专题4.5 数据的集中趋势和离散程度章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册同

本讲义聚焦苏科版九年级上册第四章《数据的集中趋势和离散程度》，系统梳理平均数（算术、加权）、中位数、众数、四分位数、箱线图及方差、极差等核心知识点，构建从集中趋势到离散程度的完整学习支架。 资料含精编思维导图助力知识结构化，11个题型讲练（典例+变式）强化运算能力与推理意识，中考真题及分层训练（基础+培优）培养数据观念与应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题4.5 数据的集中趋势和离散程度（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【苏科版数学新教材•九年级上册•第四章《数据的集中趋势和离散程度》】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识梳理 2 知识点一 平均数 2 知识点二 中位数与众数 3 知识点三 四分位数 3 知识点四 箱线图 4 知识点五 方差 4 题型讲练 5 题型一 求一组数据的平均数 5 题型二 求加权平均数 6 题型三 求中位数 7 题型四 求众数 8 题型五 求四分位数 8 题型六 画箱线图 9 题型七 求方差 10 题型八 根据方差判断稳定性 11 题型九 运用方差做决策 12 题型十 求极差 13 题型十一 求离差平方和 14 中考真题演练 15 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 20 知识点一 平均数 （1）算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【要点提示】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）加权平均数：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【要点提示】 （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点二 中位数与众数 （1）中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【要点提示】 （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. （2）众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【要点提示】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. （3）平均数、中位数与众数的联系与区别： 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点三 四分位数 1. 百分位数：将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数：一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 知识点四 箱线图 1.箱线图的五要素：一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构：如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 知识点五 方差 （1）极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【要点提示】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. （2）方差：方差的计算公式是：，它是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.　 （3）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差， 【要点提示】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 题型一 求一组数据的平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）某班6名同学在一次慈善义务募捐中的捐款额（单位：元）为50，30，50，60，50，30．则这6名同学的平均捐款额为（　　） A．40元 B．45元 C．50元 D．90元 【答案】B 【分析】本题主要考查了求平均数，熟知求平均数的方法是解题的关键．将6个捐款额相加，再除以6即可． 【详解】解：这6名同学的平均捐款额为（元）． 故选：B． 【变式训练】第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为______． 【答案】8环 【分析】本题主要考查了求算术平均数．根据算术平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：这运动员所得环数的平均数为环， 故答案为：环． 题型二 求加权平均数 【典例精讲】（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某校竞选学生会干部，分笔试和演讲两个环节进行测试，每项测试总分均为100分，最后按4：6比例计算平均成绩．小明笔试成绩80分，演讲成绩90分，则小明的平均成绩为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键；因此此题可根据加权平均数的算法进行求解即可． 【详解】解：由题意可知小明的最终平均成绩为 故答案为：． 题型三 求中位数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据2，3，，，7中（，为整数），唯一的众数是7，平均数是4，求这组数据的中位数． 【答案】3 【分析】本题考查了中位数，熟练掌握中位数相关内容是解题的关键； 根据题干信息求出x、y的值，然后从小到大排列即可得出中位数． 【详解】解：根据题意，得， ． ∵唯一的众数是7，设， 则，， ∴这组数据从小到大排列为1，2，3，7，7， ∴中位数是3． 【变式训练】（25-26八年级上·山东东营·期中）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是___________环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 【答案】 8 【分析】本题考查了中位数的计算，解题的关键是先求出数据总个数，确定中位数对应的位置，再找出对应位置的环数． 计算射击总次数，确定中位数是第10、11个数据；累加次数找到对应位置的环数，取其值为中位数． 【详解】解：总射击次数：，中位数是第10、11个数据的平均数， 累加次数：环数5（2个）、6（3个，累计5个）、7（4个，累计9个）、8（5个，累计14个）， 第10、11个数据均为8， 故答案为：． 题型四 求众数 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·期末）某运动员射击次，成绩（单位：环）分别为，，，，，，，，，，则这组数据的众数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据． 先确定每个数据的出现次数，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：∵数据序列为：9，10，9，8，8，7，10，7，6，8． ∴6出现1次，7出现2次，8出现3次，9出现2次，10出现2次， ∴众数为8． 故答案为：8． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的成绩数据正确的是（   ） A．众数是8 B．众数是9 C．平均数是9.7 D．平均数是9.2 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算和众数，利用众数的定义以及平均数的计算公式即可求得． 【详解】解：（环）， 其中出现次数最多的是，故众数是， 故选：B． 题型五 求四分位数 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）一组数据“，，，，，，，，”的四分位距为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】四分位距的计算方法有两种：①用上四分位数减去下四分位数，本题数据已按从小到大排序，先找整体数据的中位数，再分别找出下四分位数和上四分位数，最后计算差值即可得到结果；②用第三四分位数减去第一四分位数，本题数据已按从小到大排序，分别按照百分比的方式求出第一四分位数、第三四分位数，最后计算差值即可得到结果． 【详解】解：①原数据已从小到大排序，总个数， 整体数据的中位数是第5个数，即， 将数据分为中位数之前的下半区和中位数之后的上半区，下半区为，，，，上半区为，，，， 下四分位数是下半区的中位数， ， 上四分位数是上半区的中位数， ， 四分位距为； ②第一四分位数：，则第一四分位数为第个数，即， 第三四分位数：，则第三四分位数为第个数，即， 故四分位距为． 【变式训练】（25-26八年级下·福建莆田·期末）全班40名学生跳绳次数的箱线图如图所示，则跳绳次数的第一四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的第一四分位数是132． 题型六 画箱线图 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查箱线图的基本概念，只需明确箱线图能体现的统计量，即可判断选项． 【详解】解：∵箱线图由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量绘制得到， ∴可以直接从箱线图中获得中位数、最大值、最小值，众数是一组数据中出现次数最多的数， 箱线图无法体现数据出现的次数，因此不能直接从箱线图中得到众数， 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 题型七 求方差 【典例精讲】（2025·江苏泰州·一模）如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，的方差，那么的值可能是（    ） A．98 B．101 C．104 D．107 【答案】C 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可求解本题． 【详解】解：当时，另一组数据为101，102，103，104，105与数据1，2，3，4，5，稳定程度一样，每组数据相差1，则平均数一样，那么由方差公式可以得到方差一样； 当或时，第二组数据没有第一组数据稳定，则第一组数据的方差小于第二组数据； 当时，发现第二组数据比第一组数据稳定，则第一组数据的方差大于第二组数据； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·山东青岛·期末）某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为______（从甲、乙、丙中选一人）的发挥更稳定； 【答案】乙 【分析】本题主要考查了求平均数，求方差，根据方差判断稳定性等知识点，熟练掌握方差的定义、计算方法及意义是解题的关键． 先求出甲、乙、丙射击成绩的平均数，然后求出各自的方差，最后根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 则， , , ， 乙的发挥更稳定， 故答案为：乙． 题型八 根据方差判断稳定性 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期末）某校准备从4名跳高运动员中选取平均成绩好，且发挥稳定的一名运动员参加比赛，下表是4名跳高运动员成绩的统计数据． 甲 乙 丙 丁 平均成绩/cm 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题要求选出平均成绩好且发挥稳定的运动员，平均成绩越高代表成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，对比四名运动员的统计数据即可得到结果． 【详解】解：∵要选取平均成绩好，且发挥稳定的运动员， ∴平均成绩越高越好，方差越小发挥越稳定， 由表中数据可知，甲和丙的平均成绩为，高于乙和丁的，因此排除乙和丁， 又∵甲的方差为，丙的方差为，， ∴丙的方差更小，发挥更稳定， 因此最合适的人选是丙． 【变式训练】（2025·湖南长沙·模拟预测）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则___________（填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定． 【答案】乙 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵两班学生测试成绩的平均分都是90分，，， ∴乙的方差小于甲的方差， ∴乙班的成绩更稳定． 故答案为：乙班． 题型九 运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（   ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于明确进行决策需要考虑的因素．根据平均数和方差综合决定即可求解． 【详解】解：由表格可知，甲和丁的平均数一样，且最高，而甲的方差小，则稳定， ∴选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选甲， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·广东深圳·期末）某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了棵，每棵产量（单位：）的平均数及方差如表所示： 统计量 甲 乙 丙 丁 该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是______． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差，一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好． 先比较平均数得到甲和乙的产量较好，然后比较方差得到甲品种既高产又稳定． 【详解】解：由题可知，甲乙的平均数比丙丁的平均数大，而甲的方差比乙的小， ∴甲品种产量既高又稳定； 故答案为： 甲． 题型十 求极差 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）数据，，，，的极差是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了极差，极差是一组数据中最大值与最小值的差．根据极差的定义计算即可． 【详解】解：数据，，，，最大值为，最小值为， 极差为． 故答案为：． 【变式训练】（2025·河南信阳·三模）某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 【答案】D 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和极差的求法．分别求出平均数、中位数、众数和极差进行判断即可． 【详解】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为： 16，19，24，25，25，27，32，35，37，40， 极差：， 平均数：， 众数：出现次数最多的数是25， 中位数：． 故选：D． 题型十一 求离差平方和 【典例精讲】（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【答案】 【分析】根据离差平方和的分解规则，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，已知总离差平方和与组内离差平方和，作差即可得到组间离差平方和. 【详解】解：. 【变式训练】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据离差的定义求出这组数据的平均数，再根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：∵数据与的离差为， ∴， 解得， 又∵数据，，，的平均数为， ∴， 整理得， 解得． 【真题演练1】（2025·湖南长沙·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查 B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7 C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 【答案】D 【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可． 【详解】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意； B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意； C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意； D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意； 故选：D． 【真题演练2】（2025·浙江台州·中考真题）顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（    ） A．小刚的成绩位于组内中等水平 B．小组平均分增加2分 C．小组的成绩稳定性增加，方差变大 D．该小组成绩不存在中位数 【答案】B 【分析】结合图表，依据平均数、中位数以及方差的意义进行解答即可 【详解】解：从图表可以看出小刚的成绩低于70分，B同学的成绩高于80分低于90分，A同学成绩高于B同学低于90分，D同学高于90分低于100分，E同学90分； A.小刚的成绩加上10分后仍然处于下等水平，故选项A说法错误，不符合题意； B. 小刚的成绩加上10分后，小组的平均分增加分，故选项B说法正确，符合题意； C.小组的成绩稳定性增加，方差变小，故选项C说法错误，不符合题意； D.该小组成绩存在中位数，即A的成绩，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：B 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如果样本方差，那么这个样本的平均数是_______，样本容量是________． 【答案】 18 20 【分析】先根据方差公式中所有字母所代表的意义，n是样本容量，是样本中的平均数，再结合给出的式子即可得出答案． 【详解】解：在公式中，平均数是，样本容量是n，在中，这个样本的平均数为18，样本容量为20． 故答案为：18；20． 【真题演练4】（2025·江苏常州·中考真题）已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平均数和中位数，由数据可得平均数为，再分中位数为，和解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数为， 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 若中位数为，则，解得； 综上，或或， 故答案为：或或． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）某校组织七、八年级学生参加艺术素养测试（测试满分为100分，且学生得分均为整数）．测试结束后，从七、八年级中各随机抽取6名学生的成绩，成绩如下： 七年级组：94，83，94，85，96，94 八年级组：83，88，91，95，95，100 对上述成绩进行如下分析： 平均数 众数 中位数 方差 七年级组 91 94 八年级组 92 95 30 根据上述信息解答下列各题 (1)请直接写出______________，_______________； (2)请利用方差比较七、八年级哪个小组成绩更稳定？ (3)若全校七、八年级共有1200名学生，以这2个小组学生的成绩为样本，估计全校七、八年级学生中，参加艺术素养测试不低于90分的学生人数． 【答案】(1)94，93 (2)七年级组成绩更稳定 (3)800 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差，根据方差做出决策，根据样本频数求出总体频数，解题的关键是掌握以上性质和定义． （1）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （2）求出七年级的方差，然后进行比较做决策即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【详解】（1）解：∵94出现的次数最多， ∴众数为94， 即； 对八年级数据排序后，第3位和第4位数据分别为91，95， ∴中位数为， 即； 故答案为：94，93； （2）解：七年级的方差为：， ∵， ∴七年级组成绩更稳定； （3）解：两个年级不低于90分的人数有8个， （人） 所以，参加艺术素养测试不低于90分的学生人数为800人． 【基础夯实】 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均数的定义建立方程求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴． ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）有一组数据：2，3，4，4，6，6，6，7．这组数据的第一四分位数是______． 【答案】3.5 【详解】解：方法一：数据从小到大排列得2，3，4，4，6，6，6，7， ∵， ∴第一四分位数的位置为排序后第项和第项数据的平均数， ∴第一四分位数为； 方法二：数据从小到大排列得2，3，4，4，6，6，6，7， 前半部分为2，3，4，4， 前半部分的中位数为， 即第一四分位数为． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）小丽参加学校的综合素质评价，学业成绩、品德表现、社会实践三项得分分别为分、分、分，若这三项成绩按的比例计算最终评价成绩，则小丽的最终评价成绩是__________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数公式计算即可得到最终评价成绩． 【详解】解：∵三项成绩按的比例计算最终评价成绩， ∴小丽的最终评价成绩是（分）． 5．（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三个班总分数为分，总人数为人，即可求出结论． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班总分数为分，乙班总分数为分，丙班总分数为分， ∴三个班总分数为分，总人数为人， ∴总平均分为． 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 【答案】D 【分析】分别求出加入新数据前后的平均数、中位数和众数，进行比较即可得出答案． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序：，，，，，， 原平均数为， 原中位数为， 原众数为； 加入视力为的同学后，共7个数据，从小到大排序：，，，，，，， 新平均数为，与原平均数不同， 新中位数为第4个数，与原中位数相同， 新众数为，与原众数相同， 综上，集中趋势相同的是中位数和众数． 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）为检测一批电动车的续航里程，随机抽查40辆测试，分组数据如下： 续航里程 车辆数 4 7 11 13 5 则这批电动车平均续航里程_________． 【答案】 【分析】分组数据计算平均数，用每组组中值代表该组数据，再根据加权平均数公式计算即可． 【详解】解：先计算每组的组中值， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 根据加权平均数公式，平均续航里程为： ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算对应的四分位数： （1）某研发团队12人的年龄（单位：岁）为17，19，22，22，24，25，28，34，35，36，37，38，则其第一四分位数是____________岁． （2）某商店连续10天的服装销量（单位：件）为2，6，10，4，8，20，16，18，12，14，则其第三四分位数是____________件． 【答案】22；16 【分析】本题考查了四分位数的计算，掌握四分位数的定义及数据分段方法是解题的关键． （1）数据已按升序排列，第一四分位数是前一半数据的中位数； （2）数据需要先排序，第三四分位数是后一半数据的中位数． 【详解】解：（1）数据序列为，共个数据 前一半数据为前个：，其中位数为第和第个数据的平均值，即 故第一四分位数为岁． （2）数据序列为， 排序后为，共个数据 后一半数据为后个：，其中位数为． 故第三四分位数为件． 故答案为：；． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：） (1)分别求出两段台阶高度的中位数； (2)嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ 嘉淇的计算 解： 【答案】(1)甲路段台阶中位数为15厘米，乙路段台阶中位数为16厘米 (2)乙方差为，甲路段的台阶走起来更舒服一些， 理由： ， ， ， 甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定， 甲路段的台阶走起来更舒服一些． 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出乙路段高度的平均数，进而求出乙路段高度的方差，再与甲路段高度的方差比较即可得到结论． 【详解】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序为14，14，15,15,16,16，排在中间的两个数为15，15， 甲路段台阶高度的中位数为， 将乙路段台阶的高度从小到大进行排序为10，11，15，17，18,19，排在中间的两个数为15，17， 乙路段台阶高度的中位数为； 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题4.5 数据的集中趋势和离散程度（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【苏科版数学新教材•九年级上册•第四章《数据的集中趋势和离散程度》】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识梳理 2 知识点一 平均数 2 知识点二 中位数与众数 3 知识点三 四分位数 3 知识点四 箱线图 4 知识点五 方差 4 题型讲练 5 题型一 求一组数据的平均数 5 题型二 求加权平均数 5 题型三 求中位数 6 题型四 求众数 6 题型五 求四分位数 7 题型六 画箱线图 7 题型七 求方差 7 题型八 根据方差判断稳定性 8 题型九 运用方差做决策 8 题型十 求极差 9 题型十一 求离差平方和 9 中考真题演练 9 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 12 知识点一 平均数 （1）算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【要点提示】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）加权平均数：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【要点提示】 （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点二 中位数与众数 （1）中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 【要点提示】 （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. （2）众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【要点提示】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. （3）平均数、中位数与众数的联系与区别： 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 知识点三 四分位数 1. 百分位数：将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数：一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 知识点四 箱线图 1.箱线图的五要素：一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构：如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 知识点五 方差 （1）极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【要点提示】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. （2）方差：方差的计算公式是：，它是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.　 （3）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差， 【要点提示】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 题型一 求一组数据的平均数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·课后作业）某班6名同学在一次慈善义务募捐中的捐款额（单位：元）为50，30，50，60，50，30．则这6名同学的平均捐款额为（　　） A．40元 B．45元 C．50元 D．90元 【变式训练】第届亚运会将在杭州举办，某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训练，他连续射靶次，所得环数分别是：，，，，，则这运动员所得环数的平均数为______． 题型二 求加权平均数 【典例精讲】（25-26八年级下·北京西城·期末）一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某校竞选学生会干部，分笔试和演讲两个环节进行测试，每项测试总分均为100分，最后按4：6比例计算平均成绩．小明笔试成绩80分，演讲成绩90分，则小明的平均成绩为_____． 题型三 求中位数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）一组数据2，3，，，7中（，为整数），唯一的众数是7，平均数是4，求这组数据的中位数． 【变式训练】（25-26八年级上·山东东营·期中）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是___________环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 题型四 求众数 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·期末）某运动员射击次，成绩（单位：环）分别为，，，，，，，，，，则这组数据的众数为_______． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔赛的成绩数据正确的是（   ） A．众数是8 B．众数是9 C．平均数是9.7 D．平均数是9.2 题型五 求四分位数 【典例精讲】（25-26八年级下·福建福州·期末）一组数据“，，，，，，，，”的四分位距为（） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·福建莆田·期末）全班40名学生跳绳次数的箱线图如图所示，则跳绳次数的第一四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 题型六 画箱线图 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 题型七 求方差 【典例精讲】（2025·江苏泰州·一模）如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，的方差，那么的值可能是（    ） A．98 B．101 C．104 D．107 【变式训练】（24-25八年级上·山东青岛·期末）某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为______（从甲、乙、丙中选一人）的发挥更稳定； 题型八 根据方差判断稳定性 【典例精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期末）某校准备从4名跳高运动员中选取平均成绩好，且发挥稳定的一名运动员参加比赛，下表是4名跳高运动员成绩的统计数据． 甲 乙 丙 丁 平均成绩/cm 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，最合适的人选是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】（2025·湖南长沙·模拟预测）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则___________（填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定． 题型九 运用方差做决策 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济南·期末）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（   ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】（24-25八年级上·广东深圳·期末）某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了棵，每棵产量（单位：）的平均数及方差如表所示： 统计量 甲 乙 丙 丁 该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是______． 题型十 求极差 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）数据，，，，的极差是___________． 【变式训练】（2025·河南信阳·三模）某汽车4S店2024年1月至10月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，24，27，19，25，25，32，37，35，40，则关于这组数据的结论错误的是（   ） A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25 题型十一 求离差平方和 【典例精讲】（25-26八年级下·江西上饶·期末）已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【变式训练】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【真题演练1】（2025·湖南长沙·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查 B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7 C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定 【真题演练2】（2025·浙江台州·中考真题）顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（    ） A．小刚的成绩位于组内中等水平 B．小组平均分增加2分 C．小组的成绩稳定性增加，方差变大 D．该小组成绩不存在中位数 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如果样本方差，那么这个样本的平均数是_______，样本容量是________． 【真题演练4】（2025·江苏常州·中考真题）已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则______． 【真题演练5】（2025·江苏扬州·中考真题）某校组织七、八年级学生参加艺术素养测试（测试满分为100分，且学生得分均为整数）．测试结束后，从七、八年级中各随机抽取6名学生的成绩，成绩如下： 七年级组：94，83，94，85，96，94 八年级组：83，88，91，95，95，100 对上述成绩进行如下分析： 平均数 众数 中位数 方差 七年级组 91 94 八年级组 92 95 30 根据上述信息解答下列各题 (1)请直接写出______________，_______________； (2)请利用方差比较七、八年级哪个小组成绩更稳定？ (3)若全校七、八年级共有1200名学生，以这2个小组学生的成绩为样本，估计全校七、八年级学生中，参加艺术素养测试不低于90分的学生人数． 【基础夯实】 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知一组数据：，，，，，若这组数据的平均数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）有一组数据：2，3，4，4，6，6，6，7．这组数据的第一四分位数是______． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）小丽参加学校的综合素质评价，学业成绩、品德表现、社会实践三项得分分别为分、分、分，若这三项成绩按的比例计算最终评价成绩，则小丽的最终评价成绩是__________分． 5．（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【培优拔高】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）某组名同学的裸眼视力分别为：，，，，，．新学期这组加入了一名裸眼视力为的同学，新同学加入后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是（     ） A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）为检测一批电动车的续航里程，随机抽查40辆测试，分组数据如下： 续航里程 车辆数 4 7 11 13 5 则这批电动车平均续航里程_________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算对应的四分位数： （1）某研发团队12人的年龄（单位：岁）为17，19，22，22，24，25，28，34，35，36，37，38，则其第一四分位数是____________岁． （2）某商店连续10天的服装销量（单位：件）为2，6，10，4，8，20，16，18，12，14，则其第三四分位数是____________件． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：） (1)分别求出两段台阶高度的中位数； (2)嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ 嘉淇的计算 解： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $