广东东莞市松山湖实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

东莞市松山湖实验中学 2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 (九年级数学) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1.方程4x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（) A.4、2、1B.4、2、-1C.4、-2、-1D.4、-2、1 答案：D 解析：一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0,4x2-2x+1=0,二次项系数4，一次项系数-2，常 数项1。 2.若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是x=1,则m的值为（) A.1B.-1C.2D.-2 答案：C 解析：把x=1代入方程x2+mx-3=0,得1+m-3=0,解得m=2。 3.将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为() A.y=2(X+2)2+3B.y=2(x-2)2+3 C.y=2(x-22-3D.y=2(K+22-3 答案：B 解析：抛物线平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 y=2x2向上平移3个单位得：y=2x2+3:再向右平移2个单位得：y=2(x-2)2+3。 4.用配方法解方程x2.2x-1=0时，配方后所得的方程为() A.(x+12=0B.(x-1)2=0C.(x+1)2=2D.(X-1)2=2 答案：D 解析：x2-2x-1=0 移项：x2-2x=1 配方：x2-2x+1=1+1, 即(x-1)2=2。 5.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况为() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 东莞市松山湖实验中学 C.无实数根D.只有一个实数根 答案：C解析：△=b2-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0,方程无实数根。 6.“少年强，则国强”，为进一步推动学校体育活动的健康发展，2026年东莞市中学生篮球赛如期进行.若 首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题 意，下面所列方程正确的是() A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28 C.x(x+1)=28D.xx-1)=28 答案：D 解析：单循环赛，每两个队只赛一场，公式为号x仅-1)，即总场次x区-)-28。 7.关于y=2x-3)2+2的图象，下列叙述正确的是() A.顶点坐标为(-3,2) B.对称轴为直线y=3 C.当x>3时，y随x增大而增大D.与y轴交于点(O,2) 答案：C 解析：y=2(x-3)2+2,顶点坐标为(3,2)，对称轴直线x=3,,a=2>0,∴.抛物线开口向上， 当x3时y随x增大而增大：当x=0时，y=2×9+2=20,∴.与y轴交于(0,20)。 8.若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A(-1,y),B(2,y),C(5,y3),则y1,,y的大小关系正确 的为() A.y1>y3>y2 B.y2>y3>y C.yi>y2>y3 D.y3>yi>y2 答案：B 解析：y=-x2+6x+c,a=-1<0,开口向下，对称轴为直线x=3。 A(-1,y)到对称轴距离：-1-3=4： B(2,y2)到对称轴距离：|2-3=1： C(5,y3)到对称轴距离：5-3=2： ,开口向下，点离对称轴越近y越大，.y2>y3>y1,故选B。 9.一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+b-m)x +c<n的解集为() 东莞市松山湖实验中学 A.X<-1B.x>4C.-1<x<4D.x<-1或x>4 答案：C 解析：不等式ax2+(b-m)x+c<n变形为ax2+bx+c<mx+n,即y2<yi; 从图像看，二次函数在一次函数下方部分，对应自变量-1<x<4。 IO.如图，正方形ABCD的边长为定值，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA 上的点.且AE=BF=CG=DH,设A,E两点间的距离为x.四边形EFGH的面积为y,则y与x的 函数图象可能为() B E A 答案：A 解析：设正方形边长为a,,AE=x,则AH=a-x: ∴.Rt△AEH的面积S= 2x(a-x)；四个全等直角三角形总面积=4×2(a-x)=2ax-2x: .四边形EFGH的面积y=a2-(2ax-2x2)=2x2-2ax+a2, 是开口向上的二次函数，自变量范围0<x<a: 当X号时y最小为号≠0，X=0或x=a时y最大为正方形ABCD的面积a2, ∴y随x先减小后增大，对应图像A。 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 东莞市松山湖实验中学 11.方程x2=4的解是 答案：X1=2,X2=-2 解析：x2=4,直接开平方，x=士2，∴.x1=2,X2=-2。 12.若抛物线y=kx2-2x+1与x轴有两个交点，则k的取值范围为 答案：k<1且k≠0 解析：抛物线和x轴有两个交点，说明是二次函数，k≠0： △=(-2)2-4×1>0，整理得4-4>0，解得k<1。综上k<1且k≠0。 13.已知m,n是一元二次方程x2+x-2026=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于」 答案：2025 解析：m是方程根，m2+m-2026=0→m2+m=2026;韦达定理：m+n=-1; ,∴.m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2026+(-1)=2025。 14.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 -2 -1 0 2 。 y的值 -22 5 当x=3时，函数y的值是 答案：-7 解析：由表格，x=0,y=2:x=2,y=2,两点纵坐标相同，对称轴x=牛2=1： 2 x=-1和x=3关于对称轴x=1对称，当x=-1时y=-7,所以x=3时y=-7。 15.己知线段AB,点M、N在线段AB上（如图）.点M为线段AB的一个黄金分割点，满足AM?=BMAB; 同时点N为线段AB的另一个黄金分割点，满足BN2=ANAB,当线段AB=2时，线段MN的长为 A N M e n m 6 答案：2V5-4 解析：AB=2,设AM=x,则BM=2-x,∴.x2=2(2-x)，解得x1=V5-1,x=-V5-1(舍) ∴.AM=√5-1；BM=3-V5,同理AN=3-√5，∴.N=AM-AN=V5-1-(3-√5)=2V5-4 东莞市松山湖实验中学 三、解答题（一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分。 16.解方程： (1)x2-2x-6=0; (2)3x(x-1)=2x-2. 答案： 解：(1)a=1,b=-2,c=-6 △=b2-4ac=4+24=28 x2题-2生迈=1±V7 2 2 ∴.x1=1+V7,x2=1-V7 (2)3x(x-1)=2x-2 3x(x-1)-2(x-1)=0 (x-1)(3x-2)=0 x-1=0或3x-2=0 ,.x1=1,X2=2/3 17.若关于x的一元二次方程x2-2k+1)x+k2+2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，B,且(C+1)B+1)=13,求k的值. 答案： 解：(1)，方程有两个不等实数根 .△=[-2(k+1)]2-4×1×(k2+2)>0 4k2+2k+1)-42-8>0 4k2+8k+4-4k2-8>0 8k-4>0 解得k号 (2)由韦达定理：a+B=2(k+1),aB=k2+2 .(a+1)(B+1)=13 a4B+a+B+1=13 代入得k2+2+2(k+1)+1=13 东莞市松山湖实验中学 k2+2+2k+2+1=13 k2+2k-8=0 (k+4)(k-2)=0 解得k1=-4,k2=2 又k>3舍去k=-4,k=2 18.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(1，-2)，(1,6)两点. (1)求该抛物线的表达式： (2)求该二次函数的对称轴和顶点坐标： 答案： 解：(1)将(-1，-2)、(1,6)代入y=-x2+hx+e 得{-1-b+c=-2 {-1+b+c=6 解得c=3,b=4 ∴.该抛物线的表达式为y=-x2+4x+3 (3).y=-x2+4x+3 =-(x2-4x)+3 =-(x-2)2+7 .对称轴为直线x=2;顶点坐标为(2,7) 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19.如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为(-1,4). (1)求这个二次函数的表达式： (2)当-5<x<0时，y的取值范围为 (3)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点. 东莞市松山湖实验中学 答案：(1)见解析(2)-4≤y<12(3)3或4 解：(1)顶点坐标为(1，-4)，可设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4, 把(1,0)代入得0=a(1+1)2-4解得a=1 ∴.表达式为y=(x+1)2-4(或y=x2+2x-3) (2).-5<x<0,可知对称轴x=-1, .当x=-1取y最小值=-4： .当x=-5时，y=(-5+1)2-4=12: x=0时y=-3; 所以y取值范围：-4≤y<12 (3),抛物线y=(x+1)2-4,与坐标轴有三个公共点，其中与x轴有两个，与y轴有1个， 向上平移后与坐标轴有两个公共点，则有两种情况： ①向上平移4个单位，y=(x+1)2,顶点在x轴上为(-1,0)，另一个点与y轴正半轴有交点： ②向上平移3个单位，.y=(x+1)2-4=x2+2x3,∴.与y轴交点为(0，-3)，.向上平移3个 单位后与坐标轴轴交于(0,0)、(-2,0)，只有两个不同交点：故答案为3或4 20.某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均 每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个. (1)若售价下降5元，每月能售出个A种商品，若售价下降x元(x>0),每月能售出 个A种商品： (2)若本月有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商 品的售价： (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由. 东莞市松山湖实验中学 答案：(1)1600：600+200x(2)见解析(3)见解析 解：(1)下降5元：600+200×5=1600：下降x元：600+200x (2)当售价为(40-x)元，单件利润为(40-x-30)=(10-x)元， 销量为600+200x,且600+200x≤1210解得x≤3.05 列方程(10-x)(600+200x)=8400 化简：(10-x)(3+x)=42 整理30+7x-x2=42 x2-7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 解得x1=3,x2=4(舍)， 所以售价为40-3=37元 答：每个A商品售价37元 (3)不能。 假设利润可达9600 列方程(10-x)(600+200x)=9600 整理：200x2-1400x+3600=0 x2-7x+18=0 △=49-72=-23<0，方程无实数根.不能达到9600元 答：经销商月获利不能达到9600元 21.如图，点P是抛物线y=-x2在第四象限内的一点，点A的坐标是(2，O),设点P的坐标是(x,y) (1)求△POA的面积S关于变量x的关系式： (2)当PO=PA时，求△POA的面积 (3)当△POA的面积为2时，求点P的坐标. 东莞市松山湖实验中学 答案： 解：(1)A(2,0),∴.0A=2, ,P(x,y)在第四象限且在抛物线y=x2上， .P到x轴距离为-y=x2 S支0A·x2=支×22=x2《0) (2)当P0=PA,说明P在0A垂直平分线上，0A中点横坐标为1， ∴.当x=1时，S=x2=1∴，△P0A面积为1 (3)S=2,x2=2,x>0,解得x=V2,y=-(√22=-2，∴.P(V2,-2) 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。 22.数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动： 如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点.第n行有n 个点 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个 数数很繁琐。 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想.下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和， n+1个 ●● ●●●●● n行 ●●●、●●● 图1 图2 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法一倒序相加法. 利用图形的特征进行计算.如图2，将一 例如：求前10行的点数和，S=1+2+3+.+10①， 个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图 由①式倒序：S=10+9+..+2+1②， 形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵， 东莞市松山湖实验中学 ①+②，得：2S=(10叶1)+(9+2)+.+(10+1)=11×10=110， 三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量 所以S=55,即前10行的点数和为55个. 的一半. 【解决问题】 (1)请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前n行的点数和： (2)前 行的点数和是120： 【拓展应用】 (3)如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6，.，2，.，你能探究出前n行的点 数之和的规律吗？请说明理由， 答案：(1)见解析(2)15(3)见解析 解：(1)设S=1+2+3+.+(n-1)tn① 由①式倒序得Sm+(n-1)十.+2+1 ①+②，得2S-=n+1)+-1+2)+..+n+1)=n(n+1) .s=in(n+1) ∴.前n行的点数和为号n(n+1) (2)根据题意，得-n(n+1)=120, 整理得n2+n一240=0. 解得n1=15,n2=一16（舍去） 故答案为：15 (3)根据题意，由(1)得 1+2+3+.+(n-1)+nn(m+1 故2+4+6+..+2n=2(1+2+3+..+n)=2×5n(n+1)=n(n+1) 2 ∴.前n行的点数之和的规律为n(n十l). 东莞市松山湖实验中学 23.【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量 关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的 几何模型：如图1，在四边形ACDE中，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长，小文运用勾股定理推可 得AE=V2c,这时小文就把关于x的形如ax2+V2cx+b=0的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”. 请解决下列问题： Bb 图1 图2 【模型感知】 (1)请你写出一个“弦系一元二次方程”： 【初步探究】 (2)求证：关于x的弦系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根： (3)如图1若x=-1是“弦系一元二次方程”ax2+V2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是 6V2,求△ABC面积. 【模型拓展】 (4)如图2，△ABC的三边分别为a,b,c,∠BCA=60°，且2b>a.求证：关于x的一元二次方程V3ax2+ 2V2cx+b-a=0必有实数根， 答案：(1)4x2+5V2x+3=0(答案不唯一) (2)证明：由题意可知：a2+b2=c2, 4=b2-4ac=(W2c2-4ab=2c2-4ab, 4=2(a2+b2)-4ab=2(a2+b2-2ab)=2(a-b)2≥0， ∴.关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根， (3)解：把x=-1代入ax2+V2cx+b=0中得：a-√2c+b=0,即a+b=V2c, ,:四边形ACDE的周长6V2, -2a+2b+V2c=6V2, ∴.2(a+b)+√2c=6V, ∴2V2c+√2c=6V2,解得c=2, a2+b2=c2=4, 东莞市松山湖实验中学 a+b=√2c=2W2, (a+b)2=(2V2)2,即a2+b2+2ab=8, 2ab=8-(a2+b2)=8-4=4, .ab=2, Sa4Bc=3×ab=1. 2 (4)证明：，2b>a,∠BCA=60°， 过B作BD⊥AC于D,如图， ∴CD=专BC=a,BD=VBC-CD=号a,D在线段AC上 AD2+BD2=AB2,+=+-ab=c. :V3ax2+22cx+2b-a=0, .△=(2V2c-4×V3a(2b-a)=8c2-8V3ab+4V3a2 =8(a2+b2-ab)-8V3ab+4v3a2 =2x(4+2W3)a-2×(4+4V3)ab+2×4b2=2[(W3+1)Fa2-2×(W3+1)a·2b+(2b)2] =2[(V3+1)a-2b]P≥0， ∴.关于x的一元二次方程V3ax2+2V2cx+b-a=0必有实数根。东莞市松山湖实验中学 2026-2027学年第一学期第一次教学质量自查试卷 （九年级数学） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. 方程4x² - 2x + 1 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A．4、2、1 B．4、2、-1 C．4、-2、-1 D．4、-2、1 2. 若关于x的一元二次方程x² + mx - 3 = 0的一个根是x = 1，则m的值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3. 将抛物线y = 2x²向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（） A．y = 2(x + 2)² + 3 B．y = 2(x - 2)² + 3 C．y = 2(x - 2)² - 3 D．y = 2(x + 2)² - 3 4. 用配方法解方程x² - 2x - 1 = 0时，配方后所得的方程为（） A．(x + 1)² = 0 B．(x - 1)² = 0 C．(x + 1)² = 2 D．(x - 1)² = 2 5. 一元二次方程x² - x + 1 = 0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6. “少年强，则国强”，为进一步推动学校体育活动的健康发展，2026年东莞市中学生篮球赛如期进行．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（） A．x(x + 1) = 28 B．x(x - 1) = 28 C． x(x + 1) = 28 D． x(x - 1) = 28 7. 关于y = 2(x - 3)² + 2的图象，下列叙述正确的是（） A．顶点坐标为(-3, 2) B．对称轴为直线y = 3 C．当x > 3时，y随x增大而增大 D．与y轴交于点(0, 2) 8. 若二次函数y = -x² + 6x + c的图象经过点A(-1, y₁)，B(2, y₂)，C(5, y₃)，则y₁，y₂，y₃的大小关系正确的为（） A．y₁ > y₃ > y₂ B．y₂ > y₃ > y₁ C．y₁ > y₂ > y₃ D．y₃ > y₁ > y₂ 9.一次函数y₁ = mx + n(m ≠ 0)与二次函数y₂ = ax² + bx + c(a ≠ 0)的图象如图所示，则不等式ax² + (b - m)x + c < n的解集为（） A．x < -1 B．x > 4 C．-1 < x < 4 D．x < -1或x > 4 10. 如图，正方形ABCD的边长为定值，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点．且AE = BF = CG = DH，设A，E两点间的距离为x．四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 方程x² = 4的解是__________． 12. 若抛物线y = kx² - 2x + 1与x轴有两个交点，则k的取值范围为__________． 13. 已知m，n是一元二次方程x² + x - 2026 = 0的两个实数根，则代数式m² + 2m + n的值等于__________． 14. 二次函数y = ax² + bx + c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … -2 -1 0 1 2 … y的值 … -22 -7 2 5 2 … 当x = 3时，函数y的值是__________． 15. 已知线段AB，点M、N在线段AB上（如图）.点M为线段AB的一个黄金分割点，满足AM² = BM·AB；同时点N为线段AB的另一个黄金分割点，满足BN² = AN·AB，当线段AB = 2时，线段MN的长为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。 16. 解方程： （1）x² - 2x - 6 = 0；　　　　（2）3x(x - 1) = 2x - 2． 17. 若关于x的一元二次方程x² - 2(k + 1)x + k² + 2 = 0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为α，β，且(α + 1)(β + 1) = 13，求k的值． 18. 已知二次函数y = -x² + bx + c的图象经过(-1, -2)，(1, 6)两点． (1) 求该抛物线的表达式； (2) 求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19. 如图，二次函数的图象经过点(1, 0)，顶点坐标为(-1, -4)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当-5 < x < 0时，y的取值范围为__________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 20. 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出_______个A种商品，若售价下降x元(x > 0)，每月能售出____________个A种商品； （2）若本月有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 21. 如图，点P是抛物线y = -x²在第四象限内的一点，点A的坐标是(2, 0)，设点P的坐标是(x, y)． (1)求△POA的面积S关于变量x的关系式； (2)当PO = PA时，求△POA的面积； (3)当△POA的面积为2时，求点P的坐标． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。 22.数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动： 如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点…第n行有n个点… 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前n行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例如：求前10行的点数和，S = 1 + 2 + 3 + … + 10 ①， 由①式倒序：S = 10 + 9 + … + 2 + 1 ②， ①+②，得：2S = (10+1)+(9+2)+…+(10+1) = 11×10 = 110，所以S = 55，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前n行的点数和； （2）前______行的点数和是120； 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数之和的规律吗？请说明理由． 23.【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形ACDE中，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长，小文运用勾股定理推可得AE = ，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”． 请解决下列问题： 【模型感知】 （1）请你写出一个“弦系一元二次方程”：________________； 【初步探究】 （2）求证：关于x的“弦系一元二次方程” 必有实数根； （3）如图1若x = -1是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 【模型拓展】 （4）如图2，△ABC的三边分别为a,b,c，∠BCA = 60°，且2b > a.求证：关于x的一元二次方程必有实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $