四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案 一、选择题 2 6 7 8 9 10 11 B D D D A C A B ABD BD ACD 二、填空题 12. 13.2 14.60 三、解答题 15.(1)函数 ()-2sinweo+2sin-co2imx …3分 T=2n 所以函数f()的最小正周期为=2 =π 4分 2k-s2x-T≤2m+ π 3 2,kEZ, 5分 kn-sxsh+ 5π 可得 12 2,k∈Z, 即有f()的单调递增区间为 12.k∈Z .6分 in24-=2,由 2)(4)=5,a=25,可得2 A-π=π A=B+C=2R 则 33,即3， 3 …7分 a b 2V3 =4 sinA sinB sinC sin 由正弦定理得， 3 所以b=4sinB,c=4sinC, 8分 5-bcsind1xxsinxsin 所以△ABC面 2 2 2 =4v3sinB 3 2 =3sin2B-3cos2B+3-23sin2B-+ 6 …10分 <2B-<7n in2B-π】 ≤1 所以6 66,所以 6 ,所以S≤3V3 故△ABC面积的最大值是3V5 …13分（几何法得出最大值，也给分） 16.证明：(1)因为PA=PD,点O为AD的中点，所以P0⊥AD …1分 在直角梯形ABCD中，连接CO,因为ADIIBC,AB⊥AD 所以ABCO是矩形，即：CO⊥AD, 在Rt△ODC中，CD=22,OD=2,所以OC=2 …2分 在△POC和△POD中，PC=PD,PO=PO,OC=OD,所以△POC≌△POD 所以∠POC=∠POD=90°，即P0⊥OC, …5分 又OC∩AD=O,OC,ADc平面ABCD, .6分 所以PO⊥平面ABCD; …7分（未指明相交扣1分) (2)以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设P0=a,则O(0,0,0),P(0,0,a）.D(0,2,0)C(2,0,0) 8分 设平面PCD的法向量为m=(x,y,2),CD=(-2,20),CP=(-2,0a) CD·m=-2x+2y=0 由C乎m=-2x+az=0,取x=a,得m=(a,a2) …10分 易知平面CMD的一个法向量为元=(0,0，) …11分 设二面角P-CD-A的大小为B, 1 cos0-eos((m,F匠++4了 …13分 解得a=2 …5分 17.(1)设事件A表示第一次取出时为可充电池，事件A表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示 第二次取出时为一次性电池， …1分 (B)=P(4)P(B14)+P(4)P(8到4)-G*G+6×520 33,329 则 …3分 331 P(AB)=二×三= (2)由(1)知： 664 …5分 1 P(41B) P(AB)4-5 P(B) 9=g 所以 20 …7分 (3)由题意，X的可能取值为1,2,3，…。 …8分 只需考虑第3、4次取得一次性电池的块数， 339 则 X=1Y=)-亏×亏25，（第3、4次均为充电电池） 32.2327 P(X=2|Y=1)=二×2 十一X一三 555450,(第3、4次充电电池和一次性电池各一次) P(X=3|Y=1)= 2.11 ×410,《第3、4次均为一次性电池)…13分 +3x187 所以 xr==名+2x 5 1050 15分 18.解：（①设M(x,),kuw=上=2 x+1x-1 2分 x2、y2 整理得： =1(x≠±) (未挖点扣1分) 4分 (2)因为排除了顶点，所以直线I不可能垂直于x轴，设直线：y=+m, x-上=1 2 与双曲线方程联立y=+m,整理得(2-k)x2-2kmx-m2-2=0 因为直线是双曲线在点M处的切线即1与双曲线只有一个公共点M(x,）, 所以△=4m2-42-k(-m2-2)=8(m+2-k)=0,则m2=k2-2, …5分 2km 同时韦达定理可得+一2一及，即 m, %、2 +m=-m2+2 +m=-2 m=-之k=-x,季 2X0 代入1方程可得 m m m,所以%， …6分 (代半留半求出切线斜率也给分，(3)问同) -为三2元（-0y=-6x+ 3yo 过点M与直线垂直的直线方程为 即2x 2 ，…7分 y= 3yo 当x=0时，得2，当y=0时，得x=3x 8分 2 2=1(y≠0) 因为 所以（3 2 …9分 x22y2 故点P(:,)的轨迹方程为99 =1(y≠0) ,可知其为去掉顶点的双曲线；…I0分 x2y (3)结论：对于任查双击线云下-1(@>06>0).点P(c)的轨达为去持项点的双线 x2 2 =1(y≠0) a2+b2 b …2分 a 证明如下：设直线l:y=+m,与双曲线方程联立(y=+m 整理得你-ak)r-2akr-am-a=0,1与双曲线相切于M(,%） 所y△=4akm2-4(62-a2k2(-a2m2-a2b2）=4a2b(m2+B-ak2)=0 m2=a2k2-b2...... …13分 2a'km xo+xo=b2-ak? akma'km__a'k 且有 =-QR=-m ,即 m, %s、Q tm=m+ -+m= 、k=-m=b3xa 则 m 名 m,所以, a2a2%,…14分 (x-）y=-ax+g 过点M与直线垂直的直线方程 y-y%=- bxo 即b+%+% …15分 a'yo+yo b a2 a'yo + 当x=0时.符'示%+%，当=0时，得 y= b'xo ,…16分 三给=1(00) 因为a2b2 带入整理可得： x 2 =1(y≠0) a2+b2 a2+b2 故点P(玉，)的轨迹为去掉顶点的双曲线 b 17分 19.解：(1由思，f'(x)=-sinr-k.x∈[0，π …l分 令f'(x)=0,k=-six, 当k≤-1或k≥0时，原函数无极值点 当一1<k<0时，原函数有两个极值点.…4分（等号取错扣2分） (2)①D证明：设()=血(x+1),x>-1,则 (x)=1-1=-x x+1x+1 当-1<x<0时，N()>0,当x>0时，(：<0，即函数h()在1,0)上单调递增，在(0，+∞)上 单调递减，故h()≤h(0)=0,即n(x+)≤x,… …6分 又因cosx-1≤0，故h(x+)+cosx≤x+1,即得F()=f()+l血(r+1)≤0 …8分 (i)证明：由(i)可知cosr+l血(1+x)≤x+1 ∴g(x)=cosx+ln(1+x)≤x+1 …10分 1 三m4小小可云 ≤sin sin +…+sin n+1 n+2 2n 12分 x∈0， 先证x>sinr, 2 单调递增， 故()>(0)=0，故x>sinx, 1+1 1 +…+sin 所以n+1n+2 2nn+1n+2 2n,…14分 再证lnx≤x-l, 段m-+则当1时。m四0m国调现 当0<x<1时，m'(x)>0,m()单调递增。 故m(x)≤m(0)=0,枚lnx≤x-1,当且仅当x=l时取等号， 4-子h-a+小s 1 <In(n+1)-Inn 因此n+1 11<+)-I+(a+2)-(n+1)++2n-(2n-1) +…+ 故n+1"n+2 2n =ln2n-lnn=ln2,.… …16分 综上可知： 17分 树德中学高2024级高三上学期10月阶段性测试数学试题 满分：150分　时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．下列各式的运算结果为2i的是 A． B． C． D． 3．已知直线a、b与平面、、，能使的充分条件是 A．， B．，， C．， D．， 4．已知一组数据为2，3，4，6，7，8，若n为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为 A．6 B．3 C．1 D． 5．设公差不为0的等差数列的前n项和为，，若，，成等比数列，则 A．16 B．8 C．4 D．2 6．在中，是边上的点，，则的最小值为 A．3 B． C． D．6 7．已知函数，对于正实数a，定义集合，若满足，则a的取值范围为 A． B． C． D． 8．函数有两个极值点，，则的值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知如图是函数的部分图象，则 A． B．在上单调递增 C．的图象关于中心对称 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 10．某中学在2026年秋季运动会中，设置了“欢乐跑”“趣味接力”“拔河比赛”“花式跳绳”四个教师项目．甲、乙、丙3名教师每人至少从中选择一个活动参加，每个活动都恰有1人参加，记事件“甲参加欢乐跑”，“甲参加花式跳绳”，“乙参加趣味接力”，则 A．与对立 B． C．与相互独立 D． 11．已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则 A．函数的图象关于点中心对称 B． C．函数的单调递减区间为， D．已知数列满足，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．焦点在轴上的椭圆的离心率，则的取值范围是________． 13．的内角、、的对边分别为、、，若，，的面积为，则________． 14．已知集合，，是由函数，的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；（6分） （2）若为的内角，且为锐角，且，，求面积的最大值．（7分） 16．（15分）在四棱锥中，，底面是直角梯形，，．已知，，，点为的中点． （1）求证：平面；（7分） （2）若二面角的余弦值为，求的长．（8分） 17．（15分）2026年8月“世界机器人大会”在北京闭幕．现抽屉中备有某款机器人所需的6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池．每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉． （1）求第2次取出一次性电池的概率；（3分） （2）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；（4分） （3）设，是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为： 其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率．设表示电动机器人前4次使用中取出一次性电池的块数，表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求．（8分） 18．（17分）已知点，，曲线上的动点满足， （1）求曲线的方程；（4分） （2）是曲线在点处的切线，过作的垂线分别交轴、轴于点和，当点运动时，试求出点的轨迹方程，并指出是什么曲线；（6分） （3）根据（2）的结果，如果推广到一般，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论．（7分） 19．（17分）已知函数． （1）若讨论的极值点个数；（4分） （2）若，设函数． （i）证明：恒成立；（4分） （ii）若，证明：，．（9分） 学科网（北京）股份有限公司 $