精品解析：甘肃兰州西北中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025兰州西北中学高二上期中考试试卷 一、单选题 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用诱导公式，逆用两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故选：A 2. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，，，， 所以，解得. 故选：C. 3. 已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当，则公比， 所以， 则，所以，所以为递增数列， 若，此时数列为递增数列，而， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率的计算公式求相应的斜率，结合图形分析斜率的取值范围. 【详解】如图所示： 则， 若过点的直线与线段MN相交，所以. 故选：B. 5. 直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为. 故选：D. 6. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直的判定列方程求参数即可. 【详解】由题设，整理得， 所以或. 故选：C 7. 已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 因为， 所以直线与直线互相垂直， 由，得，所以直线过定点， 由得，所以直线过定点， 因为中点为，且， 所以点的轨迹方程为，其圆心为，半径为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且， 故的最小值为. 故选：C. 8. 已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，得到，连接，，，根据， 得到,设，求得，得出点的轨迹，再由，得到当取最大值时，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设的中点为，连接， 由，可得， 连接，，，则，所以， 所以, 设，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 因为，所以当取最大值时，取最大值， 又因为， 故的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】计算直线定点即可判断A项，计算截距为即可判断B项，计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断C项.，举反例即可判断D项，从而求解. 【详解】对于A：得直线过定点，故A项正确，不符合题意； 对于B：令，得，故在轴上的截距为，故B项错误，满足题意； 对于C：由，的斜率分别为，，则有，故两直线互相垂直， 将代入直线方程得，故在直线上，故C项正确，不符合题意； 对于D：过点，且与坐标轴截距相等，故D项错误，符合题意； 故选：BD. 11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点为圆上一点，则的最大值为 B. 点在圆内 C. 圆与圆的公共弦长为 D. 直线与圆相切 【答案】BC 【解析】 【分析】对于设，利用直线与圆有公共点,可求得的最大值，判断出；对于把点代入圆的方程即可判断；对于先判断出两圆相交，利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，利用弦长公式求解即可；对于求得圆心到直线的距离即可判断. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径， 对于设，则与圆有公共点， 故，解得， 则的最大值为，故错误； 对于把点代入得， 则点在圆内，故正确； 对于圆的方程可化为： ， 圆心坐标为，半径， 则， 故两圆相交， 则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为， 故圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故正确； 对于圆心到直线的距离，故错误， 故选： 三、填空题 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 13. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，求得圆心连线的斜率与中点，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径， 设，由题意可得圆的半径为， 直线的斜率，线段的中点为， 由直线，则其斜率， 可得，解得，则， 圆. 故答案为：. 14. 如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在以为圆心，3为半径的圆上，设，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求出答案 【详解】，即， 故在以为圆心，3为半径的圆上， 设，即，表示直线， 要与有公共点， 故，解得， 故的最大值为 四、解答题 15. 已知等差数列，是数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值. 【答案】（1） （2）8， 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项， （2）根据等差数列求和公式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 由题意， 【小问2详解】 当时，取最大值为8. 16. 已知数列. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） ， 因为，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， . 17. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 18. 已知两条直线，． （1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求； （3）若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程． 从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满兄条件的直线l有且仅有一条，并作答． 条件①：直线l过坐标原点； 条件②：坐标原点到直线l的距离为1； 条件③：直线l与交点的横坐标为2． 【答案】（1）证明见解析；定点的坐标；（2）；（3）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）利用恒等式可得直线所过的定点； （2）由条件可知两直线平行，代入两平行线间距离公式计算即求； （3）由垂直的直线斜率乘积为，可得直线l的斜率，再结合所选条件即求． 【详解】（1）证明：由直线变形得：， 该式为恒等式，故 所以，， ∴直线过定点，该定点的坐标为. （2）因为，不重合，且垂直于同一条直线， 所以，， 所以有， 从而． 即： ，即：， 所以． （3）∵，直线l与垂直， ∴直线， 可得直线的斜率为2，则直线l的斜率为， 选①：直线l过坐标原点． 故直线l的方程为：即； 选②：坐标原点到直线l的距离为1， 设直线l的方程为， 由，得， 所以直线l的方程为：； 选③：直线l与交点的横坐标为2， 又，可知交点为， 所以直线l的方程为：，即. 19. 已知圆与圆. （1）若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值； （2）是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在点或满足题意 【解析】 【分析】（1）求出直线所过的定点，根据圆的几何条件可得取最小值时，，根据再根据圆的弦长公式即可得解； （2）由题意可得直线的斜率都存在且都不等于零，设直线的斜率为，则的斜率为，两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等，根据点到直线距离公式展开得关于斜率的恒等式，再根据恒等式成立的条件解出点坐标. 【小问1详解】 直线过定点， 取最小值时，， ， ∴； 【小问2详解】 设， 由题意可得直线的斜率都存在且都不等于零， 设直线的方程为，即， 则直线的方程为，即， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长且， 所以， 即，即， 整理得对任意恒成立， 所以，解得或， 所以存在点或满足题意. 【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是将两弦长相等转化为对应圆心到直线的距离相等，根据点到直线距离公式展开得关于斜率的恒等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025兰州西北中学高二上期中考试试卷 一、单选题 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过点的直线与线段MN相交，，则的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1或 C. 或 D. 1 7. 已知直线：mx－y－3m＋1＝0与直线：x＋my－3m－1＝0相交于点P，点Q是圆C：上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆上的两个动点，点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点为圆上一点，则的最大值为 B. 点在圆内 C. 圆与圆的公共弦长为 D. 直线与圆相切 三、填空题 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 13. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_____. 14. 如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 四、解答题 15. 已知等差数列，是数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值. 16. 已知数列. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 18. 已知两条直线，． （1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求； （3）若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程． 从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满兄条件的直线l有且仅有一条，并作答． 条件①：直线l过坐标原点； 条件②：坐标原点到直线l的距离为1； 条件③：直线l与交点的横坐标为2． 19. 已知圆与圆. （1）若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值； （2）是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $