山西晋城市第一中学校2026-2027学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题

2026一2027学年（上)高一年级阶段性测试（一) 数学·答案 1.A 由全称量词命题的否定可得出结论 由全称量词命题的否定可知，x>0,x2+2x-3>0的否定是3x>0,x2+2x-3≤0. 2.C 由x-x-2=(x-2)(x+1)<0,解得-1<x<2,则B={x-1<x<2, 又A=1,2,3,4},所以A∩B={. 3.A 若a>b,c>d,则a+c>b+d,即充分性成立： 若a+c>b+d,例如a=2,b=c=d=1,满足条件， 但a>b,c>d不成立，即必要性不成立： 综上所述：“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件. 4.C 结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 影子关系案合完义可知，集合从-®}12小中，为影子关系的类合有 4--传-很-号2时，芳-1 故选：C 5.D 将原不等式2x>1移项得2x-1>0, x-6 x-6 通分化简为2x--可_+60， x-6x-6 等价于(x+6)x-6)>0,解得x<-6或x>6, 因此不等式解集{x|x<-6或x>6}. 6.A 利用集合的关系与运算，即可求出x的值. 若x2+x+1=x,则x=-1,显然满足题意： 若x+x+1=x,则x2+1=0,不成立： 若x2+x+1=3,解得x=-2,或x=1,若x=1,则不满足元素的互异性，所以x=-2.故选A. 7.C 根据不等式恒成立分类求出k的取值范围，再由充分不必要条件推出集合间的包含关系即可确定答案 由“关于x的不等式22+：-。<0对一切实数x都成立”，可分为两种情况： 8 ①当k=0时不等式为- <0恒成立，符合题意： 3 答案第1页（共7页） [k<0 ②当k≠0时，依题意需使 △=k2-8kx 3 <0’解得-3<k<0, 8 综上可得，-3<k≤0 依题意，要使选项对应的集合为{k|-3<k≤0}的真子集，故只有C项：{k|-3<k<O}符合 8.B 作出文氏图，由集合容斥原理可得。 设仅只使用过C类工具的职场人士的人数为x, 由图可得： 28+7+8+12+x+(25-x)+x=100,解得x=20, 所以B类和C类工具都使用过的人数为13， A类 B类 28 P 12 25-x C类 9.ABD 根据命题真假判断、全称命题真假判定、充分必要条件的推导，需结合不等式性质逐一分析选项可得， 选项A:若x>0,正数的平方恒为正，故x2>0一定成立，该命题是真命题，A正确； 选项B:对任意实数x,都有x2≥0，因此x2+1≥1>0恒成立，该全称命题是真命题，B正确： 选项C:解不等式x2>1,得x>1或x<-1,故x2>1无法推出x>1, 但x>1可以推出x2>1,因此“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件，C错误； 选项D:若x>1且y>1,根据正数同向不等式的可乘性，可得y>1×1=1,充分性成立： 若xy>1,例如x=3,y=0.5,满足y=1.5>1但不满足y>1,必要性不成立， 因此“x>1且y>1”是“y>1的充分不必要条件，D正确 10.BC 对于A,从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有x=1,从而A错误： 对于B,由图象知其定义域为[-3,1)U(1,2],值域为[-1,0)(0,2]，符合题意，从而B正确： 对于C,由图可知f(0)=1,从而定义域为[-3,1)U(1,2],值域为[-1,0)U(0,2],符合题意，从而C正确： 对于D,由图，当x=一1时，对应∫(x)有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误 11.ABC 对于选项A,由题意得x2-2x-8<0,解得-2<x<4,即A={x-2<x<4}, 由x2-2+ad2-1<0,化简得(x-a-1)(x-a+1)<0,解得a-1<x<a+1, 即B={xa-1<x<a+l}, 答案第2页（共7页） 当a=1时，B={x0<x<2},则A∩B={x|0<x<2},所以选项A正确： a-1≥-2 对于选项B,AUB=A即BCA,可得 a+1s4,解得-l≤a≤3，所以选项B正确： 对于选项C,当A∩B=时，可得a-1≥4或a+1≤-2，解得a≤-3或a≥5，所以选项C正确： 对于选项D,可知当RA={k≤-2或x≥4号， 当(CRA)nB≠⑦时，可得a-l<-2或a+1>4,解得a<-l或a>3,所以选项D错误. 12.7 因为M={-1,0,1},所以M的真子集个数为2-1=7. 13.-1<a≤0或-6≤a<-5 x2+(3-a)x-3a=(x+3)(x-a)<0, 当a<-3时，不等式的解集为a<x<-3,由题意可知-6≤a<-5: 当a>-3时，不等式的解集为-3<x<a,由题意可知-1<a≤0. 14.-05 变形后，由基本不等式进行求解 4 9 马a09-4+》14b9g3 2+b (a+b)2+b2 (a+b2、。9(d+b) 因为 ->0 >0. a2+b2 (a+b)2 4 9 1 4(a+b29(a2+b2） 所以ab 21 13 a+b2 (a+b) a2+b2 a+b) 当且仅当4a+b-9(r+b) d+6a+b,即a+6-4ab时，等号成立， 4 故b+r(a+b) 的最小省为号 15.(1) d+b-(a2b+ab2）=(d2-a2b)+(b-ab2)=ad(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(d-b2)=(a-b)(a+b), a>0,b>0,.a+b>0, 所以(a-b)(a+b)≥0，即a+b≥ab+ab2,当且仅当a=b取等号，得证. (2)(2+V7=9+24,(V3+V6=9+28, 答案第3页（共7页） :4<8,9+2w4<9+2⑧，即(V2+<(5+6, 又√2+万>0，V5+√6>0， 所以√2+V万<3+6 (1)略 (2)略 16.(1)B={-1,0,1} (2)存在，a2027+b2026=-1 (1)先求得U={x∈☑-2≤x≤7}，再结合集合交并补运算求解即可； （②)由题知0会-1Q小，形结合来合相等求解知可 (1)解：因为x-5x-14=（x-7)(x+2)≤0，解得-2≤x≤7， 所以U={-2,-1,0,1,2,3,4,5,67}, 因为(A)n(B)=(AUB)={-2,5,6,7}, 所以AUB={-1,0,1,2,3,4, 因为AO(CB)={2,3,4},所以2,3,4∈A,2,3,4B, 综上B={-1,0,1}: (2)解：由于B={1,01,P=a1cB,根据子集的概念， b 所以{a,2,1={-1,0,1},所以a≠0且a≠1， a 所以2=0,4=-1，即b=0,4=-1, a 因此存在实数a=-1,b=0,此时a227+b2026=-1. 经 (2) 当a<0时，y>0的解集为 22, 当a=0时，y>0的解集为(-0,2)， a 当0a<时，ys0的解集为（画合 当a=时，y>0的解架为x2: 当a>时，y0的解袋为日2+o) (1)利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可： (2)因式分解得到y=(ar-1)(x-2),根据a的不同取值范围分类讨论即可. 答案第4页（共7页） （1)不等式v>寻的解集为R,即am2-(2a+1x+?0恒成立： 9 4 当a=0时，-t+?>0的解集不为R,不合题意； 4 a>0 9 当a≠0时，m2-(2a+1)x+二>0恒成立，则 4 △=[(2a+1P-4xax90 4 解得}a1,所以实数a的取位范用为（存 (2)由题意得y=ax-(2a+1)x+2=(ax-1)(x-2), 当a=0时，y=-x+2>0解得x<2; 当a>0时，y=(ar-1)(x-2)是开口向上的抛物线，两根分别为二和2， 当日2，a心号时，少>0的解为x支2， a 当。-2，即a=号时，>0的解为x+2, 2,即0<a<时，y>0的解为x<2更 a 2 当a<0时，y=(-1)(x-2)是开口向下的抛物线，两根分别为上和2，且上<2， 此时y>0的解为二<x<2; 综上，当a<0时，y>0的解集为22，当a=0时，y>0的解集为（←0,2 当0<a<分时，y>0的解集为（←2心a月 2 当a,时，y>0的解集为x≠2 当a>时.0的解集为日(2四 a) 18.(1)A×B=(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3)},B×A=1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}: (2)a≤18 (1)由新定义即可直接求解： (2)通过定义确定[A]=1,[B]=m或[A]=m2,[B]=1,再分两类情况讨论即可. (1)因为A={0,1},B={1,2,3}且A×B={(ab)川a∈A,b∈B}, 所以A×B={(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3)}, B×A={1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}: (2)[A×B]=m,[A]≠[B],且m为质数， [A]=1,[B]=m或[A]=m2,[B]=1, 答案第5页（共7页） 当[A]=1,[B]=m时， 则由新定义可知：[B×B]=m4,[A×B]=m, [4×A]+81×[B×B]_1+81m-1 +81m2≥2 1 [A×B] 2 m×81m2=18, 当且仅当证8m,即m专时取等号， 又m为质数，.m≥2，所以等号不成立： 所以此时4+8BxB]18. Ax B] 当[A=m,[B]=1时， 则由新定义可知：[B×B]=1,[A×B]=m2, [AxA4+81×B×B_m+81-m㎡+81≥2，m2 281 2 =18, 「A×B] 2 2 当且仅当m2=81 即m=3时取等号； 综上可知a≤18. 19.)A=f 2 ②2<a≤3或a< 3 2 (3) 当0a站，不等式的解类为 当a>2时，不等式的解集为 2 (1)根据一元二次不等式的解法求解即可： (2)根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合A,再结合A中有4个整数求解即可： 1 (3)由2∈A可得0<a<一或a>2,进而分情况讨论求解即可. （1①)当a=2时，不等式为x-1<0, 即-240，所以对<2， 答案第6页（共7页） (2)当a=1时，该不等式可化为(x-1)<0,即A=0,不满足题意： 当a>1时，该不等式可化为-a0. 所以后ka,则4--a<<或a a a 因为a>1,所以-a<-1,-1<-1<0,0<1<1, a 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1,2，-1，-2， 则2<a≤3： 因为0<4<1，所以-1<-1，-1<-a<0, 171 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1,2，-1，-2， 则2<43.即时a号 a 综上所达，a的取值花甜是a2<a≤3减对a分} 1 (3)因为a>0,2∈4，所以5-2女+0，解得0<a<或a>2. 不等式a-1)r+1>1,可化为a-2)x+20, x-1 x-1 该不等式等价于(x-1)[(a-2)x+2]>0, 当0<a<时，a-2<0,该不等式等价于-)x+之） 2 20, 因为1-()120，则- a-2a-2 2>1, 所以原不等式的解集为 <x<-2 -29 当a>2时，a-2>0, 2,<0,解不等式得>1或x<-2 a-2 -2' 所以不等式的解集为1或 上，当0ea宁时，不琴式的为<} 当a>2时，不等式的解架为>1或<} 答案第7页（共7页） ( ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ )绝密★本科目考试启用前 2026—2027学年（上）高一年级阶段性测试（一） 数 学 考生注意： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（    ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 5．不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 6．已知集合，，若，则实数（   ） A．或 B．1或2 C．2 D．-2 7．下列条件中，是“关于的不等式对一切实数都成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（    ） A．5 B．13 C．15 D．20 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“，”是真命题 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 10．已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是或 D．若，则实数的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，则的真子集个数为________． 13．若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的取值范围是__________． 14．已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，证明：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 16．（15分） 已知全集，集合，，满足，． (1)求集合； (2)是否存在实数，满足集合，若存在求的值；若不存在请说明理由． 17．（15分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式： 18．（17分） 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． (1)若，，求与； (2)若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. (1)若，求A； (2)若A中有4个整数，求a的取值范围； (3)若，解关于x的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $