精品解析：四川泸州市古蔺县蔺阳中学校2026-2027学年高三上学期10月质量监测数学试题

2024级高三上期10月质量监测 数学试题 命题人 刘超 审题人 刘鑫 陈静 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 注意事项：请将选择题、填空题答案答在答题卡相应的地方，不能答在草稿子、试题卷上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题求解. 【详解】，的否定：为，. 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 3. 若的展开式中常数项为15，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，则，解得 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 44 B. 88 C. 55 D. 110 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，， 又，则，解得， 所以. 5. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】∵ 考试的成绩服从正态分布， ∴ 考试的成绩关于对称，， ， ∴ 该班学生数学成绩在120分以上的人数为. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又， 因此，故在上为单调递增函数， 因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出，，，判断A，由条件概率公式和全概率公式依次判断B、C、D选项即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C不正确； 则，故D正确； 故选：D 二、多选题: 本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. ，则 【答案】BD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误， 因为，所以，故B正确， 因为，，所以，故C错误， 因为，所以，故D正确. 10. 已知盒子中有N件产品，且次品和正品数相等，现从中逐个抽取n个样品．方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A. 若，，则， B. 若为偶数，则当时，最大 C. D. 若，，则两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据有放回与不放回抽样的特点，分别确定二项分布与超几何分布，利用相邻概率之比判断最大概率，并比较两种分布的期望及各次抽样的次品概率. 【详解】A. 不放回抽样时，服从超几何分布，故，其中， 例如，而所给公式在时的值为，因此A错误； B. 有放回抽样时，各次抽取相互独立，且每次取得次品的概率为， 所以，. 当时，， 当为偶数时，概率随的增大先增后减，并在时达到最大值，因此B正确； C. 由二项分布与超几何分布的期望公式，，， 所以，因此C正确； D. 有放回抽样时，第三次抽到次品的概率为， 不放回抽样时，每件产品出现在第三次抽取位置的可能性相同， 故第三次抽到次品的概率为，因此D正确. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数，得，从而求得，判断A；由题意得，即可判断的周期性，从而判断B；由题意分析函数的对称性，从而判断C；由，求得，从而判断D. 【详解】由为奇函数，得，所以，所以，所以A正确； 因为， 所以.所以，所以B错误. 由为奇函数，得函数关于原点对称， 所以函数关于点对称， 函数关于点对称. 因为在上单调递增，所以在上单调递增. 所以函数在上单调递增. 又函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.所以C正确. 因为， 所以.所以D正确. 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面向量的夹角为，若，，则_____ 【答案】 【解析】 【详解】平面向量的夹角为，且，， 所以. 13. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用中线将三角形分成面积相等的两部分，再由三角形面积公式求出，从而得到. 【详解】因为为的中点，所以. 由三角形面积公式，得. 代入，，得，解得. 因此. 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，， 所以， 所以. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案； （2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 【小问2详解】 解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 所以， 因为，所以， 所以，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值； 所以，函数在区间上的值域为 16. 已知数列的前项和为，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合和的关系化简可得数列是等比数列，进而求解即可； （2）先得到，再利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 两式相减得，，即，， 当时，，即，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 【小问2详解】 由， 则 . 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合两角和的正弦公式，对已知条件进行边角互化，可得，，再利用余弦定理即可判断，从而得出证明；（2）根据（1）中所求，可得，再利用面积公式建立等量关系，即可求出，从而求出，即可求出三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由（1）知，则， 由，得，所以，则， 所以，因此，所以的周长为9． 18. 为提高学生的学习热情，某学校实行一周三问，实行后，同学们学习热情高涨，每人每周都至少问了一个问题.学校规定：若某同学一周问的问题个数不满三个，则记1分；若问的问题个数大于或等于三个，则记2分．据统计，一周问的问题不满三个的同学人数是学校人数的，假设每个同学问的问题不满三个和三个及以上相互独立，频率视为概率． （1）从学校中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从学校中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从学校中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 2 3 4 . （2） （3）是，这个常数是. 【解析】 【分析】（1）先确定2人得分和的全部可能取值，结合独立事件概率公式计算各取值对应概率，得到分布列后代入期望公式计算； （2）先将“总分分”转化为“恰好1人得2分”的场景，写出的通项，再用错位相减法求解等差乘等比型数列的前项和； （3）通过分析最后一人的得分建立递推关系，用特征方程法求出的通项，再根据指数项的衰减性得到极限值. 【小问1详解】 的可能取值为、、， ，，， 故的分布列为 2 3 4 . 【小问2详解】 个人合计得分，等价于恰好1人得2分、其余人得1分， 因此， 设，令， ， ， 两式相减得， 整理得，因此. 【小问3详解】 考虑最后一个人的得分，若最后1人得1分，则前面的人合计得分，概率为； 若最后1人得2分，则前面的人合计得分，概率为； 因此递推关系为， 特征方程为，解得根，， 故通解为， 代入初始条件、，解得，， 即， 当时，，因此趋近于常数. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，无零点；或时，有1个零点；当时，有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再点斜式得出切线方程； （2）分时，或时，时，结合函数单调性得出零点个数； （3）分两种情况讨论，利用函数单调性计算求解即可. 【小问1详解】 由已知，，， 所以切线方程为. 【小问2详解】 时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. 【小问3详解】 当时，由得， 所以，等价于对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又， 对恒成立， 所以，时成立， 当时，，显然成立. 当时， 等价于或， 即或 对于，取，得，与矛盾，故不成立， 对于，即，对恒成立， 令，则， 在内单调递减， ，所以，， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三上期10月质量监测 数学试题 命题人 刘超 审题人 刘鑫 陈静 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 第一部分（选择题 共58分） 注意事项：请将选择题、填空题答案答在答题卡相应的地方，不能答在草稿子、试题卷上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中常数项为15，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 44 B. 88 C. 55 D. 110 5. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题: 本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. ，则 10. 已知盒子中有N件产品，且次品和正品数相等，现从中逐个抽取n个样品．方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A. 若，，则， B. 若为偶数，则当时，最大 C. D. 若，，则两种方案中第三次抽到次品的概率均为 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的是（　　） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平面向量的夹角为，若，，则_____ 13. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，，，则_____ 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的最小正周期为，且. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 16. 已知数列的前项和为，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 18. 为提高学生的学习热情，某学校实行一周三问，实行后，同学们学习热情高涨，每人每周都至少问了一个问题.学校规定：若某同学一周问的问题个数不满三个，则记1分；若问的问题个数大于或等于三个，则记2分．据统计，一周问的问题不满三个的同学人数是学校人数的，假设每个同学问的问题不满三个和三个及以上相互独立，频率视为概率． （1）从学校中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从学校中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从学校中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $