甘肃省临潭县第一中学2026-2027学年第一学期高二数学期中考试模拟卷

临潭县第一中学2026-2027学年第一学期 高二数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点与点的直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，，则过点，点的直线斜率， 设直线的倾斜角为，满足，则，所以，即直线的倾斜角为． 2．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质，代入已知的、即可快速算出结果. 【详解】已知，，，代入得： . 3．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为1，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又直线在轴上的截距为1，所以直线的方程为，即. 4．已知等差数列不是常数列，若，且、、成等比数列，则（     ） A．10 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】结合等差数列的通项公式和等比数列的性质求解. 【详解】由题可设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等比数列，所以，即， 因为，解得或.因为等差数列不是常数列，所以.所以. 5．已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，所以无论取多少，当时， 为所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 6．已知数列满足，，则数列的前10项和（    ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】A 【分析】根据题意分别求，进而求. 【详解】由题意可知：，，，， ，，，，，， 所以的前10项和． 7．已知圆C的方程为，直线l：与圆C交于A，B两点，若，则实数m等于（    ） A．2 B．3 C．2 D．9 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解， 【详解】圆C：可化为， 所以，解得．由题意知圆C的圆心为，故圆心C到直线l的距离为，又，所以，解得． 8．已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图，圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值.设，则，解得. 因此. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10．已知直线：被圆：截得的弦为，则（     ） A．圆的标准方程为 B．圆心 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】BD 【详解】对于A，对配方得：，A错误； 对于B，由A选项可知圆心坐标为：，B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，C错误； 对于D，由A选项可知圆的半径为，所以，D正确. 11．已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得，故最大值为，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列第项与前项和的关系分段求解. 【详解】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。所以. 13．已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 14．已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】圆：，圆心，半径， 过点作圆的两条切线，切线夹角是点对圆的最大张角， 若要使得圆上存在两点，，满足，则最大张角大于等于， 当最大张角等于时，半角为， 设切点为，在直角三角形中，，即，， 只要，就存在满足条件的，即圆心到直线的距离， ，即，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 求公差，再由基本量法可得； （2）由分组求和（等差数列＋等比数列）可得. 【详解】（1）由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ，所以 ． （2）由 (1) 得 ，而 的前 项和为 ， 所以 ． 16．（15分）三角形的顶点是， (1)若直线l过点C且与边所在直线平行，求直线l的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，利用平行直线斜率相等，结合点用点斜式写出直线方程； （2）根据高线与垂直得到高线斜率，再结合点C用点斜式求高的直线方程； （3）先算出的中点坐标，由垂直关系得到垂直平分线的斜率，再用点斜式写出方程． 【详解】（1），故直线l的斜率，直线l过点C， 则，整理得：． （2），解得，代入点C得，整理得． （3）中点，斜率为，故直线方程为，整理得． 17．（15分）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）圆心是的中垂线与已知直线的交点，定出圆心后再用两点距离求半径； （2）先算圆心到直线的距离，再由半径、弦心距、半弦长的勾股关系求弦长； （3）先算圆心距，再按外切、内切两类方程分别求圆的半径． 【详解】（1）的中点为，直线的斜率， 故的中垂线为，即． 圆心既在中垂线上，又在上，联立解得，半径， 故圆的标准方程为． （2）圆心到直线的距离， 由垂径定理得所得弦长为． （3），设圆的半径为． 若两圆外切，则，；若两圆内切，则，得或（舍去）． 故圆的标准方程为或． 18．（17分）设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1)； (2)证明：当时，，则. 当时，，即， 即，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.因为，所以. (3) 【分析】（1）利用递推关系式求出的值，根据前3项即可猜出通项公式. （2）根据与之间的关系求出，从而可得，利用等比数列的定义即可证明，再由等比数列的通项公式即可求解. （3）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1），， 即，，，猜想 （2）略. （3），用错位相减法求和法得：，① ，② ①-②得： = 19．（17分）已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； (3)设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)和 (3)存在，当定点为时，；当定点为时， 【分析】（1）由圆的性质可得； （2）讨论斜率存在与否，利用点到直线的距离和圆的弦长公式可得； （3）由弦长公式得到，再结合为圆上任意一点代入圆方程化简，然后利用两点间距离公式表示出，结合同次系数相同解方程组可得. 【详解】（1） 因为圆经过点，且与直线相切于点，所以圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，易得其方程为， 当时，弦长为的直径，舍去；当时，由圆的弦长公式可得，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 因为直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，所以，解得， 此时直线方程为，综上，满足条件的直线方程为和. （3）因为圆心，半径，所以， 点为圆上任意一点，代入方程可得，所以， 设，则， 因为为定值，所以，所以， 将代入上式右边化简可得， 因为为圆上任意一点，所以上式两边同次系数相同，即， 解得或，所以存在，当定点为时，；当定点为时，. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2026-2027学年第一学期 高二数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.过点A(4,1)与点B,1-5)的直线的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=-1,a4=5,则S4=() A.12 B.8 C.6 D.4 3.已知直线1的方向向量为(1,2)，且在y轴上的截距为1，则直线1的方程为() A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0 4.已知等差数列{an}不是常数列，若a=1,且a,、a2、a成等比数列，则ao=() A.10 B.19 C.20 D.21 5.已知直线x-y+2a-4=0恒过定点M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.(x+4)}2+(y+2)2=1 B.（x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y-1)2=1 2an-1,n为奇数 6.已知数列{an}满足a=1,a+1= a,+l,n为偶数，则数列{a,}的前10项和S=（) A.88 B.89 C.90 D.91 7.己知圆C的方程为x2+y2-4x+4y+√m=0,直线1：3x+4y-3=0与圆C交于A,B两点，若AB=4, 则实数m等于() A.2 B.3 C.22 D.9 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点2在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，点M在直线 x-y-2=0上运动，则PM+QM的最小值为() A.5v2-3 B.6V2-3 C.V73-3 D.45-3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{an}的首项a1=2,且a2+a4=8,下列说法正确的是（) A.数列{an}的公差d=1 B.数列{an}的通项公式an=2n C.数列{a,}的前n项和S=+3n D.数列2}是公比为2的等比数列 2 10.已知直线1：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y+1=0截得的弦为AB,则() A.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5 B.圆心C(1,2) C.圆心C到直线l的距离为V10 D.4B=6 11.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上运动，则下列结论正确的是() A.上的最大值为3+固 4 B.x-y的最小值为√2-1 C.若过点P且斜率为√3的直线与y轴交于点Q,则线段PQ长度的取值范围为[4,8] D.若A(-1,0),B(1,0),则PA+PB的最小值为30-4√3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.己知数列a,}满足a+受+号++%=1-2，则数列a,}的通项公式为 13.已知直线：c-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 14.已知圆C:（x+1)+y2=4,直线1：x-2y+t=0,若直线1上存在点P,使得圆C上存在两点M,N, 满足∠MPN-牙，则实数I的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a=2,S6=S,+7. (1)求{an}的通项公式： (2)若bn=2”,求数列{an+bn}的前n项和Tn. 16.(15分)三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), y 2C(0,2) A(-5,0) M -5 -3 B3,-3) (1)若直线I过点C且与边AB所在直线平行，求直线1的方程： (2)求边AB上的高CD所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线所在直线的方程. 17.(15分)已知圆C经过A(-2,-2),B(-3,5)两点，并且圆心C在直线2x-y=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)求直线1：x-y-5=0被圆C所截得的弦长： (3)已知点N(7,-6),以N为圆心的圆N与圆C相切，求圆N的标准方程， 18.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn,己知Sn=2an-n.若bn=an+1n∈N) (1)计算a,a2,4的值，并猜想数列{bn}的通项公式； (2)证明：数列{a,+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式： (3)设cn=nbn,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn. 19.(17分)已知圆C经过点(0，-1)，且与直线x=1相切于点(1，-2)，圆C2的方程为(x-1)+y2=12. (1)求圆C的方程： (2)若直线1与圆C相切，且被圆C2所截得的线段长为4v2,求直线I的方程； (3)设P为圆C2上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为Q,探究：平面内是否存在一定点R,使得 PO PR =入为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点R的坐标，及相对应的定值入：若不存在，请说明 理由， 临潭县第一中学2026-2027学年第一学期 高二数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点与点的直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 3．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为1，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知等差数列不是常数列，若，且、、成等比数列，则（     ） A．10 B．19 C．20 D．21 5．已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则数列的前10项和（    ） A．88 B．89 C．90 D．91 7．已知圆C的方程为，直线l：与圆C交于A，B两点，若，则实数m等于（    ） A．2 B．3 C．2 D．9 8．已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 10．已知直线：被圆：截得的弦为，则（     ） A．圆的标准方程为 B．圆心 C．圆心到直线的距离为 D． 11．已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 13．已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 14．已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 16．（15分）三角形的顶点是， (1)若直线l过点C且与边所在直线平行，求直线l的方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边的垂直平分线所在直线的方程． 17．（15分）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 18．（17分）设数列的前n项和为，已知．若． (1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，求． 19．（17分）已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； (3)设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2026-2027学年第一学期 高二数学期中考试模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.过点A(4,1)与点B,1-5)的直线的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】A 【详解】已知A(4,,B1-V3),则过点A,点B的直线斜率k=1-V5-」-3 1-43 设直线的倾斜角为a,满足a∈[0，)，则k=an&=5 ,所以α=兀，即直线的倾斜角为30 3 6 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=-1,a=5,则S4=() A.12 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【分析】利用等差数列前m项和的性质S,=4(a+）,代入已知的4=-1、a,=5即可快速算出结果 2 【详解】已知m=4,a=-1,a,=5,代入得：S,=4xa+a）_4×-1+5)-8 2 3.已知直线1的方向向量为(1,2)，且在y轴上的截距为1，则直线I的方程为() A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0 【答案】A 【详解】已知直线1的一个方向向量为L,2),则直线1的斜率=子-2， 又直线I在y轴上的截距为1，所以直线l的方程为y=2x+1,即2x-y+1=0 4.已知等差数列{an}不是常数列，若a,=1,且a、a2、a成等比数列，则a。=() A.10 B.19 C.20 D.21 【答案】B 【分析】结合等差数列的通项公式和等比数列的性质求解 【详解】由题可设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a=a+4d, 因为a、a2、a成等比数列，所以a22=aa,即(a,+d)}=a,（a,+4d), 因为a=1,解得d=2或d=0.因为等差数列{an}不是常数列，所以d=2.所以ao=a+9d=1+9×2=19 5.已知直线x-y+2a-4=0恒过定点M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.(x+4)}2+(y+2)2=1 B.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y-1)2=1 【答案】B 【详解】由题意可得，x-ay+2a-4=0→x-ay-2)-4=0,所以无论a取多少，当y=2时，x=4, .M为(4,2)，所以，以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是(x-4)+(y-2)2=1. 2an-1,n为奇数 6.己知数列{an}满足a=1,a1= (a,+ln为偶数， 则数列{an}的前10项和S=() A.88 B.89 C.90 D.91 【答案】A 【分析】根据题意分别求a2,a3,a4,,ao,进而求So 【详解】由题意可知：a=1,42=2a-1=1,a3=a2+1=2,a4=24-1=3, a5=a4+1=4,a6=2a-1=7,a=a6+1=8,a=2a7-1=15,a,=a+1=16,ao=2a,-1=31, 所以{an}的前10项和So=1+1+2+3+4+7+8+15+16+31=88. 7.已知圆C的方程为x2+y2-4x+4y+√m=0,直线1：3x+4y-3=0与圆C交于A,B两点，若AB=4, 则实数m等于() A.2 B.3 C.2v2 D.9 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解， 【详解】圆C:x2+y2-4x+4y+√m=0可化为(x-2}+(y+2)}=8-Vm, 所以8-√m>0,解得0≤m<64.由题意知圆C的圆心为C(2,-2),故圆心C到直线1的距离为 3x2+4×(-2)-3-1,又4=2，所以1P+2-8-m,解得m=9. V32+4 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点9在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，点M在直线 x-y-2=0上运动，则PM+QM的最小值为() A.5W2-3 B.6√2-3 C.V73-3 D.4V5-3 【答案】C 【分析】首先求点P的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算 【详解】设点P(x,y),又PA=2PB,所以V(2-x2+(0-y}=2(-1-x}2+(0-y2,整理得 (x+2)2+y2=4,所以点P在以C（-2,0)为圆心，以片=2为半径的圆上 点2在圆C:(x+1)}+(y-4)}2=1上运动，圆心为C(-1,4),半径为r=1,点M在直线x-y-2=0上运动， 如图，圆C与圆C2关于直线x-y-2=0对称，则MC=MC2,所以 PM+OM MC-2+MC-1=MC2 +MC-3=CC2-3, n-0 ×1=-1 m-(-2) 即当C,M,C2三点共线时，取得最小值.设C2(m,n),则 -2+m_0+n-2=0 ,解得C2(2,4) 22 因此(PM+|2M）=[2-（-1]+(-4-4}2-3=V73-3. x-y-2=0 PXM 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知等差数列{an}的首项41=2，且a2+a4=8,下列说法正确的是() A.数列{an}的公差d=1 B.数列{an}的通项公式an=2n C.数列{a.}的前n项和s,=n+3n D.数列2}是公比为2的等比数列 2 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前项和公式、新数列 的公比即可 【详解】选项A:设等差数列{an}的公差为d,由a=2，a+a4=8可得： (a+d)+(a+3d)=2a1+4d=8,代入a=2得4+4d=8,解得d=1,故A正确. 选项B:等差数列通项公式为an=a,+(n-)d=2+(n-1)×1=n+1≠2n,故B错误. 选项C:前n项和S.=m+,少d=2n+-少x1=r+3n,故c正确 2 2 2 造项D:令6=2，别会头-2-2-2，所以数列2}是公比为2的等比强列故D正能 10.已知直线1：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y+1=0截得的弦为AB,则（) A.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5 B.圆心C(1,2) C.圆心C到直线l的距离为√0 D.4B=6 【答案】BD 【详解】对于A,对x2+y2-2x-4y+1=0配方得：（x-1)2+(y-2)=4,A错误； 对于B,由A选项可知圆心坐标为：C(1,2),B正确： 3-2-65V10 对于C,圆心C到直线I的距离为 32+(-1V02,C错误： 对于D,由A选项可知圆C的半径为r=2,所以AB=2,2 V10 =√6，D正确 2 11.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上运动，则下列结论正确的是() A.上的最大值为3+5 4 B.x-y的最小值为V2-1 C.若过点P且斜率为√3的直线与y轴交于点Q,则线段PQ长度的取值范围为4,8 D.若A(-1,0),B(1,0),则PA+PB的最小值为30-4V13 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线y=c与圆有交点时斜率最大值可得：对B 转化为直线x-y-t=0与圆C有公共点时t的最小值：对C设出直线方程求得Q点坐标，再用两点距离公 式并结合圆点坐标范围可得：对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得 【详解】对原圆C方程配方得(x-3)+(y-2)'=1,圆心C(3,2),半径r=1 对A选项。令k=兰=)0表示点P(x,)与原点连线的斜率，即直线y=c与圆有交点 xx-0 所以圆心CB,2)到直线y=太的距离d=Bk-≤r=1,即5k-2≤+， V1+k2 平方整理得：8贴2-12k+3≤0，解得3,5≤s35,故最大值为3 2,A正确 对B选项，设t=x-y,即x-y-t=0,即直线x-y-t=0与圆C有公共点， y=kx 所以圆心C6,2)到直线x-y-1=0距离d-B-24≤r=1,即1-4小≤2， √2 解得1-√2≤t≤1+V2,所以x-y的最小值为1-√2，不是√2-1，故B错误： 对C选项，过P(x,%)斜率为√5的直线为y-y。=V3(x-x), 0 少0八x 令x=0,得0，%5x),Pg=-0+[o(。3x)=V4=2k 因为P(xo,%)在圆上，所以x。∈[2,4]，因此P9∈[4,8]，故C正确： 对D选项，设P(x,y),A(-1,0),B(1,0), 所以PA+PB=(x+1)}+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2OP+2, 因为0P=x2+y2,0C=V32+22=3,所以OPn=13-1,OP=13+1 (x2+y2）=(13-=14-23, 所以(PA+PB）=214-213)+2=30-413,故D正确， B 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.已知数列a,}满足4+受+号++只=1 3 m，则数列{a,}的通项公式为 1 【答案】 3 a, n 2*1n≥2 【分析】根据给定条件，利用数列第n项与前n项和的关系分段求解 【详解】数列包，中，4+号+学++名=1，当n=1时。4=14} 23 n 44 当m≥2时，4+经+号++二=12两式相减得二-- 23 n-1 n 3 整理得a,=2%,而a-不满足上式。所以2， ,,n=1 3 n 21,n≥2 13.已知直线：x-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为 【若案1-1政号 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，k≠0，直线1：x-y+1+2k=0在x,y轴上的截距分别为-2-1,1+2k, 洒坐标轴上的截距相等，得-2-1+2k,所以k三 14.己知圆C:（x+1)2+y2=4,直线1：x-2y+1=0,若直线1上存在点P,使得圆C上存在两点M,N, 满足∠MV-子则实数I的取值范围是 【答案】[1-4v5,1+45 【分析】将问题转化为圆心到直线I的距离d≤4，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果 【详解】圆C:(x+1)+y2=4,圆心C(-1,0),半径r=2, 过点P作圆的两条切线，切线夹角是点P对圆的最大张角， 若要使得圆C上存在两点M,N,满足∠MPN=于，则最大张角大于等于 当最大张角等于时，半角 6 设切点为4，在百角三角形PMC中，如后，园，C=4, 12 只要PC≤4，就存在满足条件的M,N,即圆心到直线I的距离d≤4， -2x0+4_34,1-s4W5.解得1-455151+4固 V+(-2 25 所以实数1的取值范围是1-4V5,1+4v5] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a=2,S。=S,+7. (1)求{an}的通项公式： (2)若bn=2”,求数列{an+bn}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=n+1 27.=nn+3)+2l-2 2 【分析】(1)由S6-S,=a。求公差，再由基本量法可得： (2)由分组求和（等差数列十等比数列）可得 【详解】(1)由S。=S+7得a。=S。-S,=7, 设公差为d,则a=a,+5d=2+5d=7,解得d=1,所以an=2+(n-1)×1=n+1. (2)由0得S=-2+m+_n+3),而6，=2”的前n项和为 21-2”) 2 2 =21-2 1-2 所以工=3.+2+2+…+2r）=n+3到+21-2. 2 16.(15分)三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), y 2C(0,2) A(-5,0) M -5 0 3 B(3,-3) (1)若直线I过点C且与边AB所在直线平行，求直线1的方程： (2)求边AB上的高CD所在直线的方程： (3)求边AB的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)3x+8y-16=0 (2)8x-3y+6=0 (3)16x-6y+7=0 【分析】(1)先求出直线AB的斜率，利用平行直线斜率相等，结合点C用点斜式写出直线I方程： (2)根据高线与AB垂直得到高线斜率，再结合点C用点斜式求高CD的直线方程： (3)先算出AB的中点坐标，由垂直关系得到垂直平分线的斜率，再用点斜式写出方程. 【详解】G①大e的故直线1的斜率k=。直线1过点C -3-03 8 则y-2=-3x-0),整理得：3x+8y-16=0. 3 (2)kD·kAB= n=-1,解得m号代入点C得y-2-号，整理得8x-3少+6=0， 8 2C(0,2) A(-5,0) M -5 3 D -3 B(3,-3) 3)4中点02)1-引率为故直线方程为y+号c+0,整理得16-6+7=0. yA 2C(,2) A(-5,0) M -5 D E 3 B(3,-3) 17.(15分)已知圆C经过A(-2,-2),B(-3,5)两点，并且圆心C在直线2x-y=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)求直线l:x-y-5=0被圆C所截得的弦长： (3)已知点N(7,-6),以N为圆心的圆N与圆C相切，求圆N的标准方程 【答案】(1)(x-1)+(y-2)2-25 (2)2√73)(x-7)+(y+62=25或(x-7)}+(y+6)2=225 【分析】(1)圆心是AB的中垂线与已知直线的交点，定出圆心后再用两点距离求半径： (2)先算圆心到直线的距离，再由半径、弦心距、半弦长的勾股关系求弦长： (3)先算圆心距，再按外切、内切两类方程分别求圆N的半径 5-(-2) 【详解】(1)AB的中点为 53 2'2 直线AB的斜率kB=3-(-2 =-7, 3175 故B的中垂线为y27引x+2 即x-7y+13=0. 2 圆心C既在中垂线上，又在2x-y=0上，联立解得C(1,2),半径r=CA=V1+2}+(2+2)=5, 故圆C的标准方程为(x-2+(y-2}-25。 2)圆心C(,2)到直线x-y-5=0的距离d=-2-5 =32 V2+(-)2 由垂径定理得所得弦长为2V2-d=2√25-18=2√7. 1.5=0 (3)CN=(7-1}+(-6-2}=10,设圆N的半径为R. 若两圆外切，则10=R+5,R=5:若两圆内切，则10=R-5,得R=15或R=-5(舍去). 故圆N的标准方程为(x-7)}+(y+6}2=25或(x-7)}+(y+6}=225. 18.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-n.若bn=an+1(n∈N. (1)计算a,a2,a的值，并猜想数列{bn}的通项公式； (2)证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式： (3)设cn=nbn,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn. 【答案】(1)a=1,a2=3,43=7;bn=2” (2)证明：当n=1时，a+1=2a,则a1=1 当n22时，an=Sn-Sn1=(2an-n)-(2an1-n+l)=2an-2an1-1，即an=2an1+1, 即an+1=2(an1+1),而a1+1=2≠0， 所以数列{an+1是首项为2，公比为2的等比数列.因为an+1=2”,所以an=2”-1. (3)Tn=(n-1)2+2 【分析】(1)利用递推关系式求出a,a2,a的值，根据前3项即可猜出通项公式 (2)根据Sn与an之间的关系求出an=2an1+1,从而可得an+1=2(an1+1),利用等比数列的定义即可证 明，再由等比数列的通项公式即可求解 (3)利用错位相减法即可求解 【详解】(1)a=2a-1→a=1,a+a2=2a2-2→a2=3，a1+a2+43=2a3-3→a3=7, 即b=2,b2=4,b=8,猜想bn=2” (2)略. (3)cn=nb,=n2”,用错位相减法求和法得：Tn=1×2+2×2+3×23+…+n×2”,① 2-Tn=1×22+2×2+…+(n-1)2”+n21,② ①-②得：-Tn=1×2+1×22+1×23+…+1×2”-n-2=（1-n2-2 .Tn=(n-1)2m+2 19.(17分)已知圆C经过点(0-1)，且与直线x=1相切于点(1，-2)，圆C2的方程为(x-1)2+y2=12, (1)求圆C的方程： (2)若直线1与圆C相切，且被圆C2所截得的线段长为42，求直线1的方程： (3)设P为圆C2上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为9，探究：平面内是否存在一定点R,使得 PO PR =入为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点R的坐标，及相对应的定值九；若不存在，请说明 理由， 313 【答案】(1)x2+(y+2)2=1 (2)x=-1和y= 一X- 44 3)存在，当定点为R(-1,-4)时，1=5 112) 5:当定点为R55时，30 6 【分析】(1)由圆的性质可得： (2)讨论斜率存在与否，利用点到直线的距离和圆的弦长公式可得： (3)由弦长公式得到PQ,再结合P为圆C2上任意一点代入圆方程化简，然后利用两点间距离公式表示 出PR,结合同次系数相同解方程组可得. 【详解】(1) C2 因为圆C经过点(0，-)，且与直线x=1相切于点(1，-2)，所以圆心(0，-2)，半径片=1， 所以圆C的方程为x2+(y+2)}2-1 (2)当直线I的斜率不存在时，易得其方程为x=±1， 当x=1时，弦长为C2的直径，舍去；当x=-1时，由圆的弦长公式可得212-4=42，符合题意： 当直线I的斜率存在时，设其方程为y=c+b, 2+b =1 因为直线l与圆C相切，且被圆C2所截得的线段长为4√2，所以 Vk2+1 6=-13 k+b 解得k=3 4 4 =2 Vk2+1 此时直线方程为y子-片综上，满足条件的直线方程为x=一1和 313 4x-4 (3)因为圆心C(0,-2),半径1=1，所以P92-PC2-2=x2+y2+4y+3, 点P为圆C2上任意一点，代入C2方程可得x2+y2=2x+11,所以P9=2x+4y+14, 设R(a,b),则PR=(x-a2+(y-b), %=元为定值，所以P@=PR,所以2x+4y+14=[c-a+-b] 因为PR 将x2+y2=2x+11代入上式右边化简可得2x+4y+14=22[(2-2a)x-2y+11+a2+b2)] 2=22(2-2a 因为P为圆C2上任意一点，所以上式两边同次系数相同，即{4=2(-2b) 14=22(11+a2+b2） = 2 6 解得日=或a=片，所以花在当定直为R(-4到时，-号当定点为（兮号）时- 1 6 b=-4 12 b=- 5