广东东莞市松山湖实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．4、2、1 B．4、2、 C．4、、 D．4、、1 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．“少年强，则国强”，为进一步推动学校体育活动的健康发展，2026年东莞市中学生篮球赛如期进行．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．与y轴交于点 8．若二次函数的图象经过点，，，则，，y的大小关系正确的为（ ） A． B． C． D． 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 10．如图，正方形ABCD的边长为定值，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且，设A，E两点间的距离为x．四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程的解是________． 12．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为________． 13．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 14．二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … 0 1 2 … y的值 … 2 5 2 … 当时，函数y的值是________． 15．已知线段AB，点M、N在线段AB上（如图）．点M为线段AB的一个黄金分割点，满足；同时点N为线段AB的另一个黄金分割点，满足，当线段时，线段MN的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。 16．解方程：（1）； （2）． 17．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18．已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 20．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出________个A种商品，若售价下降x元（），每月能售出________个A种商品； （2）若本月有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 21．如图，点P是抛物线在第四象限内的一点，点A的坐标是，设点P的坐标是． （1）求的面积S关于变量x的关系式； （2）当时，求的面积； （3）当的面积为2时，求点P的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动： 如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点…第n行有n个点… 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前n行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和，①， 由①式倒序：②， ①+②，得：，所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前n行的点数和； （2）前________行的点数和是120； 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数之和的规律吗？请说明理由． 23．【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形ACDE中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： 【模型感知】 （1）请你写出一个“弦系一元二次方程”：________； 【初步探究】 （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根； （3）如图1若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求面积． 【模型拓展】 （4）如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 （九年级数学） 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．答案：D 解析：一元二次方程一般形式，，二次项系数4，一次项系数，常数项1． 2．答案：C 解析：把代入方程，得，解得． 3．答案：B 解析：抛物线平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项． 向上平移3个单位得：；再向右平移2个单位得：． 4．答案：D 解析：， 移项：， 配方：， 即． 5．答案：C解析：，方程无实数根． 6．答案：D 解析：单循环赛，每两个队只赛一场，公式为，即总场次． 7．答案：C 解析：，顶点坐标为，对称轴直线，，抛物线开口向上，当时y随x增大而增大；当时，，与y轴交于． 8．答案：B 解析：，，开口向下，对称轴为直线． 到对称轴距离：； 到对称轴距离：； C（5，y3）到对称轴距离：； ∵开口向下，点离对称轴越近y越大，，故选B． 9．答案：C 解析：不等式变形为，即； 从图像看，二次函数在一次函数下方部分，对应自变量． 10．答案：A 解析：设正方形边长为，，则； 的面积；四个全等直角三角形总面积； ∴四边形EFGH的面积， 是开口向上的二次函数，自变量范围； 当时y最小为，或时y最大为正方形ABCD的面积， 随x先减小后增大，对应图像A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．答案：， 解析：，直接开平方，，，． 12．答案：且 解析：抛物线和x轴有两个交点，说明是二次函数，；，整理得，解得．综上且． 13．答案：2025 解析：m是方程根，；韦达定理：； "．" 14．答案： 解析：由表格，，；，，两点纵坐标相同，对称轴； 和关于对称轴对称，当时，所以时． 15．答案： 解析：，设，则，，解得，（舍）；，同理， 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．答案： 解：（1），，， ， ， ， （2） ， ， 或 ， 17．答案： 解：（1）∵方程有两个不等实数根 ， ， ， ， 解得． （2）由韦达定理：，， ，， 代入得， ， ， ， 解得，， 又，舍去，． 18．答案： 解：（1）将、代入 得 解得， ∴该抛物线的表达式为 （3）． ∴对称轴为直线；顶点坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．答案：（1）见解析 （2） （3）3或4 解：（1）顶点坐标为，可设二次函数的表达式为， 把代入得解得 ∴表达式为（或） （2），可知对称轴， ∴当取y最小值； ∵当时，； 时； 所以y取值范围： （3）∵抛物线，与坐标轴有三个公共点，其中与x轴有两个，与y轴有1个，向上平移后与坐标轴有两个公共点，则有两种情况： ①向上平移4个单位，，顶点在x轴上为，另一个点与y轴正半轴有交点； ②向上平移3个单位，，与y轴交点为，向上平移3个单位后与坐标轴轴交于、，只有两个不同交点；故答案为3或4 20．答案：（1）1600； （2）见解析 （3）见解析 解：（1）下降5元：；下降x元： （2）当售价为元，单件利润为元， 销量为，且解得 列方程 化简： 整理， ， ， 解得，（舍）， 所以售价为元 答：每个A商品售价37元． （3）不能． 假设利润可达9600 列方程 整理： 21．答案： 解：（1），， 在第四象限且在抛物线上， 到x轴距离为 ． （2）当，说明P在OA垂直平分线上，OA中点横坐标为1， ∴当时，．∴面积为1． （3），，，解得，， 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．答案：（1）见解析 （2） 15（3）见解析 解：（1）设① 由①式倒序得 ①+②，得 ， ∴前n行的点数和为 （2）根据题意，得， 整理得． 解得，（舍去） 故答案为：15 （3）根据题意，由（1）得 故 ∴前行的点数之和的规律为． 23．答案：（1）（答案不唯一） （2）证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）解：把代入中得：，即， ∵四边形的周长， ， ， ，解得， ， ， ，即， ， ， ． （4）证明：，， 过B作于D，如图， ，，在线段上 ，，． ， ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $