精品解析：广西桂林市国龙外国语学校2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

广西桂林市国龙外国语校2026年9月高一月考考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误；设， 显然，但，B错误； 为无理数，故C正确； 或为点集，而2为实数，故D错误. 2. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得，故定义域为 4. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可求得的值，进而得到结果. 【详解】不等式的解集为， 方程的两根分别为和， ，即，，. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数，令，则. 6. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中条件，得到是的真子集，列出不等式，即可得出结果. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，解得， 故选：B. 【点睛】结论点睛： 由充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 7. 已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 8. 设，函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对m分类讨论，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可. 【详解】， 当时，图象如A选项； 当时，时， 因为在单调递增，得在单调递增； 时，令，得为对勾函数， 所以在单调递增，单调递减， 所以根据复合函数单调性得在单调递减，单调递增，图象C符合； 当时，时， 因为在单调递减，故在单调递减； 时为对勾函数， 所以在单调递减，单调递增，图象D符合； 由CD可知当时，在不会单调递减，B不符合. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 与函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】若两个函数为同一函数，则定义域相同，解析式相同，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】的定义域为R，当时，，当时，， 选项A：，由，得，且，故A正确； 选项B：，定义域，与的定义域不同，故B错误； 选项C：，定义域为R，解析式与相同，故C正确； 选项D：，定义域为R，解析式与相同，故D正确； 故选：ACD 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. 存在整数x，y，使得 C. ，二次函数的图象都关于轴对称 D. 若命题，则的否定为： 【答案】AC 【解析】 【分析】逐项判断各选项的正确性即可. 【详解】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 故选：AC. 11. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】通过基本不等式，依次判断各选项即可. 【详解】对于A，由平均值不等式得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由于，令，则，故C错误； 对于D，已知，则且， 因此， 当且仅当，即时取等号，符合题意，故D正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，．若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，，且， 所以，所以. 13. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式． 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设全集，，； （1）求，. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的运算求解. （2）利用给定运算结果，结合元素与集合的关系求解. 【小问1详解】 由，，得， 而全集，则或，所以. 【小问2详解】 ， 因为，，所以且， 所以或， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数满足，且. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【答案】（1）， （2） 由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）． 【解析】 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （2）由第一问得，用单调性定义证明：设，作差并判断符号，从而证明函数在上单调递增； （3）由第二问知在上递增，最大值为；将“存在使不等式成立”转化为，解不等式求出的最大值． 【小问1详解】 由题意得方程组：， 即， 解得：，. 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得 ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 17. 已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)已知二次函数顶点，设顶点式，代入求出参数a得到解析式； (2)直接代入解析式，解一元二次不等式，利用平方大于0的性质写出解集； (3)先整理，由区间不单调求出对称轴t的取值范围，再比较区间两端点函数值，分段写出最大值. 【小问1详解】 由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. 【小问2详解】 由或， 或， 所以，原不等式的解集为. 【小问3详解】 . 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 18. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【小问1详解】 甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. 【小问2详解】 当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 19. 已知是定义域为的函数，实数，定义函数：. （1）若，求函数的值域； （2）若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若满足：①，且当时，f(x)0；②对于任意满足，且当时，；求证：函数在上是严格增函数. 【答案】（1） （2） （3） 设，分情况讨论：当时，， 因为当时，， 所以，则 ， 当时，令， 则， 因为，所以， 又因为当时， ，所以，即 移项可得 ，即； 综上，对于任意的都有， 所以函数在区间上是严格增函数. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的表达式，再根据二次函数的性质求其值域； （2）先求出的表达式，再根据绝对值函数的性质求出其在上的值域，最后根据不等式恒成立求出实数的取值范围； （3）根据严格增函数的定义，设，证明. 【小问1详解】 已知，根据可得： ， 因为， , 所以 ，展开并化简可得： ， 因为， 根据二次函数的性质，在上单调递增， 所以当时，取得最小值0； 当时，取得最大值为；所以函数 )的值域为； 【小问2详解】 已知，根据可得： ； 因为， 所以 ， ①当时， 则 ； ②当时， 则； 所以， 当时， ；当时，单调递增， 所以 综上， )的值域为， 因为 对任意的恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西桂林市国龙外国语校2026年9月高一月考考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 与函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. 存在整数x，y，使得 C. ，二次函数的图象都关于轴对称 D. 若命题，则的否定为： 11. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，．若，则______． 13. 设函数，则______． 14. 定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设全集，，； （1）求，. （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足，且. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 17. 已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 18. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 19. 已知是定义域为的函数，实数，定义函数：. （1）若，求函数的值域； （2）若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若满足：①，且当时，f(x)0；②对于任意满足，且当时，；求证：函数在上是严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $