精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高二上学期周期学业能力评鉴（二）（11月期中）数学试题

2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（二） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质计算可得； 【详解】解：在等差数列中，所以，解得； 故选：B 2. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项. 【详解】数列可以表示为，，，，，…， 则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项. 故选：B. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角得解. 【详解】， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题. 4. 各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及对数的运算法则即得. 【详解】由与的等比中项为得：, 故， 故选：D. 5. 已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（　　） A. 内含 B. 外离 C. 内切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】解方程，再利用几何法克判断两圆的位置关系. 【详解】解方程，可得，，故两圆半径分别为、， 因为两圆的圆心距是，故两圆内切. 故选：C. 6. 一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于轴的对称点，则直线为反射光线所在的直线，求出直线的方程即可. 【详解】设点关于轴的对称点，所以直线为反射光线所在的直线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为. 故选：A. 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）则下列说法不正确的为（ ） A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 立春和立秋两个节气的晷长相同 C. 春分的晷长为七尺五寸 D. 立春的晷长比秋分的晷长长 【答案】B 【解析】 【分析】设上半年的晷影长为等差数列,公差为d1,设下半年的晷影长为等差数列,公差为d2,求出通项公式，利用等差数列的知识即可求解. 【详解】先取上半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d1,则a1=135,a13=15, ∴，∴. 再取下半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d2,则b1=15, , ∴. 对于A：由上面可知，，，所以相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺，故A正确； 对于B、D：立春对应的是中的，所以，立秋对应的是中的，所以.故B错误，D正确； 对于C：春分对应的是中的，所以.故C正确. 故选：B 8. 两圆和相交于两点，则线段的长为 A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得 公共弦的长． 【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，② ①﹣②可得：x﹣2y+4=0． ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0， ∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2， ∴圆心到公共弦的距离为d=， ∴公共弦长=. 故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列． B. 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． C. 若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点． D. 若数列的前n项和为，则对任意，都有. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列的定义、数列的单调性、数列的图象特征、与之间的关系逐一判断即可. 【详解】由数列的定义可知选项A正确； 一个数列可以是常数列，因此选项B错误； 根据数列的图象特征可知选项C正确； 由的意义可知选项D正确， 故选：ACD 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是2 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。 【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错. 对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错. 故选：BC 11. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线与直线之间的距离是 C. 点到直线的距离为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件求出的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；对直线是否过原点进行分类讨论，结合直线的截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线之间的距离为，B对； 对于C选项，点到直线的距离为，C错； 对于D选项，要求经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程，分以下三种情况讨论： 若直线过原点，设直线的方程为，将点的坐标代入直线方程可得，解得， 此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相反，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为. 综上所述，经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条，D错. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆被直线截得的弦长为，则a的值为____________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接根据垂径定理列方程求解. 【详解】由已知得， 解得或. 故答案为：或 13. 已知圆经过点，并且直线平分圆，则圆的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】线段的垂直平分线与直线的交点即为圆心. 【详解】由题意，线段的垂直平分线方程为：， 即 ， 联立 解得 则圆心为， 圆的半径 故所求圆的方程为 【点睛】本题考查圆的标准方程和两点距离公式. 14. 已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案. 【详解】由题设，恒过定点，恒过定点， 因为，所以，即垂足为， 所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 故轨迹方程为， 而的圆心为，半径为2， 所以两圆圆心的距离为，而、分别在两圆上，故的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，且点在直线上，. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用对数的运算性质可求得的通项公式； （2）求得，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）由题意可得，所以，数列是公比为的等比数列， ，，； （2）， . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 16. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）证明为定值即可； （2）先求出数列的通项，要使对任意的恒成立，只需要即可，令，利用单调法求出数列的最小项即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以， 要使对任意的恒成立，只需要即可， 令， 则 ， 所以数列是递增数列， 所以，即， 所以. 17. 设直线的方程为. （1）若不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）证明：不论为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标； （3）证明：不论为何值，直线恒过第四象限. 【答案】（1）； （2）证明：直线方程可整理成， 令，解得， 当时，恒成立， 所以直线恒过点； （3）证明：由（2）知，直线恒过第四象限内的点， 所以不论为何值，直线恒过第四象限. 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为斜截式，结合直线的性质即可得解； （2）将直线方程变为，令即可得证； （3）由直线过定点即可得证. 【小问1详解】 将的方程化为，欲使不经过第二象限， 当且仅当或成立，所以， 故所求的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了直线方程的应用及直线过定点的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 18. 已知直线，的交点为P，直线l经过点P与点． （1）求直线l的方程； （2）若直线l与圆交于A，B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线交点坐标，运用斜率公式及直线点斜式方程即可. （2）运用几何法求圆内的弦长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 由题意知，，即． 因为直线l经过点P，Q，所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即． 【小问2详解】 圆的圆心为，半径， 所以圆心C到直线l的距离， ， 所以△ABC的面积． 19. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）过点作两条互相垂直的直线与曲线分别交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】（1）设点，由化简可得答案； （2）当过点的两条直线中有一条直线的斜率不存在时另一条直线的斜率为0求出；当两条直线的斜率都存在时，设直线的方程分别为和，利用圆心到直线的距离、圆的半径求出、，再由，利用配方法求最值可得答案. 【小问1详解】 设点，由得， 所以，即曲线的方程为； 【小问2详解】 当过点的两条直线中有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 不妨设，则， 当两条直线的斜率都存在时，设直线的方程分别为和， 圆心到直线的距离， 所以，同理可得， 所以， 令，则， 当时，， 所以，即四边形面积的最大值为28. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 高二数学（二） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 4. 各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（　　） A. 内含 B. 外离 C. 内切 D. 相交 6. 一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）则下列说法不正确的为（ ） A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 立春和立秋两个节气的晷长相同 C. 春分的晷长为七尺五寸 D. 立春的晷长比秋分的晷长长 8. 两圆和相交于两点，则线段的长为 A. 4 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列． B. 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． C. 若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点． D. 若数列的前n项和为，则对任意，都有. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是2 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 11. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线与直线之间的距离是 C. 点到直线的距离为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆被直线截得的弦长为，则a的值为____________. 13. 已知圆经过点，并且直线平分圆，则圆的方程为________________. 14. 已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在数列中，，且点在直线上，. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等差数列； （2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 17. 设直线的方程为. （1）若不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）证明：不论为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标； （3）证明：不论为何值，直线恒过第四象限. 18. 已知直线，的交点为P，直线l经过点P与点． （1）求直线l的方程； （2）若直线l与圆交于A，B两点，求的面积． 19. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程; （2）过点作两条互相垂直的直线与曲线分别交于点，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $