函数概念的过程，发展数学抽象素养；经历画图象、观察、猜想、归纳性质的过程，体会数形结合思想。 1.一般地，如果两个变量x和y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么就说这两个变量具有反比例关系。 2.反比例函数一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中x是自变量，y是x的函数。反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 3.反比例函数的图象与性质： 反比例函数（k≠0）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k>0） （k<0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三象限 二、四象限 函数变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 4.反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变，如下图所示。 5.反比例函数相关的实际问题中的核心等量关系 行程：vt=s（其中：v为速度，t为时间，s为路程，s为定值）； 销售：xy=m（其中：x为单价，y为数量，m为总价，m为定值）； 压强公式：，（其中：p为压强，S为受力面积，F为压力，F为定值）； 杠杆原理：F1 L1 = F2L2（其中：F1为动力， L1为动力臂， F2为阻力，L2为阻力臂）； 矩形面积：ab=S（其中：a为长，b为宽，S为面积，S为定值）； 圆锥体积：，（其中：S为圆锥的底面积，h为圆锥的高，V为圆锥的体积，V为定值）。 题型01 反比例函数的定义（概念辨析与含参问题） 【典例】（25-26九年级下·广东广州·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知只有是反比例函数；选项A、B、D不满足反比例函数的定义，不是反比例函数． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·校考期中）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵是反比例函数，∴，即有，反比例系数是，自变量取值范围是， 故答案为：，，． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数的比例系数是____ ． 【答案】-2 【详解】解：反比例函数的比例系数是-2故答案为：-2． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数(2)，是反比例函数 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 题型02 求反比例函数自变量（函数值）（含范围） 【典例】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知反比例函数，这个函数的比例系数和自变量的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴这个函数的比例系数为，自变量的取值范围是．故选：A 【变式1】（24-25九年级上·江苏·随堂练习）反比例函数中，比例系数是________，当时，________． 【答案】 【详解】解：∵，∴反比例函数的比例系数是， 当时，；故答案为：，． 【变式2】（2026·吉林长春·一模）函数中，自变量的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x>1 D．x≥1 【答案】B 【详解】根据题意得：x-1≠0解得x≠1，故选B. 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，的值为，故答案为：2． 题型03 反比例函数图象上点的特征 【典例】（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和，∵，∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称，∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数，∴．故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【答案】D 【详解】解：∵，观察图象得：，∴k的值可能是5．故选：D 【变式2】（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 【答案】 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上，∴，解得，∴点． 将点代入反比例函数关系式，得，解得， ∴反比例函数解析式为．故答案为：． ∴，把代入得，解得．故答案为： 题型04 一次函数与反比例函数图象综合 【典例】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意； 反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当时，，双曲线过一，三象限，直线过一，二，三象限； 当时，，双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项C；故选C． 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：根据新定义，得，画图如下： ，故选：C． 题型05 反比例函数过象限问题 【典例】（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴，∴， ∵数轴上点表示的数为，∴点一定在的左侧． 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象经过点，，， 反比例函数的图象在第一、三象限．故选：A． 【变式2】（25-26九年级下·广西崇左·月考）双曲线位于第二、第四象限，则下面说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵双曲线位于第二、第四象限，∴，故C说法错误，D说法正确 ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，而A、B两个选项都没有指明是在同一个象限内，故都错误． 【变式3】（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴比例系数，解不等式得． 题型06 反比例函数的增减性运用（比大小、参数问题等） 【典例】（25-26八年级下·山东济南·期中）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得；∵，∴． 【变式1】（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算：把代入得 把代入得把代入得∵∴． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且， ∴时，随着的增大而增大，∴，当时，点在第二象限，；点、在第四象限，，此时满足，∴的取值范围是． 【变式3】（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 【答案】 或 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小.分两种情况讨论: 情况1：点在不同象限；若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组 解得，即该情况解集为； 情况2：点在同一象限 若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即， 解得，解得，所以. 综上，的取值范围是 或 . 题型07 反比例函数图象与性质综合问题 【典例】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意； B项：∵点在函数的图象上，∴，即， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵，∴，即点在函数图象上， 对于点，将代入函数中，可得， 又∵，∴，则，即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意； C项：在反比例函数中，， 根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意； D项：∵，在反比例函数中， 当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小， D项说法错误，符合题意，综上，说法错误的是D． 【变式1】（25-26九年级上·四川德阳·期中）已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 【答案】D 【详解】解：∵函数图象经过点，∴ 将坐标代入，得，∴ ． 选项A，当，反比例函数图象分布在第一、三象限，故选项A错误； 选项B，当，在每个象限内，随的增大而减小，故选项B错误； 选项C，若点在上，需要满足．由于，故点在此函数图像上，选项C错误；选项D，当，反比例函数图象分布在第一、三象限，故当时，必有，选项D正确． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【详解】解：，反比例函数的图象经过点，故选项A正确，不合题意； 当时，，故选项B正确，不合题意； ，反比例函数图象的两个分支位于第一，三象限， 函数的图象经过第二，四象限， 该反比例函数图象与函数的图象没有交点，故选项C正确，不合题意； 点在该反比例函数的图象上，， ，点不在其图象上，故选项D错误，符合题意．故选：D． 题型08 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值；(2)当时，求的值；(3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：将点代入得，解得，∴的值为； （2）解：由（）得，，∴反比例函数解析式为，当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小，∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·月考）反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 令，代入解析式得，解得， 当时，由于，恒成立，此时对应的自变量， 当时，由，结合在每一象限内，随的增大而减小的性质，可得， 综上，自变量的取值范围是或． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，画图见详解(2)或 【详解】（1）解：把点代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为，补充其函数图象如下： （2）解：当时，，由图象得当时，， 当时，，当，且时，或． 题型09 反比例函数k的几何意义 【典例】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，所以矩形的面积． 【变式1】11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、，轴，为轴上一点，轴， 点、点到直线的距离相等，，，， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第四象限， ，，由图可知，，解得． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称，∴两点关于原点对称， ∴为的中点，∴，作，∵，∴， ∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点若的面积为3，则的值为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：如图，过点M作于点E，设交于点F， ∵矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上， 又∵点D在线段上，函数的图象经过点D，∴设，则， ∵，∴，∴，∵点M为矩形的对称中心，∴． ∵函数的图象经过点D及矩形的对称中心M， ∴，， ∴，∴，即， ∴，即，∵的面积为3，∴， ∵，∴，∴． 题型10 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，(2)(3)或． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ．解得，．反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上，解得一次函数解析式为：． （2）解：在一次函数中，令，则， ．． （3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接． (1)求k和a的值；(2)求的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)和a的值分别为，2；(2)4；(3)或． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数解析式得：即 又点在反比例函数图像上和a的值分别为，2 （2）反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B； 又点C是点A关于y轴的对称点 （3）反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或 【变式2】（2026·江西九江·一模）如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 (1)求反比例函数的解析式及点的坐标(2)求的面积 【答案】(1)反比例函数的解析式为，(2)的面积为2 【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴， 设反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的解析式为； 对于直线，当时，，解得，∴， ∵过点作轴的垂线交反比例函数于点，∴点的横坐标为，∴，∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为，把、代入得： ，解得，∴直线的解析式为， 当时，，解得，∴, ∵，∴，∴的面积． 【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1）解：∵，四边形为正方形，∴，∴正方形的边长为， ∵正方形的顶点为原点，点在轴的负半轴上，∴，， ∵点是的中点，点是的中点，∴、， ∵双曲线过点，∴，∴双曲线的解析式为； ∵直线过点、， ∴，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：设，∵的面积为，∴，解得：， 将代入，得：，此时点的坐标为； 将代入，得：，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型11 正比例函数与反比例函数交点坐标（对称性） 【典例】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为，∴另一个交点的坐标为，故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误；故选：D． 题型12 根据一次函数与反比例函数值的大小求自变量范围 【典例】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点．(1)求的值；(2)观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，，(2)或 【详解】（1）解：由题意，将代入和中， 得，解得，∴，， 把代入中，得解得，； （2）解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是或． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求的值及点B的坐标；(2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：反比例函数的图像过点，，解得， 反比例函数的图象关于原点中心对称，点A与点B关于原点对称，； （2）解：结合函数图象可知，此时． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)直接写出的解集． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，． ∴反比例函数的解析式为；把代入，则．∴点． 把，代入，得，解得∴一次函数的解析式为． （2）解：，，由图象可知，不等式的解集为或． 题型13 反比例函数的实际应用-（力学、行程等问题） 【典例】（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)120(2)见解析(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 【变式1】（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】(1)，图像见解析(2)点左侧所挂物体所受的重力为(3) 【详解】（1）解：由题意，得：，∴，如图， （2）解：设重力为，∴，解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过，∴，解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点，∴，综上：． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得，∴k＝60000，∴． （2）解：已知且， ∵，∴随的增大而减小， 当时，；当时，；∴． （3）解：由已知得，∴，∴． 答：容器原来的底面积为75． 题型14 反比例函数的实际应用-（电学、光学、热力学问题） 【典例】（2025·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点，∴， ∴与之间的反比例函数为，当时，,∵，， 【变式1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）人体能够承受的安全电压通常不高于，电功率（单位：）与电压（单位：）、电阻（单位：）之间的公式为，已知人体电阻约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电压__________（填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电压． 【答案】已 【详解】把，代入中得，， ，已超过人体能承受的安全电压． 【变式2】（2026·福建厦门·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（） 波长（） 则当时，电磁波的波长为________． 【答案】 【详解】解：由表中数据可知，，，，，， 波长与频率的乘积为定值，即与满足反比例函数关系． 设波长关于频率的函数解析式为． 把，代入上式中得：，；当时， 【变式3】（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题：(1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵f是l的反比例函数．∴设 依题意，把代入，得，解得，∴； （2）解：由（1）得出f与l之间的函数表达式为； 依题意，把代入，得， 即吸管长度为时，对应的振动频率为， （3）解：依题意，唱名对应的吸管的振动频率是， 由（1）得出f与l之间的函数表达式为；则，∴， 即在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是． 题型15 反比例函数的实际应用-（化学、生物、其他问题） 【典例】（2026·湖南娄底·一模）在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 【答案】5 【详解】解：设满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）的反比例函数关系为，该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天，可得， 即满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y与行驶时间x的反比例函数关系为， 若平均每天行驶，可将代入，得，解得（天），即可行驶5天． 【变式1】（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式；(2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】(1)(2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【详解】（1）解：设（），将代入上式，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ，时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 【变式2】（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象：(2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】(1)图见解析(2)(3)①丙；②乙，60 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：由图可知：当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时，(2)(3)5 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上，∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上，∴， 当时，该厂的利润在一次函数上，∴， ∴，故答案为：． （3）解：对于，当时，，对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月，∴该厂资金紧张期共有5个月． 【变式4】（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；(2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 【答案】(1)，(2)等级为良好，理由见解析(3)（平方米） 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，，∴， ∴P关于x的函数解析式为． （2）解：当时，，，∴． ∵，∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． （3）解：令，则，解得，∴， 覆盖面积：（平方米）． 题型16 反比例函数的新定义问题 【典例】（2022·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：设点的坐标为，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论： 情况：当时，的坐标为，已知， 因此可得，，解得，即， ∵点在上，∴将代入解析式得， 此时，，满足，因此符合题意； 情况：当时，的坐标为，已知， 因此可得，，解得，即， ∵点在上，∴将代入解析式得，解得， 此时，，满足，因此符合题意； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（25-26九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 【答案】 【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①设点在上，坐标为，则点在上，坐标为， 纵坐标相等，，解得：， 存在点和，关于轴对称，具有对偶关系，故①错误； ②由①可知对偶值为6，故②正确； ③对偶值为，则点在上，纵坐标为，，解得：， 点的坐标为；点与关于轴对称，点的坐标为在上， ，解得：，故③错误； ④设点在上，点坐标为，其中， 点与关于轴对称，，在上，，即 ，即，当时，,当时，， 的取值范围为，故④正确．综上，正确结论为，共个．故选：B． 【变式3】（25-26九年级下·河南郑州·月考）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 【答案】(1)，作图见解析(2) 【详解】（1）解：设第二象限的图象上任一点为，则，即， 设其关于直线对称的点为，∴，， ∴，∴，即，∴的关系式为；列表得 x 1 2 4 y 4 3 1 描点作图得其图象如图： （2）解：∵，两点，点是线段的中点，∴，即， 设第二象限的图象上任一点为，则，即， 设其关于直线对称的点为，∴，， ∴，∴，∴， ∴的关系式为，将代入，得，解得． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意．故选：B． 2．（2026·重庆·一模）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限，，解得． 3．（2026·上海崇明·二模）如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，∴， A、 ，符合要求；B 、 ，不符合要求； C 、 ，不符合要求；D 、反比例函数中，图像不经过原点，不符合 要求． 4．（25-26九年级上·四川广安·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，∴反比例函数图象位于第二、四象限．故选：C． 5．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：∵，∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， ∵乙、丁两点在曲线上，∴乙、丁两用电器的功率相等， ∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方，∴功率最大的是甲．故选：A． 6．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵A、B两点关于y轴对称，点A的坐标为，∴点B的坐标为， 将点A的坐标，代入，得； 将点B的坐标，代入，得，∴；故选：B． 7．（25-26九年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【详解】解：由题意得：． 8．（25-26九年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，， 点，都在该图象上，，，，， ，，又，，则． 9．（21-22九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【详解】解：函数是反比例函数，∴， 解方程，得或，解不等式，得∴． 10．（2026·河北石家庄·一模）反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：反比例函数在每一象限内随的增大而增大， ∴比例系数小于0，即． 11．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象，关于x的不等式的解集为___________． 【答案】(1)反比例函数：，一次函数：(2)或 【详解】（1）解：把代入中得：解得： ∴反比例函数的表达式是；把代入得 把，代入得：，解得，∴一次函数的表达式为． （2）根据图象可知：关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 【强化训练】 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ，与同号，即，或，， 若，，假设，则有，，，； 若，，假设，则有，，，； 综上，的值恒为正数． 2.（2026·重庆秀山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵，∴点在第三象限，可得， ∵，∴点，都在第一象限，可得，综上可得． 3．（2026·黑龙江大庆·一模）小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除； 的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到． 4．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴将各点纵坐标代入解析式，分别求解横坐标： 当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得； ∵，∴． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限，故答案为：四． 6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（   ） A． B． C．1 D．8 【答案】B 【详解】解：对于反比例函数，随的增大而减小．∴当时，有最大值；即； 对于反比例函数， 随的增大而增大．∴当时，有最大值．即． 将和代入，得．故选：B． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，，∵，∴，∴， ∵，∴，，∴，故答案为：6． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：作于E， ∵，∴，∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴时，，时，，，∴，， ∵轴，∴，∴点的横坐标为， 代入得，，∴， ∵C在反比例函数的图象上，∴，整理得， 解得或（舍去），故答案为：． 9．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式；(2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1)(2)6米 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为，∴，∴． （2）解：∵，∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：，∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 10．（2026·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1)(2)加热一次，水温不低于的时间为 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得，∴与之间的函数关系式为， 当时，，， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得，解得：， ∴一次函数的表达式为，令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵，∴加热一次，水温不低于的时间为． 11．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________．（2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】（3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 【答案】（1）；4；（2）图见解析；①当时，随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为2；（3）4 【详解】解：对于，当时，； 当时，，解得，，∴；故答案为：；4； （2）根据（1）中表格数据描点、连线得， 由图象得：①当时，随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为2； （3）由图象知：当时，y有最小值，y最小值，所以，矩形周长的最小值为4． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． (1)求的值以及反比例函数的表达式；(2)连接，，求的面积； (3)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)的值为，反比例函数的表达式为(2)的面积为(3)或 【详解】（1）解：∵点、点在函数的图象上， ∴，解得，故的值为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵，∴，，∴、点， 过点作轴，过点作轴，延长、交于点,如下图所示： ∵点、点，∴，，，， 且，∴． （3）解：观察图象，在的范围内， 若，即反比例函数的图像应在一次函数图象上方，故或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 反比例函数 章末复习 1.理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，确定比例系数k，会求反比例函数解析式。 2.会画反比例函数的图象，知道反比例函数图象是双曲线；掌握k>0、k<0时图象的位置、增减性、对称性；理解k的几何意义（过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，所得矩形面积为|k|）。 3.能够利用反比例函数的图象和性质比较函数值大小、求参数、解决与一次函数的综合问题。 4.能分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数解决工程、面积、行程等实际问题，能结合实际写出自变量取值范围。 5.经历从实际问题抽象出反比例函数概念的过程，发展数学抽象素养；经历画图象、观察、猜想、归纳性质的过程，体会数形结合思想。 1.一般地，如果两个变量x和y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么就说这两个变量具有反比例关系。 2.反比例函数一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中x是自变量，y是x的函数。反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 3.反比例函数的图象与性质： 反比例函数（k≠0）具有以下图象特征和性质： 函数表达式 （k>0） （k<0） 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三象限 二、四象限 函数变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 4.反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变，如下图所示。 5.反比例函数相关的实际问题中的核心等量关系 行程：vt=s（其中：v为速度，t为时间，s为路程，s为定值）； 销售：xy=m（其中：x为单价，y为数量，m为总价，m为定值）； 压强公式：，（其中：p为压强，S为受力面积，F为压力，F为定值）； 杠杆原理：F1 L1 = F2L2（其中：F1为动力， L1为动力臂， F2为阻力，L2为阻力臂）； 矩形面积：ab=S（其中：a为长，b为宽，S为面积，S为定值）； 圆锥体积：，（其中：S为圆锥的底面积，h为圆锥的高，V为圆锥的体积，V为定值）。 题型01 反比例函数的定义（概念辨析与含参问题） 【典例】（25-26九年级下·广东广州·月考）下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·校考期中）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数的比例系数是____ ． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 题型02 求反比例函数自变量（函数值）（含范围） 【典例】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）已知反比例函数，这个函数的比例系数和自变量的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．； 【变式1】（24-25九年级上·江苏·随堂练习）反比例函数中，比例系数是______，当时，_____． 【变式2】（2026·吉林长春·一模）函数中，自变量的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠1 C．x>1 D．x≥1 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值为__________． 题型03 反比例函数图象上点的特征 【典例】（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【变式2】（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 题型04 一次函数与反比例函数图象综合 【典例】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·月考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图象可能是（     ） A．B．C．D． 【变式2】（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 题型05 反比例函数过象限问题 【典例】（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【变式2】（25-26九年级下·广西崇左·月考）双曲线位于第二、第四象限，则下面说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C． D． 【变式3】（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 题型06 反比例函数的增减性运用（比大小、参数问题等） 【典例】（25-26八年级下·山东济南·期中）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______． 【变式3】（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 题型07 反比例函数图象与性质综合问题 【典例】（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时， B．点和在此函数图象上 C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】（25-26九年级上·四川德阳·期中）已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 【变式2】（24-25九年级下·广东汕头·开学考试）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 题型08 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值；(2)当时，求的值；(3)当时，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·月考）反比例函数，当函数值时，自变量x的取值范围__． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 题型09 反比例函数k的几何意义 【典例】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【变式1】11．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【变式3】（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点若的面积为3，则的值为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型10 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接． (1)求k和a的值；(2)求的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式2】（2026·江西九江·一模）如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 (1)求反比例函数的解析式及点的坐标(2)求的面积 【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 题型11 正比例函数与反比例函数交点坐标（对称性） 【典例】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 题型12 根据一次函数与反比例函数值的大小求自变量范围 【典例】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点．(1)求的值；(2)观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求的值及点B的坐标；(2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)直接写出的解集． 题型13 反比例函数的实际应用-（力学、行程等问题） 【典例】（2026·宁夏银川·二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现与l有一定的关系，记录了拉力的大小与l的变化，如表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 100 (1)表格中的值是___________； (2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【变式1】（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 题型14 反比例函数的实际应用-（电学、光学、热力学问题） 【典例】（2025·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【变式1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）人体能够承受的安全电压通常不高于，电功率（单位：）与电压（单位：）、电阻（单位：）之间的公式为，已知人体电阻约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电压__________（填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电压． 【变式2】（2026·福建厦门·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（） 波长（） 则当时，电磁波的波长为________． 【变式3】（2026·辽宁大连·一模）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 项目主题 用吸管制作乐器 项目准备 1．准备相同规格的吸管，剪刀、刻度尺、计算机等； 2．查阅资料，了解音乐、物理相关的知识． 项目实施 任务一：采集数据 取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），记录数据如下表： … 60 72 90 120 144 160 180 … … 1440 1200 960 720 600 540 480 … 任务二：建立模型 根据表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图象，确定f是l的反比例函数． 任务三：应用模型 下表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，并制作成乐器．尝试用该乐器吹奏一首曲子． 唱名 根据以上信息，解决下列问题：(1)求f与l之间的函数表达式（不要求写出自变量l的取值范围）； (2)当吸管长度为时，求对应的振动频率； (3)在制作乐器时，唱名对应的吸管长度是多少（结果保留整数）？ 题型15 反比例函数的实际应用-（化学、生物、其他问题） 【典例】（2026·湖南娄底·一模）在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 【变式1】（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为．(1)求出与之间的函数关系式；(2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【变式2】（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象：(2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【变式4】（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；(2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 题型16 反比例函数的新定义问题 【典例】（2022·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 【变式1】（25-26九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·河南郑州·月考）对于反比例函数（记作），如图所示为其在第二象限的图象．过横轴上一点作垂直于横轴的直线我们记作直线，把双曲线在第二象限的图象沿这条直线对折得到一个新函数（记作）图象，我们称它们为“姊妹函数” (1)当（此时垂直于轴的直线为轴），写出函数的“姊妹函数”的关系式，并在如图所示的坐标系中画出他的图象． (2)如图，在第一象限有，两点，点是线段的中点，当时，取不同值时，的“姊妹函数”也会随之改变．当过点C时．___________ 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 2．（2026·重庆·一模）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3．（2026·上海崇明·二模）如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川广安·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 5．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·宁夏吴忠·月考）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 8．（25-26九年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 9．（21-22九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 10．（2026·河北石家庄·一模）反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____． 11．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象，关于x的不等式的解集为___________． 【强化训练】 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 2.（2026·重庆秀山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江大庆·一模）小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B．C． D． 4．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（   ） A． B． C．1 D．8 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，点D在反比例函数图象上，连接，．若轴，，则k的值为______． 9．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式；(2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 10．（2026·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 11．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________．（2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】（3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． (1)求的值以及反比例函数的表达式；(2)连接，，求的面积； (3)直接写出关于的不等式的解集． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $