专题01 有理数15大题型（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 正数与负数 考点二 有理数的概念与分类 考点三 数轴、绝对值与相反数 考点四 有理数大小比较 考点五 有理数四则混合运算 考点六 有理数乘方运算 考点七 科学记数法 考点八 近似数 05 重难题型突破 题型一 正数与负数 题型二 有理数 题型三 数轴 题型四 绝对值 题型五 相反数 题型六 有理数大小的比较 题型七 有理数四则混合运算 题型八 有理数四则混合运算的简便计算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 含乘方的有理数混合运算 题型十一 科学记数法 题型十二 程序流程图 题型十三 算24点 题型十四 二进制计算 题型十五 有理数的新定义运算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版七年级上册期中，有理数板块分值一般 30～45 分，占试卷 30%～45%，是开篇基础内容。题型遍布选择、填空、计算大题，常单独考查，也会融入后续整式题目之中，属于必须稳拿分的基础板块，直接影响整体得分。 2. 题型特点 选择填空侧重正负数识别、相反数、绝对值、数轴、科学记数法、有理数大小比较；解答以有理数混合运算为主，附带简单实际应用题。题目素材常规，紧扣课本定义与运算法则，重点考查概念辨析和基础计算能力。 3. 难度分布 基础题占七成以上，直接套用概念、法则即可完成；中档题集中在绝对值化简、数轴动点简单分析；难题较少，多为填空小题，常结合分类讨论，易错点集中在符号处理、乘方辨析、运算顺序，难点不在于思路而在于细心程度。 4. 备考方向 梳理有理数相关概念，厘清绝对值、乘方的易错点；坚持定时训练混合运算，强化符号意识，严格遵循运算顺序；重视数轴数形结合题型，训练简单分类讨论；整理计算错题，养成验算习惯，减少粗心造成的无谓失分。 识记 识记有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数等概念；熟记有理数分类、大小比较法则，牢记加减乘除、乘方运算法则与运算律，分清符号规则。能准确识别正负数，会读写科学记数法，熟记 0、±1 等特殊数性质，夯实计算所需基础概念。 理解 理解数轴上点与有理数一一对应关系，明白绝对值的几何意义；理解符号对运算结果的影响，理解运算律的作用；能结合数轴解释数的大小、距离，区分乘方底数与指数，理清运算顺序，读懂法则背后逻辑，不机械套公式。 应用 能熟练进行有理数混合运算，遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序；会用数轴比较数的大小、化简绝对值；能用有理数表示生活中具有相反意义的量，解决简单实际问题，规范书写步骤，细心处理符号，减少计算失误。 考点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 考点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，m≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 考点三 数轴、绝对值与相反数 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 考点四 有理数大小比较 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 考点五 有理数四则混合运算 有理数加法法则与运算律 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1. 较大的数－较小的数＝正数； 2. 较小的数－较大的数＝负数； 3. 相等的两个数相减等于0； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 考点六 有理数乘方运算 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 考点七 科学记数法 科学记数法 1. 科学记数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 考点八 近似数 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 题型一 正数与负数 典例1（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数：，，1，0，，，，，中，正数有___个，负数有___个． 【答案】 3 5 【详解】解：正数有1、、；负数有、、、、， 因此正数有3个，负数有5个． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（     ） A．支出80元 B．收入20元 C．收入80元 D．支出20元 【答案】A 【详解】解：∵收入元记作元， ∴元表示支出元． 2．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）徐州是两汉文化的发源地，狮子山楚王陵是徐州汉文化景区的核心景区之一．历史记载公元前178年左右，西汉楚王开始在位于楚都彭城东南狮子山地区修建陵园．通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．例如现在公元2026年记作2026年，那么公元前178年应记作（     ） A．177年 B．年 C．178年 D．年 【答案】D 【详解】解：公元前178年属于公元前，所以用负数表示，应记作 年． 题型二 有理数 典例2（26-27七年级上·江苏无锡·期中）把下列各有理数分别填入相应的集合内． −2，，0，3.14，，47%，2025，−1.4，． 整数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}． 【答案】 整数集合：； 负数集合： ； 正分数集合： ； 非负有理数集合： 【分析】依据各类有理数的定义，对所给数逐一筛选归类． 【详解】解：整数包含正整数、0、负整数，对应数为，，； 负数为小于0的有理数，对应数为，，； 正分数为大于0的分数，对应数为，，，； 非负有理数包含0和正有理数，对应数为，，，，，． 迁移应用 1．（25-26七年级上·山东日照·期中）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【答案】， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】解：，，，， 整数：{， ， 0}； 负分数：{， }； 正有理数集：{， ， }； 非负整数集：{， 0} 故答案为：， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 题型三 数轴 典例3（25-26七年级下·河北石家庄·期中）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 迁移应用 1．（26-27七年级上·陕西宝鸡·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 【答案】2027或2026 【分析】分两种情况：当线段起点在整点时覆盖个数，当线段起点不在整点时覆盖个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点为整点时，覆盖个整点； 当线段的起点不为整点，即在个整点之间时，覆盖个整点． 综上所述，线段盖住的整点个数为或． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 题型四 绝对值 典例4（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 迁移应用 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． 【答案】(1)7或 (2) ∵， ∴， ∵异号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． (3) ∵， ∴， ∵， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或3． 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，注意分情况讨论是解题关键． （1）根据绝对值的性质可得，结合同号，可知或，然后分别代入求解即可； （2）结合异号可得或，然后分别代入求解即可； （3）结合可得或，然后分别代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵同号， ∴或， 当时，可有， 当时，可有， 综上所述，7或． 故答案为：7或； （2）略 （3）略 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 题型五 相反数 典例5（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先表示出两方程的解，由两方程的解互为相反数，求出m的值． 【详解】解方程 解得， 解方程 解得 依题意 解得： 故答案为：． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如果和互为相反数，那么的值是（    ） A． B．2019 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据和互为相反数，构造等式+=0，利用实数的非负性确定a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵和互为相反数， ∴+=0， ∴a+2=0，b-1=0， ∴a+b+1=0， ∴a+b= -1， ∴== -1， 故选D． 【点睛】本题考查了相反数的性质，实数的非负性，实数的幂的计算，熟练运用相反数的性质构造等式，灵活运用实数的非负性求解是解题的关键． 题型六 有理数大小的比较 典例6（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，， 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 数轴表示各数如下： 则． 【分析】（1）根据点、表示的数找出原点即可； （2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】（1）解：点B向左3个单位长度即为原点，图略． （2）解：，，，图略． 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据下表，回答问题： 0 1 1 2 3 3 2 3 (1)________，________． (2)若，则________； (3)直接写出与的大小关系． 【答案】(1)， (2)0或1 (3)当或1时，， 当或时，， 当时，． 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，有理数大小比较的实际应用． （1）由表可知当时，利用关系式求出，的值即可； （2）观察表格可知当或1时，； （3）由表格即可找到两个式子的大小关系． 【详解】（1）解：由表可知，当， ，， 故答案为：，； （2）观察表格可知，当或1时，， 故答案为：1或0 ； （3）由表可知当或1时，， 当或时，， 当时，． 题型七 有理数四则混合运算 典例7（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的四则混合运算法则计算即可； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）先算乘方，再按照有理数的四则混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型八 有理数四则混合运算的简便计算 典例8（26-27七年级上·江苏苏州·期中）简便计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 迁移应用 1（26-27七年级上·江苏南京·期中）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把变形为，逆用乘法分配律提取公因数，把剩余系数合并计算后再相乘，实现简便运算； （2）先把带分数拆成，再用乘法分配律展开分别乘，化简求和． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中） 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)99900 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、乘法运算律，解答的关键是熟知运算法则和运算顺序． （1）将化为，然后利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用有理数的乘方运算和乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：． ； （2）解： ； （3）解： ． 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 典例9（26-27七年级上·江苏淮安·期中）某飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，六次特技飞行高度变化记录如下：，，，，，．（单位：千米） (1)飞机最后所在的位置比开始位置_________（填写“高”或“低”），高了或低了_________千米； (2)若飞机平均每上升1千米需消耗6升燃油，平均每下降1千米需消耗5升燃油，则飞机在这6次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)低， (2)飞机在这次特技飞行中，一共消耗升燃油 【分析】（1）求出六次特技飞行高度的和即可解答， （2）求出飞机上升飞行的高度，下降飞行的高度， 再乘以燃油量即可解答． 【详解】（1）解：（千米）， 答：此时飞机比开始位置低，低了千米； （2）解： （升）， 答：一共消耗升燃油． 迁移应用 1．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定每天送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周每天的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐情况（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______________单； (2)求该外卖小哥这一周共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元，求该外卖小哥这一周的工资总收入． 【答案】(1) (2) 该外卖小哥这一周共送餐单． (3) 该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 【分析】（1）将一周的送餐量比较大小，周四最多，周五最少，用周四的送餐量减去周五的送餐量即可求解； （2）由一周的规定送餐量单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）先求出表格内超出规定送餐量（正数）的总和，计算补贴元的部分，再用（2）问的总送餐量减去前面算出的正数和，计算补贴元的部分，再算一周底薪，每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周四最多，周五最少， (单) 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送单． （2） 即该外卖小哥这一周共送餐单． （3）补贴元的部分：， 补贴元的部分：， 一周总收入： 即该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）； (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？写出你的方案，并计算所需费用． 【答案】(1) (2)90 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得：元， 答：按方案一购买裤子和T恤共需付款元； （2）解：按方案二，购买裤子和T恤共需付款： 元， 根据题意得，， 解得：， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）解：能；用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款： （元）； 按方案一需要的费用为：（元）， 按方案二需要的费用为：（元）， ∵， ∴用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，最省钱． 题型十 含乘方的有理数混合运算 典例10（26-27七年级上·江苏常州·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合运算运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作④，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“的次商”． (1)初步探究：直接写出计算结果：___________，___________； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 归纳：请把有理数的次商，写成乘方（幂）的形式为：___________ (3)比较：__________；（填“”、“”或“”） (4)计算： 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据除方定义，表示算出结果，表示算出结果． （2）把个连续相除转化为乘法，第一个乘上个，化简得到． （3）套用公式分别算出，，对比大小填等于． （4）使用除方化幂公式算出，合并同类项，计算得到． 【详解】（1）解：． ． （2）解：（一共个） ． （3）解：根据公式 ， ， ∵， ∴． （4）解： 原式 ． 2．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）． ①对于任何正整数n，； ②（）； ③（a是有理数，，n是正整数）； ④； ⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． ①试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______． ②计算：． 【答案】(1)，4 (2)①②⑤ (3)①，；② 【分析】（1）根据新定义，列式计算即可； （2）根据新定义，逐一进行判断即可； （3）①根据新定义结合除法法则，进行计算即可； ②根据新定义以及有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：表示个1相除，结果为1，故①正确； ，故②正确； 当时，，故③错误； ，故，故④错误； 负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数；负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤； （3）解：①； ； ② ． 题型十一 科学记数法 典例11（26-27七年级上·江苏扬州·期中）是由深度求索公司研发的一款混合专家（MoE）架构的大语言模型，其总参数量达到671000000000个，数据671000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：. 迁移应用 1．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）江苏省城市足球联赛-这个被网友亲切称为“苏超”的省级赛事，自2025年5月10日开赛以来，以燎原之势席卷全国舆论场．据统计，本届“苏超”共计进行85场比赛，现场观众总人数达243.33万．将243.33万用科学记数法表示为（    　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：243.33万． 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）将81555万用科学记数法表示为，则n的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：∵81555万， ∴． 题型十二 程序流程图 典例12（26-27七年级上·江苏苏州·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为（     ） A．3 B．0 C．9 D．8 【答案】D 【详解】解：， ， 故输出的结果为8. 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 【答案】-14 【详解】由题意输入， 计算， ∴输入， 计算， ∴输入， 计算， ∴输出． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序，输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n；如输入，得到，． (1)若输入，则 ， ； (2)若输入，试比较与的大小； (3)若得到，求输入的x的值及相应n的值． 【答案】(1)，1 (2) (3)，． 【分析】本题考查的是有理数的混合运算以及一元一次方程的求解，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键； （1）直接根据代入求出与的值 （2）先根据代入求出与的值，进而比较即可； （3）根据题意表示出，将代入求出x的值，代入求出n的值即可； 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，1； （2）解：当时，，， ，， ， ； （3）解：由题意得，，， ， ， 解得：， ， ，． 题型十三 算24点 典例13（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为____________________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 迁移应用 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）玩 “24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次），进行“、、、”四则运算，使其结果为24．现有3，4，，10这四个数，请根据规则列出一条算式，这条算式是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． 【答案】(1)，，，， (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由对角线上的数字之和为可知每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都是，根据每行每列的数字分别求出空格中的数字； （2）根据“二十四点”的游戏规则，利用加减乘除四则运算将，，，四个数连接，使其结果为即可． 【详解】（1）解：， 每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都是， 第一行第一列的数字为， 第二行第一列的数字为， 第三行第二列的数字为， 第二行第三列的数字为， 第三行第三列的数字为， 如下表所示： （2）解：（答案不唯一）． 题型十四 二进制计算 典例14（26-27七年级上·江苏无锡·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的n进制数，只需将十进制数除以n取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】n进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满n进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (4)在二进制中计算； (5)规定：若一个三位的九进制数x和另一个三位的八进制数y的百位、十位、个位数字都相同，则称x和y是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为m，个位数字为n的“同位数”x和y满足，若存在，直接写出m和n的值，若不存在，说明理由．（注意：） 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5)， 【分析】（1）利用其他进制转十进制的方法，每一位数字乘对应基数的幂再相加算出的十进制值；十进制转二进制用除2取余、逆序排列的方法，把转化成二进制； （2）按照二进制加法“逢二进一”的规则，从最低位开始逐位相加，算出两个二进制数相加的结果； （3）利用其他进制转十进制的方法，每一位数字乘对应基数的幂再相加算出的十进制值；对反复除以2，记录余数，最后逆序写出余数得到对应的二进制数； （4）遵循二进制加法“逢二进一”的规则，从右往左逐位计算，得到两个二进制数相加后的二进制结果； （5）先把等式中九进制、八进制、四进制的数全部换算成十进制，化简消去n，得到m、n的不定方程，再结合八进制数位数字m、n的取值范围，找出满足方程的整数解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：； （5）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，且m、n均为整数， ，． 迁移应用 1．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 题型十五 有理数的新定义运算 典例15（26-27七年级上·江苏徐州·期中）已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：． 求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入新运算公式计算即可； （2）按照运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算减法． 【详解】（1） 解： ∵ ， ∴ ； （2）解：， ， ∴ . 迁移应用 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)② (2)①11； ②满足，理由如下： ，， ， “”运算满足“反换律”． 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的混合运算、代数式的求值，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据“反换律”的定义，对题目的运算逐个分析判断即可； （2）①根据“”运算的定义，代入，计算即可；②分别计算和，比较计算结果即可得出答案． 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②． 故答案为：②． （2）解：①当，时， ； 故答案为：11． ②略 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项左边式子去括号化简，与右边式子对比判断． 【详解】解：A.，与等式右边不相等，错误； B.，与等式右边不相等，错误； C.，与等式右边相等，正确； D.，与等式右边不相等，错误． 2．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）在 中，负数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：，是负数； ，是负数； ，不是负数； ，是负数； ，是负数． 负数共有4个． 3．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）若 ，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用非负项和为0时各非负项均为0的性质，求出，的值后计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 4．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为6，C是的中点， ∴中点C表示的数为． 5．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 6．（26-27七年级上·江苏南京·期中），，，，，，中，非正整数有______个． 【答案】 【分析】先明确非正整数的定义为和负整数，再逐个判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：非正整数指小于等于的整数，包含和所有负整数，对给出的数逐个判断： 是负小数，不是整数，不符合要求； 是正小数，不符合要求； 是非正整数，符合要求； 是负小数，不是整数，不符合要求； 是负分数，不是整数，不符合要求； 是正分数，不符合要求； 是无限小数，不是整数，不符合要求； 因此符合要求的非正整数只有个． 7．（26-27七年级上·江苏南京·期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为______． 【答案】 【分析】根据图示所给的步骤代入数值计算即可． 【详解】解：由于，则应代入下方运算步骤， 8．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如果x为有理数，式子的最小值为_________ 【答案】2026 【分析】利用绝对值的非负性，即可求出式子的最小值． 【详解】解：∵为有理数， ∴根据绝对值的非负性，得， ∴， 当时，式子取得最小值， ∴式子的最小值为． 9．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知点P是数轴上的一个点，把点P先向左移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时点P与表示的点重合，则点P表示的数是______． 【答案】 【分析】采用逆向思考，表示的点先向左移动2个单位，再向右移动5个单位，即可求得答案． 【详解】解：反过来考虑，表示的点先向左移动2个单位，再向右移动5个单位，即是点P所在的位置， ， 所以点P表示的数是． 10．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．现定义，例如，则________． 【答案】 【分析】根据新定义先确定的值，再代入公式计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴， ∴． 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1). (2). (3). (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把减法变为加法，再根据加法交换律、结合律进行计算即可得答案. （2）把减法变为加法，再根据加法交换律、结合律进行计算即可得答案. （3）根据乘法分配律把展开，再计算乘法，最后计算加减法即可得答案. （4）先计算的、、，最后计算加减法即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 12．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）首先化简绝对值得到，，然后分情况分别代入求解； （2）根据得到，或，，然后分别代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或； （2）解：∵，即 ∴，或， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 13．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）将下列各数分别填入相应的集合：，3，，3.1415926，，0， ，，． 整数集合{                                                  …} 分数集合{                                                  …} 非负整数集合{                                              …} 【答案】整数集合为{3，−8，0} 分数集合为{，，3.1415926，} 非负整数集合为{，} 【分析】先识别出无理数并排除，再根据整数、分数、非负整数的定义对剩余有理数逐一归类． 【详解】解：，是无限不循环小数，不属于整数或分数范畴， ∵整数包括正整数、0、负整数， ∴整数集合为{3，−8，0}； ∵分数包括有限小数、无限循环小数、可化为分数的百分数，均为有理数， ∴分数集合为{，，3.1415926，}； ∵非负整数包括正整数和0， ∴非负整数集合为{，}． 14．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上把下列各数表示出来：，2.5，，，0．并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“”连接． 【答案】， 【分析】化简绝对值，将点在数轴上表示即可比较大小． 【详解】解：，， 如图所示： ． 15．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）某天出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王在下午出车时的出发地的什么方向？距离出发地有多远？ (2)若汽车的耗油量为，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过公里，收费元，超过公里的部分，按每公里元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【答案】(1)小王在下午出车时出发地的西边，距离出发地9公里． (2)这天下午小王的车共耗油17升． (3)这天下午小王前三次营运收入共45元． 【分析】（1）把所有里程相加得到代数和，根据正负判断方向，绝对值代表距离出发点的路程； （2）总耗油量看实际行驶路程，计算所有里程的绝对值之和，再乘单位耗油量； （3）分别算出前三次每一趟的收费，不超过3公里收9元，超出3公里的部分每公里2元，最后求和． 【详解】（1）解： 规定向东为正，向西为负，结果为负， 在出发地西边，距离出发地公里． 答：最后一次营运结束时，小王在出发地的西边，距离出发地公里． （2）， （升） 答：这天下午小王的车共耗油17升． （3）前三次里程：，， 第1次：里程公里，收费元； 第2次：里程10公里，（元）； 第3次：里程公里，（元）； 总收入：（元）． 答：这天下午小王前三次营运收入共45元． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）无锡某景区推出分段优惠：购票总金额中，不超过元的部分不打折；超过元但不超过元的部分打折；超过元的部分打折．某学校组织名教师、名学生购票入园，已知成人票每张元、学生票每张元，则该学校实际支付的门票费用为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：购票总金额为元， ∵， ∴实际支付费用为 元． 17．（2026七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【分析】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 18．（26-27七年级上·江苏常州·期中）如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数，点O对应0，点C对应3，（表示点A到点B的距离），如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的点O和点C，若，则点A在刻度尺上对应的刻度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据O、C两点算出数轴一个单位对应刻度尺的长度，再由、长度依次求出B、A在数轴上对应的数字，再算出A到O的数轴距离，换算成刻度尺长度，用O对应的刻度减去该长度，得到点A对应的刻度尺读数． 【详解】解：数轴上3个单位长度对应的刻度尺长度：， 数轴上1个单位长度对应刻度尺长度：， 因为点C对应3，， 所以点B对应的数为． 因为， 所以点A对应的数为． 因为点A到点O的距离为4个单位长度， 则对应刻度尺长为， 因为刻度尺上“”对应数轴上的点O， 所以点A对应的刻度尺刻度为． 19．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）阅读一： 纽约 伦敦 东京 下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数．譬如：现在北京时间是2026年10月1号10点，东京时间是2026年10月1号11点 阅读二： 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 28.5 31 指示时间（北京时间） ？ 则箭尺读数为时，指示伦敦时间应为（    ） A． B． C．第二天凌晨 D． 【答案】A 【分析】根据表格数据得出箭尺读数与时间的变化规律，求出读数为时的北京时间，再根据时差计算伦敦时间 【详解】解：由表可知，时间每增加，箭尺读数增加， ， ， 箭尺读数为时，即北京时间为， 伦敦时间比北京时间晚， 伦敦时间为，即． 20．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 【答案】D 【分析】观察给定的算式可知：个位数字每个数字为一个循环组依次循环，然后用除以，根据商和余数的情况解答即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，… ∴个位数字以这个数为一个循环组依次循环． ∵， ∴的个位数字是． 21．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）下列各数中：，3，，，0，，，，其中负分数的个数是________个． 【答案】2 【分析】先化简需要计算的数，再根据负分数的定义找出符合条件的数，统计个数即可． 【详解】解：，，， 是负整数，不是负分数； 3是正整数，不是负分数； 是负分数； 是负的有限小数，属于负分数； 0既不是正数也不是负数，不是负分数； 2.28是正分数，不是负分数； 是负整数，不是负分数； 是正分数，不是负分数； 因此负分数的个数为2． 22．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，．若满足，则x的值是_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，按x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：①当时， ，， ∴， 令， 解得，满足，符合条件； ②当时，，， ∴， ∴时，此范围内没有满足的x的值； ③当时，，， ∴， 令， 解得，满足，符合条件； 综上所述，的值为． 23．（26-27七年级上·江苏南通·期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算．材料一：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．材料二：将，换算成十进制数应为：，．根据上述材料回答问题：将十进制数13对应的二进制数为______．将二进制换算成十进制数的结果是：______． 【答案】 365 【分析】第一空：根据材料一方法列出除法算式即可得解； 第二空：根据材料二方法列出算式计算即可； 【详解】解：参照材料一列出除法算式如图： ∴； 参照材料二得： ． 24．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）幻方是我国古代数学的杰作之一，珍珍仿照幻方，自己做了如图所示的七点积幻阵（七个数不相等，且都是负整数），每条穿过中心的直线上的三个数的乘积都相等，且，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，再结合七个数不相等，且都是负整数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵，且七个数不相等，且都是负整数， ∴为， ∵， ∴m的值为． 25．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）把几个不同的整数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：；；…我们称之为集合，其中的每一个整数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为m，且，则该黄金集合的元素的个数是_________． 【答案】或 【分析】根据黄金集合定义，元素必有，每对元素和为，分集合包含和不包含两种情况，结合的范围计算元素个数即可． 【详解】解：由黄金集合定义，若集合含，则必含，每一组与和为100，占个元素；50单独为个元素，和为50， ①集合不含50，总和为100的倍数，满足，只能， 配对数：，元素个数：； ②集合含有50，成对部分和为2000，，满足， 元素个数：． 综上所述，该黄金集合的元素个数是或． 26．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将，代入新运算定义式计算； （2）遵循先算括号内的运算顺序，分步代入新运算定义式计算． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）解：先计算括号内，， 再计算． 28．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）请观察下列算式，找出规律并填空： (1)则第10个算式是：__________________． (2)根据以上规律，第n个算式是：__________________． (3)根据以上规律计算下题：（不能只写结果，要写出必要的过程） 【答案】(1)， (2)， (3)解： ． 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案； （3）利用所得规律展开，两两相消求解可得． 【详解】（1）解：根据题意得，第10个算式是； （2）解：根据题意得，第n个算式是； （3）略 29．（26-27七年级上·江苏常州·期中）阅读并解决相应问题： (1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点的“节点”．如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“节点”． 填空： ①若点表示的数为，则的值为________． ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为的“节点”，请直接写出整点所表示的数． (2)类比探究： 如图，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请求出点表示的数及的值，并说明理由． 【答案】(1)①；②或或或或或 (2)点表示的数是，或点表示的数是，，理由如下： 当点在点右侧时， ∵点到点的距离为， ∴点表示的数是， ∴， ∴，即； 当点在点左侧时， ∵点到点的距离为， ∴点表示的数是， ∴， ∴，即； 综上，点表示的数是，或点表示的数是，． 【分析】（）①求出的值，即可求解；②由，可得点在点之间（含点），且点表示的数为整数，据此即可求解； （）点在点右侧和左侧两种情况，根据定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， 即； ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， 又∵整点为的“节点”， ∴， ∴点在点之间（含点），且点表示的数为整数， ∴点所表示的数为或或或或或； （2）略 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 正数与负数 考点二 有理数的概念与分类 考点三 数轴、绝对值与相反数 考点四 有理数大小比较 考点五 有理数四则混合运算 考点六 有理数乘方运算 考点七 科学记数法 考点八 近似数 05 重难题型突破 题型一 正数与负数 题型二 有理数 题型三 数轴 题型四 绝对值 题型五 相反数 题型六 有理数大小的比较 题型七 有理数四则混合运算 题型八 有理数四则混合运算的简便计算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 含乘方的有理数混合运算 题型十一 科学记数法 题型十二 程序流程图 题型十三 算24点 题型十四 二进制计算 题型十五 有理数的新定义运算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版七年级上册期中，有理数板块分值一般 30～45 分，占试卷 30%～45%，是开篇基础内容。题型遍布选择、填空、计算大题，常单独考查，也会融入后续整式题目之中，属于必须稳拿分的基础板块，直接影响整体得分。 2. 题型特点 选择填空侧重正负数识别、相反数、绝对值、数轴、科学记数法、有理数大小比较；解答以有理数混合运算为主，附带简单实际应用题。题目素材常规，紧扣课本定义与运算法则，重点考查概念辨析和基础计算能力。 3. 难度分布 基础题占七成以上，直接套用概念、法则即可完成；中档题集中在绝对值化简、数轴动点简单分析；难题较少，多为填空小题，常结合分类讨论，易错点集中在符号处理、乘方辨析、运算顺序，难点不在于思路而在于细心程度。 4. 备考方向 梳理有理数相关概念，厘清绝对值、乘方的易错点；坚持定时训练混合运算，强化符号意识，严格遵循运算顺序；重视数轴数形结合题型，训练简单分类讨论；整理计算错题，养成验算习惯，减少粗心造成的无谓失分。 识记 识记有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数等概念；熟记有理数分类、大小比较法则，牢记加减乘除、乘方运算法则与运算律，分清符号规则。能准确识别正负数，会读写科学记数法，熟记 0、±1 等特殊数性质，夯实计算所需基础概念。 理解 理解数轴上点与有理数一一对应关系，明白绝对值的几何意义；理解符号对运算结果的影响，理解运算律的作用；能结合数轴解释数的大小、距离，区分乘方底数与指数，理清运算顺序，读懂法则背后逻辑，不机械套公式。 应用 能熟练进行有理数混合运算，遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序；会用数轴比较数的大小、化简绝对值；能用有理数表示生活中具有相反意义的量，解决简单实际问题，规范书写步骤，细心处理符号，减少计算失误。 考点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 考点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，m≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 4、循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：； （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 5、有理数的分类 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 考点三 数轴、绝对值与相反数 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以|0|=0. 4.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 5.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有|a|≥0. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 考点四 有理数大小比较 有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 考点五 有理数四则混合运算 有理数加法法则与运算律 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若a＞0，b＞0，则a+b=+（|a|+|b|）； 若a＜0，b＜0，则a+b=—（|a|+|b|）； 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等时，两数之和为0； 3.一个数与0相加，仍得这个数； 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b) 1. 较大的数－较小的数＝正数； 2. 较小的数－较大的数＝负数； 3. 相等的两个数相减等于0； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则与运算律 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 考点六 有理数乘方运算 有理数的乘方运算 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 考点七 科学记数法 科学记数法 1. 科学记数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 考点八 近似数 近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 题型一 正数与负数 典例1（26-27七年级上·江苏南京·期中）下列各数：，，1，0，，，，，中，正数有___个，负数有___个． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（     ） A．支出80元 B．收入20元 C．收入80元 D．支出20元 2．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）徐州是两汉文化的发源地，狮子山楚王陵是徐州汉文化景区的核心景区之一．历史记载公元前178年左右，西汉楚王开始在位于楚都彭城东南狮子山地区修建陵园．通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．例如现在公元2026年记作2026年，那么公元前178年应记作（     ） A．177年 B．年 C．178年 D．年 题型二 有理数 典例2（26-27七年级上·江苏无锡·期中）把下列各有理数分别填入相应的集合内． −2，，0，3.14，，47%，2025，−1.4，． 整数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}． 迁移应用 1．（25-26七年级上·山东日照·期中）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 题型三 数轴 典例3（25-26七年级下·河北石家庄·期中）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 迁移应用 1．（26-27七年级上·陕西宝鸡·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为．若在数轴上画出一条长的线段，则线段盖住的整点个数为__________． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 题型四 绝对值 典例4（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知，且，求___________． 迁移应用 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知． (1)若同号，则___________； (2)若异号，请求出的值（写出解答过程）； (3)若，请求出的值（写出解答过程）． 2．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 题型五 相反数 典例5（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则________． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如果和互为相反数，那么的值是（    ） A． B．2019 C．1 D． 题型六 有理数大小的比较 典例6（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，， 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）根据下表，回答问题： 0 1 1 2 3 3 2 3 (1)________，________． (2)若，则________； (3)直接写出与的大小关系． 题型七 有理数四则混合运算 典例7（26-27七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）； (5)； (6)． 题型八 有理数四则混合运算的简便计算 典例8（26-27七年级上·江苏苏州·期中）简便计算： (1)； (2)； 迁移应用 1（26-27七年级上·江苏南京·期中）简便计算： (1) (2) 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中） 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 典例9（26-27七年级上·江苏淮安·期中）某飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，六次特技飞行高度变化记录如下：，，，，，．（单位：千米） (1)飞机最后所在的位置比开始位置_________（填写“高”或“低”），高了或低了_________千米； (2)若飞机平均每上升1千米需消耗6升燃油，平均每下降1千米需消耗5升燃油，则飞机在这6次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 迁移应用 1．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定每天送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周每天的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐情况（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______________单； (2)求该外卖小哥这一周共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元，求该外卖小哥这一周的工资总收入． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）某服装批发商促销一种裤子和恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件恤； 方案二：裤子和恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，恤件（）； (1)按方案一，购买裤子和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种最为省钱的购买方案吗？写出你的方案，并计算所需费用． 题型十 含乘方的有理数混合运算 典例10（26-27七年级上·江苏常州·期中）计算题： (1)； (2)． 迁移应用 1．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作④，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“的次商”． (1)初步探究：直接写出计算结果：___________，___________； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 归纳：请把有理数的次商，写成乘方（幂）的形式为：___________ (3)比较：__________；（填“”、“”或“”） (4)计算： 2．（26-27七年级上·江苏连云港·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）． ①对于任何正整数n，； ②（）； ③（a是有理数，，n是正整数）； ④； ⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． ①试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______． ②计算：． 题型十一 科学记数法 典例11（26-27七年级上·江苏扬州·期中）是由深度求索公司研发的一款混合专家（MoE）架构的大语言模型，其总参数量达到671000000000个，数据671000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）江苏省城市足球联赛-这个被网友亲切称为“苏超”的省级赛事，自2025年5月10日开赛以来，以燎原之势席卷全国舆论场．据统计，本届“苏超”共计进行85场比赛，现场观众总人数达243.33万．将243.33万用科学记数法表示为（    　） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏南京·期中）将81555万用科学记数法表示为，则n的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十二 程序流程图 典例12（26-27七年级上·江苏苏州·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为（     ） A．3 B．0 C．9 D．8 迁移应用 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序，输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n；如输入，得到，． (1)若输入，则 ， ； (2)若输入，试比较与的大小； (3)若得到，求输入的x的值及相应n的值． 题型十三 算24点 典例13（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为____________________． 迁移应用 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）玩 “24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次），进行“、、、”四则运算，使其结果为24．现有3，4，，10这四个数，请根据规则列出一条算式，这条算式是___________． 2．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． 题型十四 二进制计算 典例14（26-27七年级上·江苏无锡·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的n进制数，只需将十进制数除以n取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】n进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满n进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (4)在二进制中计算； (5)规定：若一个三位的九进制数x和另一个三位的八进制数y的百位、十位、个位数字都相同，则称x和y是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为m，个位数字为n的“同位数”x和y满足，若存在，直接写出m和n的值，若不存在，说明理由．（注意：） 迁移应用 1．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 题型十五 有理数的新定义运算 典例15（26-27七年级上·江苏徐州·期中）已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：． 求： (1)的值． (2)的值． 迁移应用 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）在 中，负数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）若 ，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D．3 4．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·江苏南京·期中），，，，，，中，非正整数有______个． 7．（26-27七年级上·江苏南京·期中）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为______． 8．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）如果x为有理数，式子的最小值为_________ 9．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知点P是数轴上的一个点，把点P先向左移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时点P与表示的点重合，则点P表示的数是______． 10．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．现定义，例如，则________． 11．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1). (2). (3). (4). 12．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，求的值． 13．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）将下列各数分别填入相应的集合：，3，，3.1415926，，0， ，，． 整数集合{                                                  …} 分数集合{                                                  …} 非负整数集合{                                              …} 14．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上把下列各数表示出来：，2.5，，，0．并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“”连接． 15．（26-27七年级上·江苏苏州·期中）某天出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王在下午出车时的出发地的什么方向？距离出发地有多远？ (2)若汽车的耗油量为，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过公里，收费元，超过公里的部分，按每公里元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）无锡某景区推出分段优惠：购票总金额中，不超过元的部分不打折；超过元但不超过元的部分打折；超过元的部分打折．某学校组织名教师、名学生购票入园，已知成人票每张元、学生票每张元，则该学校实际支付的门票费用为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 17．（2026七年级上·江苏·专题练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 18．（26-27七年级上·江苏常州·期中）如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数，点O对应0，点C对应3，（表示点A到点B的距离），如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的点O和点C，若，则点A在刻度尺上对应的刻度是（     ） A． B． C． D． 19．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）阅读一： 纽约 伦敦 东京 下面是北京与世界上其他城市的时差，其中带“”的数表示同一时刻比北京时间早的小时数，带“”的数表示同一时刻比北京时间晚的小时数．譬如：现在北京时间是2026年10月1号10点，东京时间是2026年10月1号11点 阅读二： 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 28.5 31 指示时间（北京时间） ？ 则箭尺读数为时，指示伦敦时间应为（    ） A． B． C．第二天凌晨 D． 20．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律判断的个位数字是（     ） A．3 B．1 C．7 D．9 21．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）下列各数中：，3，，，0，，，，其中负分数的个数是________个． 22．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，．若满足，则x的值是_______． 23．（26-27七年级上·江苏南通·期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算．材料一：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．材料二：将，换算成十进制数应为：，．根据上述材料回答问题：将十进制数13对应的二进制数为______．将二进制换算成十进制数的结果是：______． 24．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）幻方是我国古代数学的杰作之一，珍珍仿照幻方，自己做了如图所示的七点积幻阵（七个数不相等，且都是负整数），每条穿过中心的直线上的三个数的乘积都相等，且，则m的值为______． 25．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）把几个不同的整数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：；；…我们称之为集合，其中的每一个整数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为m，且，则该黄金集合的元素的个数是_________． 26．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 27．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如 (1)求的值； (2)求的值． 28．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）请观察下列算式，找出规律并填空： (1)则第10个算式是：__________________． (2)根据以上规律，第n个算式是：__________________． (3)根据以上规律计算下题：（不能只写结果，要写出必要的过程） 29．（26-27七年级上·江苏常州·期中）阅读并解决相应问题： (1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点的“节点”．如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“节点”． 填空： ①若点表示的数为，则的值为________． ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为的“节点”，请直接写出整点所表示的数． (2)类比探究： 如图，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请求出点表示的数及的值，并说明理由． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $