精品解析：广西桂林市广西师范大学附属外国语学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027 学年广西师范大学附属外国语学校 10 月月考试卷　高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A. B. C. D. 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是 D. 设，，且，则的最小值是 11. 已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 在 上单调递增 C. D. 满足不等式 的 的取值范围为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若函数，则___________. 13. 不等式的解集是________． 14. 若，，，，使则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知正实数x，y满足. （1）求的最大值； （2）若不等式有解，求实数的取值范围. 17. 已知函数，且． （1）求a； （2）用定义证明函数在上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 18. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 19. 为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 （1）当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； （2）若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； （3）设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年广西师范大学附属外国语学校 10 月月考试卷　高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可得或（舍去），解出，由集合的互异性检验即可得出答案. 【详解】因为，， 所以或（舍去）， 则．即 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是， 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 5. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断B；通过特值法可判断ACD. 【详解】取，则，此时，故A错误； 如果，由不等式的性质可得，故B正确； 当时，，故C错误； 取，得，此时，故D错误． 故选：B． 6. 若对于任意实数都有,则 A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对于任意实数都有，令得到的方程组，求出，由此能求出的值． 【详解】解：对于任意实数都有， ， 解得， ． 故选． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 8. 已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，变形可得，设，根据单调性的定义，可得的单调性，将条件整理为，根据的单调性，即可得答案. 【详解】由，得，即， 设，则，所以在R上单调递增， 由，得， 因为，所以， 由，可得， 因为在R上单调递增，所以，解得. 故选：A 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：的定义域与值域都是，相同； B：的定义域与值域都是，相同； C：的定义域为，值域为，不同； D：的定义域与值域都是，相同． 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值成立的前提条件是“一正、二定，三相等”判断各选项． 【详解】A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确； B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错； C. 当时，，最小值显然不是正值，C错； D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式是解题关键，基本不等式求最值时有三个条件：一正二定三相等，缺一不可，但用来证明不等式可以没有相等的条件，如A中不等式可能不考虑等号成立的条件． 11. 已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 在 上单调递增 C. D. 满足不等式 的 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】对于选项A，在中令得； 令得，即， 所以，则，故A错误； 对于选项B，把条件写成， 任取，则，所以 故在上单调递增，故B正确； 对于选项C，由，可得每两项和为，所以该和式为，故C正确； 对于选项D，， 由单调性得，结合解得，故D正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求的值，然后根据分段函数代入可求结果. 【详解】解：，则. 故答案为：1 13. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 若，，，，使则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒ 【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集． 在上，二次函数的值域是， 单调递增的一次函数的值域是， 则， 则且，解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则或， 当时，， 此时或. 【小问2详解】 因为，则. 当时，，解得； 当时，，解得， 由可得，解得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知正实数x，y满足. （1）求的最大值； （2）若不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用基本不等式计算即可求解； （2）根据“1”的代换可得，利用基本不等式计算可得，则，解分式不等式即可. 【小问1详解】 ，， ，，得， 当且仅当即，时等号成立， 的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即，时，等号成立， 的最小值为3. 由题意得， ，解得， 的取值范围是. 17. 已知函数，且． （1）求a； （2）用定义证明函数在上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 由（1）知，任取，，且， 则， 因为，且，可得，，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入函数，求解即可. （2）利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解. （3）由（2）知，得到函数在上为单调递增函数，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 因为函数，且，可得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，函数在上为单调递增函数， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 【答案】（1）120 人 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，得出，再用已知条件得出结果； （2）由条件②得，由条件③得，假设存在满足上述条件，则上述两个不等式恒成立，求出即可. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元， 则 ， 整理得 ， 解得 ， 因为 且， 所以 ， 故， 所以调整后的研发人员的人数最少为 120 人； 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 ， 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少， 得 ， 解得 假设存在这样的实数， 使得技术人员在已知范围内调整后， 满足以上两个条件， 因为 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 所以 ，又因为（），所以. 所以. 19. 为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 （1）当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； （2）若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； （3）设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） 在区间上为平缓函数，证明： 当时，， 对任意， ， 因为，所以，得， 所以，满足平缓函数定义， 所以时，在区间上为平缓函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据平缓函数定义即可判断； （2）由平缓函数定义将题意转化为恒成立问题即可； （3）根据对称轴与区间的关系求出，依据定义求，最后再利用分类讨论思想解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由定义得， 令，，则恒成立 即，需，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由于， 当时，； 当时，； 当时，； 由定义可得， 令，，则恒成立， 即对恒成立， 比较与的大小， 当时，；当时，； 由题意得， 当时，无解； 当时，若，有，得； 若，有恒成立； 即； 当时，恒成立， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $