山西省晋城市第二中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一年级十月月考数学试卷 总分：150 分　　考试时间：120 分钟 出题人：沈飞燕　　审题人：张海霞 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名填写在本试卷和答题卡的指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，直接在答题卡上填写对应题目的答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．保持试卷界面整洁，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．（5 分）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（5 分）已知全集 ，集合 ， 或 ，则集合 （　　） A． B． 或 C． D． 3．（5 分）若 ，，，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（5 分）定义差集 且 ．现有三个集合 ，，，如图所示，则阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）已知两个非空集合 ，，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 7．（5 分）若两个正实数 ， 满足 ，且存在这样的 ， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（5 分）已知集合 ，，则 的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分（两个正确答案选对一个得 3 分，三个正确答案，选对一个得 2 分），有选错的得 0 分． 9．（6 分）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C．不等式 的解集为 D． 10．（6 分）若实数 ，，满足 ，以下选项中正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 11．（6 分）用 表示集合 中元素的个数，对于集合 、，定义 ，若 ，，且 ，则实数 的值可能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（5 分）若 ，则 ______． 13．（5 分）已知实数 ， 满足 ，，则 范围是______． 14．（5 分）已知 ，，若关于 的不等式 在 时恒成立，则 的最小值是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15．（13 分）已知集合 ，． (1)若 ，求 ；（6 分） (2)若存在正实数 ，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数 的取值范围．（7 分） 16．（15 分）已知函数 ，． (1)求关于 的不等式 的解集；（6 分） (2)当 时，设 ，，若 ，求 的取值范围．（9 分） 17．（15 分）已知二次函数 （，， 为实数）． (1)若 的解集为 ，求二次函数的根；（6 分） (2)若对任意 ， 恒成立，求 的最大值．（9 分） 18．（17 分）对于二次函数 ，若 ，使得 成立，则称 为二次函数 的不动点． (1)求二次函数 的不动点；（2 分） (2)对于二次函数 ， ①当 时，函数 有唯一的不动点，求实数 的取值范围；（6 分） ②若函数 有两个不相等的不动点 ，，且 ，，求 的最小值．（9 分） 19．（17 分）2025 年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．据调查，国内某公司出售一款 2025 年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用．假设购进该款产品全部售出，若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过 30 万件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为 ． (1)当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）（2 分） (2)写出利润 （万元）关于购进产品数量 （万件）的函数解析式；（6 分） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？（9 分） 高一十月月考数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级十月月考数学试卷　参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B D A C C A AB AD ABD 1．（5 分）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定：改量词（）、否结论，条件 不变． 【解答】“，”的否定是“，”，选 A． 2．（5 分）已知全集 ，集合 ， 或 ，则集合 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】先求 的补集，再与 求交集． 【解答】由 或 得 ， 又 ，所以 ，选 A． 3．（5 分）若 ，，，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】逐项举反例或用不等式性质证明． 【解答】A：当 时 ，错误； B：由 得 ，两边同除以 得 ，正确； C：取 ，，，则 ，错误； D：取 ，，则 ，错误．故选 B． 4．（5 分）定义差集 且 ．现有三个集合 ，，，如图所示，则阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先看清阴影落在哪些集合里：阴影在 内，又在 或 内，但不在 内． 【解答】阴影部分位于集合 中，且位于 中，但不属于 ， 即 与 的公共部分， 所以阴影部分表示的集合是 ，选 D． 5．（5 分）已知两个非空集合 ，，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 是 的充分不必要条件即 且 ，注意 的条件． 【解答】因为 非空，所以 ，即 ； 由 得 且 ，即 ， 结合 得 ，此时 始终是 的真子集， 所以 ，选 A． 6．（5 分）满足 的集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出 必须包含的元素，再数可选元素的子集个数． 【解答】由 得 或 ，所以 ， 又 ，故 由 ， 加上 的任意子集构成， 所以 的个数为 ，选 C． 7．（5 分）若两个正实数 ， 满足 ，且存在这样的 ， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求 的最小值，再把“有解”转化为 大于这个最小值． 【解答】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号；结合 得 ，， 所以 的最小值为 ， “存在这样的 ， 使 ”等价于 ， 即 ，解得 或 ，选 C． 8．（5 分）已知集合 ，，则 的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 的充要条件，再找它的必要不充分条件（对应集合的真超集）． 【解答】由 得 ，即 ，所以 ． 当 ，即 时，， 成立； 当 时，，由 得 且 ，即 ， 所以 的充要条件是 ； “”对应的集合 真包含 ，故它是必要不充分条件，选 A． 9．（6 分）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式 的解集为 C．不等式 的解集为 D． 【答案】AB 【分析】由解集的两个端点得两根，用韦达定理把 、 用 表示，再逐项判断． 【解答】由解集为 或 知 ，且 、 是方程 的两根， 由韦达定理 ，，即 ，， A：，正确； B： 即 ，因为 ，所以 ，正确； C： 即 ，即 ，解得 或 ，错误； D：，错误．故选 AB． 10．（6 分）若实数 ，，满足 ，以下选项中正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】AD 【分析】逐项用基本不等式求最值，注意等号成立的条件． 【解答】A：，所以 ，当 时取等号，正确； B：，当 时取等号，即最小值为 ，错误； C：，当且仅当，即时等号成立，这与矛盾，错误； D：，所以 ，当 时取等号，正确．故选 AD． 11．（6 分）用 表示集合 中元素的个数，对于集合 、，定义 ，若 ，，且 ，则实数 的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先判断 ，再按判别式分类讨论 ． 【解答】方程 的判别式 ，恒有两个不同的实根，所以 ． ：由 得 或 ；由 得实根需 ． ①当 时，，，，符合； ②当 时，，，，不符合； ③当 时， 有重根 ，，，，符合； ④当 时， 有 4 个元素，，不符合． 所以 或 ，选 ABD． 12．（5 分）若 ，则 ______． 【答案】 【分析】由集合相等且各含 3 个元素，先定出 与 的对应关系，再求解并检验互异性． 【解答】因为 ，且 （分母不为零）， 所以 只能由 提供，即 ， 此时两集合分别为 与 ， 由集合相等知 或 ；若 ，则左边只有两个元素，与右边三个元素不等，舍去， 所以 ，，． 13．（5 分）已知实数 ， 满足 ，，则 范围是______． 【答案】 【分析】把 表示成 与 的线性组合，再用同向不等式相加． 【解答】设 ，比较系数得 ，，解得 ，， 即 ， 由 得 ，又 ， 所以 ，即 的范围是 ． 14．（5 分）已知 ，，若关于 的不等式 在 时恒成立，则 的最小值是______． 【答案】 【分析】二次式 在 上恰有一个零点，要使其乘积恒非负，两个因式的零点必须重合． 【解答】由 的两根之积为 知，它在 上有且只有一个零点 ，且 （），（）． 同理 （）在 处变号， 要使 在 上恒成立，两个变号点必须重合，即 ， 所以 ，即 ，， 于是 ，当 时取等号， 所以 的最小值是 ． 15．（13 分）已知集合 ，． (1)若 ，求 ；（6 分） (2)若存在正实数 ，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数 的取值范围．（7 分） 【答案】(1)；(2) 【分析】先把 化简；(1)求出 再求交集；(2)“ 是 的必要不充分条件”即 且 ． 【解答】由 得 ，所以 ． (1)当 时，，， 所以 ． (2)由题意 且 ，即 ， 需 且 ，即 且 ， 所以 ． 16．（15 分）已知函数 ，． (1)求关于 的不等式 的解集；（6 分） (2)当 时，设 ，，若 ，求 的取值范围．（9 分） 【答案】(1)答案见解答（按 分类讨论）；(2) 【分析】(1)因式分解后按 的正负与两根大小分类；(2) 是函数值大于 的 的集合，先解出 ，再由 列不等式． 【解答】(1)原不等式即 ． 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，原不等式化为 ，且 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． (2)，即 ． 因为 ，若 ，则函数值恒小于 ，，不合题意； 所以 ，结合 得 ，此时 ， 由 知左端点小于 、右端点大于 ． 左端点 ：因为 ，等价于 ，即 ， 当 时右端非正，恒成立；当 时两边平方得 ，即 ，解得 ； 右端点 ：等价于 ，即 ， 当 时右端非正，恒成立；当 时两边平方得 ，即 ，解得 ， 所以 时右端点总大于 ， 综上 ． 17．（15 分）已知二次函数 （，， 为实数）． (1)若 的解集为 ，求二次函数的根；（6 分） (2)若对任意 ， 恒成立，求 的最大值．（9 分） 【答案】(1)二次函数的根为 和 ；(2) 【分析】(1)由解集端点即方程的两根；(2) 恒成立得 且 ，再用基本不等式放缩． 【解答】(1)因为 的解集为 ，所以 ， 且 、 是方程 的两根，即二次函数的根为 和 ． (2)对任意 ， 恒成立，则 且 ，即 ， 由 及 知 ， 由基本不等式 ， 所以当 时 ；当 时 ； 当 且 （即 ）时取到等号， 所以 的最大值为 ． 18．（17 分）对于二次函数 ，若 ，使得 成立，则称 为二次函数 的不动点． (1)求二次函数 的不动点；（2 分） (2)对于二次函数 ， ①当 时，函数 有唯一的不动点，求实数 的取值范围；（6 分） ②若函数 有两个不相等的不动点 ，，且 ，，求 的最小值．（9 分） 【答案】(1) 和 ；(2)① 或 或 ；② 【分析】(1)令 解方程；(2)①把不动点问题化为方程在 内有唯一解；②用韦达定理把所求式化为关于 的函数． 【解答】(1)令 ，即 ，解得 或 ，所以不动点为 和 ． (2)①，其不动点满足 ，即 ， ，方程的两根为 ，其中一根恒为 ，另一根为 ， 要使 内有唯一的不动点，因 ，需 ， 即 或 ，解得 或 ； 当 时两根重合为 ，也只有一个不动点，符合， 所以 或 或 ． ②不动点满足 ，即 ， 由两根 ， 都为正且不相等得 ，，，所以 ， ， 令 ，则上式 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ． 19．（17 分）2025 年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．据调查，国内某公司出售一款 2025 年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用．假设购进该款产品全部售出，若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过 30 万件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为 ． (1)当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）（2 分） (2)写出利润 （万元）关于购进产品数量 （万件）的函数解析式；（6 分） (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？（9 分） 【答案】(1) 万元；(2)答案见解答；(3)购进并销售 万件时利润最大，最大利润为 万元 【分析】先由“80 元/件时售出 15 万件、每降价 1 元多售 0.5 万件”把单价表示成销量 的函数，再分段写出利润． 【解答】设售价为 元，销量为 万件，则 ，即 ，销售收入为 万元． (1)当 时，， 利润 （万元）． (2)当 时，成本为 万元， ； 当 时，， 所以 （），（）． (3)当 时，，所以 时 取最大值 ； 当 时，令 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 因为 ，所以购进并销售 万件时利润最大，最大利润为 万元． 高一十月月考数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $