专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 1.理解有理数乘法法则，掌握两数、多个有理数相乘时积的符号判定方法，会计算乘积的绝对值；熟记倒数的定义，会求非零有理数的倒数，明确 0 没有倒数。 2.掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），能够灵活运用运算律简化乘法计算，尤其是利用分配律处理带括号的简便运算。 3.理解有理数除法法则，知道除法可以转化为乘法运算，牢记 “除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”；掌握两数相除的符号规律，规范完成除法计算。 4.掌握有理数乘除混合运算的步骤，乘除属于同级运算，按从左往右顺序计算；计算前先确定结果符号，再计算绝对值，能把除法统一转化为乘法再运算。 5.会运用有理数乘除法解决简单实际应用题，读懂生活情境，列出乘除算式求解。 6.辨析易混概念：区分相反数与倒数；多个数相乘时，因数中有 0 则积为 0；多个不为 0 的数相乘，负因数个数决定积的符号。 7.综合运用：结合加减运算，进行简单的有理数四则混合运算，牢记运算顺序，先乘除、后加减。 8.易错警示：计算先定符号，再算绝对值；0 不能作除数；带负号的分数求倒数时，符号要保留；运用分配律时，括号内每一项都要相乘，不要漏乘。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:倒数（除法转化必备工具） 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02:有理数的乘法 （一）两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：(-4)(-6)=+(46)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)6=(46)=24 任何数与 0 相乘，结果为 0 例：0(-12.5)=0 （二）多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1.因数不含 0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负； 2.因数中只要有一个 0，乘积直接等于 0，无需计算绝对值。 例：(-2)(-3)(-4)，3 个负因数（奇数），结果为负；(-1)20(-5)=0 （三）乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 (一）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab = a(b≠0) (二）两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任意非 0 数，结果为 0。 ⚠️ 禁忌：0 不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数； 2.确定符号：数负因数总个数，定最终正负； 3.约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果； 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 题型一：两个有理数的乘法运算 1．计算：（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（     ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①是正数乘正数； ②是负数乘正数； ③是正数乘0； ④是正数乘负数； 已有算式覆盖了正数乘正数，异号两数相乘，正数乘0的类型， 缺少两负数相乘的类型； 选项A是正数乘正数，不符合； 选项B、D是负数乘正数，不符合； 选项C、是两负数相乘，符合要求． 4．在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则______，______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了有理数的乘法，由，，可得，，，，再由，，求解即可． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：2，1． 题型二：多个有理数的乘法运算 5．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（     ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ∵ 运算结果为正数， ∴ 内的数为负数， 选项中只有符合要求． 6．小明将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的积是________． 【答案】0 【分析】先确定左边墨迹覆盖的数轴范围是大于且小于，找出该区间内的所有整数．再确定右边墨迹覆盖的数轴范围是大于且小于3，找出该区间内的所有整数．因为要计算这些整数的乘积，所以将两步得到的所有整数相乘，用到有理数乘法的运算法则． 【详解】左侧墨迹在和之间，这个区间内的整数是； 右侧墨迹在和3之间，这个区间内的整数是0、1、2． 所有被盖住的整数的乘积为： ． 7．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 题型三：有理数乘法的实际应用 8．A系列纸张以面积约1平方米的纸为基础，纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半，以此类推．如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重80克，那么一张纸重约为（     ） A．5克 B．10克 C．20克 D．80克 【答案】A 【分析】根据题中纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半，则纸是纸的一半，直接计算即可． 【详解】解：一张纸重约为（克）． 9．一种商品每件进价为4元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压，商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利____元． 【答案】 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据题意列式计算求解，即可解题． 【详解】解：由题意可知：， 故答案为：． 10．在一条公路上有五个相邻会场A、B、C、D、E，每相邻两个之间的距离都是500米．已知A会场的参会人员10人，B会场的参会人员20人，E会场的参会人员20人，C和D会场没有参会人员．现在要让所有参会人员集中到一个会场的餐厅用餐，集中到（     ）可以使所有人走的路程和最小？ A．A会场 B．B会场 C．C会场 D．D会场 【答案】B 【分析】分别计算集中到各会场的总路程，即可求解． 【详解】解：每相邻两个会场的距离为米，分别计算集中到各会场的总路程： 集中到A会场：米． 集中到B会场：米． 集中到C会场：米． 集中到D会场：米． 集中到E会场：米． ， 集中到B会场总路程最小． 题型四：倒数 11．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，其倒数为． 12．的绝对值除以的倒数的商，再乘14的相反数，结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 13．一列数，，，…，，其中，并且后一个数等于1与前一个数的倒数的差，例如，以此类推……，则的值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，发现数据的规律，利用规律进一步解决问题． 通过计算前几项，发现数列呈现周期性变化，周期为3，计算一个周期内的乘积为，总项数2026项，包含675个完整周期和一项余项，完整周期乘积为，余项为，总乘积为3． 【详解】解：， ， ， ， 可知数列周期为3． 一个周期内乘积：． 总项数2026，， ∴前2025项为675个完整周期，乘积为， 第2026项， ∴． 故选：B． 题型五：有理数乘法运算律 14．在中运用了（     ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法的运算律，熟练掌握乘法交换律和乘法结合律是解答本题的关键，根据算式结合乘法运算律判断即可． 【详解】解：在中，运用了乘法交换律和乘法结合律． 15．__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．式子中用的运算律是（     ） A．乘法交换律和乘法结合律 B．乘法交换律和乘法对加法的分配律 C．乘法结合律和乘法对加法的分配律 D．分配律和加法结合律 【答案】C 【详解】解：第一步计算了，用的是乘法结合律； 第二步将分别与括号内的各项相乘，用的是乘法对加法的分配律． 题型六：有理数的除法运算 17．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数的基本性质把分数的分子、分母约去它们的最大公因数即可． 【详解】解： 18．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是______． 【答案】100 【分析】本题主要考查了有理数的有关运算，掌握要使商最大，则被除数应该最大、除数最小成为解题的关键． 设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,，列出式子，根据要使商最大，被除数应该最大，除数最小，从而得到，进而完成解答． 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,， ∴ ， ∵要使商最大，， ∴当时，商的最大，最大值为：． 故答案为：100． 19．等式这步变形的依据是_______． 【答案】除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 直接根据有理数除法法则解答即可． 【详解】解：等式这步变形的依据是：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数． 故答案为：除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数． 20．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意求出的值，再代入计算即可求解 ，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：． 题型七：有理数除法的应用 21．商品广告中的“买四送一”相当于现价比原价便宜（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每件商品原价为1， ∵买四送一即付4件的费用可得5件商品， ∴现价每件为（元）， ∴ 现价比原价便宜的比例为． 22．气象观测表明，一般情况下，高度每增加1千米，气温大约降低，某飞行员在高空测得某处气温为，当他把飞机下降一定高度后，测得该处的气温是，则飞机下降的高度为________千米． 【答案】6 【分析】先计算两处的气温差，梳理气温与高度的变化对应关系，然后计算飞机下降的高度． 【详解】解：高空气温为零下，下降后气温为零下， 气温升高的度数为：（℃） 已知高度每增加1千米，气温大约降低，反过来，气温每升高，对应高度下降1千米，因此得到下降的高度：（千米）． 23．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走（     ）颗棋子． A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】解：已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 题型八：有理数乘除混合运算 24．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一成乘法运算，再按从左往右的顺序依次计算． 【详解】解：． 25．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 26．下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 题型九：有理数四则混合运算 27．规定“※”为一种运算，若对任意两数、，有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 28．若，，，则__________． 【答案】 【分析】 本题是规律探索题，考查了有理数的混合运算，根据题意找出计算规律是解题关键．根据题意得出，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， 即， 则， 故答案为：． 29．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算律适用范围，可直接判断除法无分配律，快速锁定错误选项． 【详解】解：其余选项计算均正确，选项D中，左边， 右边，左右两边不相等，计算错误，故D符合题意． 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 30．某冷冻厂一个冷库的室温是，现有一批食品需要在的室温下保存，若该厂这个冷库每小时能降温，则恰好降到所需温度需要（     ） A．6小时 B．7小时 C．4小时 D．5小时 【答案】A 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解： （小时）， 即恰好降到所需温度需要6小时． 31．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．从下到上前______个台阶上数的和为30． 【答案】40或51 【详解】解：∵前4个台阶上数的和是，任意相邻四个台阶上数的和都相等， ∴前40个台阶上数的和为， 又∵第2个到第5个台阶的数字之和是3，第3个到第6个台阶的数字之和是3，第4个到第7个台阶的数字之和是3，，，， ∴第个台阶上的数为30， 即从下到上前40个台阶或前51个台阶上的数的和为30． 32．某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定会议室所在楼层时，考虑到使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短．现要在某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到（   ） A．1层 B．2层 C．1层或2层 D．2层或3层 【答案】C 【分析】本题考查了爬楼问题． 原最优会议室楼层为2层，添加10人后需保证2层仍为最优．通过计算添加至各楼层后总爬楼距离的变化，仅添加至1层或2层时，2层总距离仍最小． 【详解】解：设所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和为，则n为楼层 原各层人数：1层20人、2层16人、3层10人、4层10人、5层12人． 计算会议室在各楼层的总爬楼距离： ， ， ， ， ， ，可知最优楼层为第2层． 添加10人至楼层k后， 设所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和为，则k为楼层 时，，，，，，在第2层； 时，，，，，，在第2层； 时，，，，不满足； 或5时，同样，不满足； ∴仅或2时，2层仍最优． 故选：C． 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．实数，在数轴上的对应点如图所示，则______；______；______．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由数轴得，，，，进一步得出，，即可． 【详解】解：由数轴得，，，， ，，， 故答案为：<，<，<． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算法则，注意数形结合思想的应用． 34．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论： ①，②，③，④，⑤其中，正确的结论有___________（填序号）. 【答案】①②③ 【分析】根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 则：①，故①原结论正确； ②， ， ，故②原结论正确； ③，，， ，故③原结论正确； ④，， ，故④原结论错误； ⑤，， 当时，， 故⑤原结论错误； 故正确的结论有①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键． 35．如图，若点A，B，C所对应的数依次为a，b，c，则下列大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴得a，b，c的取值范围，即可得 ，，，进而可得答案. 【详解】解：如图， 由图得：，，， ∴，，， ∴，，，，故A正确，B、C、D错误. 题型十二：数轴上的翻折 36．如图，在一条可以折叠的数轴上，、两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若点折叠后在点的右边，若点表示的数是，则折叠后线段的长度是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，根据与表示的数求出，根据点在的左侧，点表示的数是，求得的长，即可求得折叠后的长． 【详解】解：，表示的数为，， 原来的， 点在的左侧，点表示的数是， ， 折叠后的，即折叠后线段的长度是 故答案为：． 37．如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】先计算出折叠后点表示的数，再计算折叠前后两数的平均数即可． 【详解】解：∵折叠后，且点在点右侧， 又∵点表示的数为， ∴折叠后点表示的数为， ∵折叠前点表示的数为， ∴折点表示的数为． 38．如图，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A折叠后在点B的右边，且， ∴折叠后点表示的数为， ∴折叠后和重合， ∴C点表示的数是. 解答题 39．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆为，再根据乘法分配律计算即可； （2）先根据数的特点结合，再根据有理数的乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．计算． (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）除法变乘法，然后利用乘法分配律简便运算． （2）有理数混合运算，先算括号，再算乘除，最后算减法；带分数拆成整数加分数，利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 41．薛老师给同学们出了这样一道题： 计算： 下面是小刚和小明的解题过程： 小刚：解：原式________________； 小明：解：； 所以． (1)请把小刚的解法补全； (2)由小明和小刚的算法，可以看出小明的算法可使计算简便，请利用小明发现的简便算法进行计算： 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）仿照小明的算法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ∴． 42．最近几年，全球新能源汽车发展非常迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车的产销量都大幅度增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录每天行驶的路程与标准路程的差值（如表），以为标准，超过记为“”，不足记为“”，刚好记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准路程的差值（km） 0 (1)小明家这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多_______． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了多少钱? 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（1）先比较得出行程最多和最少的一天，再作差即可； （2）先求出这7天超过或不足的路程，再加上标准值，即可求解； （3）求出汽油车这7天的行驶费用，再减去新能源汽车这7天的行驶费用，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多． （2）解：． 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：（元）． 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了166.05元． 43．【知识拓展】 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离： 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)如图，若点分别表示的数是， ___________； 化简：___________； (2)若，则的值为___________；若，则的值为___________． (3)求的最小值． 【答案】(1)；； (2)或，或； (3)的最小值为． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 由数轴确定的正负，然后去绝对值进行化简即可； 根据绝对值的意义，然后结合题意即可求解； 结合数轴进行分析，可知当点在到之间时，取得最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； 由数轴可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离， ∴当时，的值为或； ∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离， ∴当时，的值为或； 故答案为：或，或； （3）解：当数在与之间，或数在处，或数在处时，恒成立； 当数在的左侧时，； 当数在的右侧时，； 综上，的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解有理数乘法法则，掌握两数、多个有理数相乘时积的符号判定方法，会计算 乘积的绝对值，熟记倒数的定义，会求非零有理数的倒数，明确0没有倒数。 2,掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），能够灵活运用运算律简 化乘法计算，尤其是利用分配律处理带括号的简便运算。 3理解有理数除法法则，知道除法可以转化为乘法运算，牢记“除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数”，掌握两数相除的符号规律，规范完成除法计算。 4.掌握有理数乘除混合运算的步骤，乘除属于同级运算，按从左往右顺序计算；计 算前先确定结果符号，再计算绝对值，能把除法统一转化为乘法再运算。 5会运用有理数乘除法解决简单实际应用题，读懂生活情境，列出乘除算式求解。 6辨析易混概念：区分相反数与倒数；多个数相乘时，因数中有0则积为0，多 个不为0的数相乘，负因数个数决定积的符号。 7综合运用：结合加减运算，进行简单的有理数四则混合运算，牢记运算顺序，先 乘除、后加减。 8.易错警示：计算先定符号，再算绝对值：0不能作除数：带负号的分数求倒数 时，符号要保留；运用分配律时，括号内每一项都要相乘，不要漏乘。 题型梳理 年。”””。” 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★ 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 试卷第1页（共3页） ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：倒数（除法转化必备工具） 1.倒数定义 乘积为1的两个有理数互为倒数。 2。倒数的求法 试卷第2页（共3页） 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除 以这个数求倒数 小数的倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照 真、假分数求倒数的方法来进行 先把带分数化为假分数，然后将分子分 带分数的倒数 母调换位置 3.关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与0相乘得1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点02：有理数的乘法 (一)两数相乘法则（核心口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘） 同号两数相乘：积为正，两绝对值相乘 例：（←4）×（←6）=+(4×6)=24 异号两数相乘：积为负，两绝对值相乘 例：(-4)×6=-(4×6)=-24 任何数与0相乘，结果为0 试卷第3页（共3页） 例：0×(12.5)=0 (二)多个有理数连乘符号规律（高频考点） 1因数不含0：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为 负： 2因数中只要有一个0，乘积直接等于0，无需计算绝对值。 例：(2)×(3)×(4)，3个负因数（奇数)，结果为负；(1)×2×0×(5)=0 (三)乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先 乘法结合律 把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数 乘法分配率 分别与这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 简便计算4种分组技巧 ①凑1分组：互为倒数优先相乘；②凑整分组；③同符号结合：④ 分配律拆分带分数、小数 试卷第4页（共3页） 知识点03：有理数的除法 (一)）除法核心转化法则（本节灵魂） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式：ab=a×b0) (二)两数相除符号法则（和乘法完全统一） 同号得正，异号得负，再把绝对值相除：0除以任意非0数，结果为 0。△禁忌：0不能作为除数，50无意义。 (三)乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04：有理数乘除混合运算 标准解题步骤（阅卷规范） 1.化除为乘：全部除法改写为乘倒数： 2确定符号：数负因数总个数，定最终正负： 3约分计算：整数、分数统一约分，算出绝对值结果： 试卷第5页（共3页） 4.合并符号：结合符号写出最终答案。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部：禁止跳步约分，移 动数字必须连带自身符号。 知识点05：实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负： 2根据题意列乘除算式： 3.按乘除法则计算： 4结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 ☆ 题型精析 题型一：两个有理数的乘法运算 1.计算： 2x(-3)=() A.6 B.6 C.-5 D.-1 试卷第6页（共3页） 2.计算： 3.在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘 法法则，则添加的这个算式可以是() @8x9,②-3)x1,©10x0.④5(-） A.5×13 B.（6)x4 c.（-2x(-3) D.(3)x8 4.在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位 数相乘方法.例如：如图1，计算357×46，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格 右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最 后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422.如图2，若用该方法计算三 位数乘以两位数时，得到结果为14442，则m= ,n= 3 5 7 Q b m 4 0 d 4 8 0 2 h 2 e 图1 图2 题型二：多个有理数的乘法运算 5.者6x4 的运算结果为正数，则口内的数字可以为〈) A.-2 B.2 C.0 D.1 6.小明将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的积是 -6 3456 7.已知abcd>0,b<0,d>0,bcd<0,则() A.a>0,b<0,c<0,d>0 B.a<0,b<0,c>0,d>0 C.a>0,b<0,c>0,d>0 D.a<0,b<0,c<0,d>0 题型三：有理数乘法的实际应用 8.A系列纸张以面积约1平方米的A0纸为基础，A1纸是A0纸的一半，A2纸是A1纸的 试卷第7页（共3页） 一半，A3纸是A2纸的一半，以此类推.如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重80 克，那么一张A4纸重约为() Al A3 A2 A4 A5 A6 A.5克 B.10克 C.20克 D.80克 9.一种商品每件进价为4元，商家先在进价的基础上增加30%定为售价，后来由于库存积 压，商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利元. 10.在一条公路上有五个相邻会场A、B、C、D、E,每相邻两个之间的距离都是500米. 己知A会场的参会人员10人，B会场的参会人员20人，E会场的参会人员20人，C和D 会场没有参会人员.现在要让所有参会人员集中到一个会场的餐厅用餐，集中到()可 以使所有人走的路程和最小？ A.A会场 B.B会场 C.C会场 D.D会场 题型四：倒数 11.-1.5的倒数是（) 2 A. 2 B.3 C.1.5 n 12 12.一4的绝对值除以气的倒数的商，再乘14的相反数，结果是 13一列数，，4， ，其中43 ，并且后一个数等于1与前一个数的倒数的 差，例如 3, 以此类推…，则a×a2×43×…×a226的值是() 4 A.-1 B.3 C.4 D.3 题型五：有理数乘法运算律 试卷第8页（共3页） 2x(-6)x5=6x(2×5)中运用了() 14. A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.乘法交换律和结合律 2024,2024,2024 2024 15.1x55×9' 9×13 77×81 3+2)x4x25=日-3+2 ×100=50-30+40 16.式子(2105 2105 中用的运算律是() A.乘法交换律和乘法结合律 B.乘法交换律和乘法对加法的分配 律 C.乘法结合律和乘法对加法的分配律 D.分配律和加法结合律 题型六：有理数的除法运算 -27 17.化简12的结果为（) 9 A.-4 3 c.d 3 B. 4 D.4 18.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是一 19引（引 这步变形的依据是 20.某同学在计算-12÷a时，误将“÷”看成“+”结果是6，则-12÷a的正确结果是 () 2 A.2 B.2 C.3 题型七：有理数除法的应用 21.商品广告中的“买四送一”相当于现价比原价便宜() A.20% B.25% C.75% D.80% 22.气象观测表明，一般情况下，高度每增加1千米，气温大约降低6℃，某飞行员在高空 测得某处气温为-56℃，当他把飞机下降一定高度后，测得该处的气温是-20℃，则飞机下 降的高度为 千米 试卷第9页（共3页） 23.两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定： ④取走最后一颗棋子的同学获胜。 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首 次应该取走2颗棋子. 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次 应该取走()颗棋子 A.1 B.2 C.3 D.4 题型八：有理数乘除混合运算 )阳光) 25.下列算式运算正确的是() a2(引引-24 B.（-2写×(-5列=(-2)÷(-)-=2 c.2*(4*2x(4x2=-1 D8G4-8÷}8÷4=32-2=30 48 26.下列各式中，与5÷77的运算结果相同的是（） g5行别 试卷第10页（共3页） 84 c.5( 78 5××9 D. 47 题型九：有理数四则混合运算 27,规定“※”为一种运算，若对任意两数9、力，有=20+b,则※(-4)的值为 () A.9 B.2 C.-5 D.-8 10 8 10 28.若 则 9 =2 4 =3 29.下列计算错误的是（) A.(-2)-(-5)=+3 B（5+》35=35》35x号 c.（-2)×(-3)=+6 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 30.某冷冻厂一个冷库的室温是-2℃，现有一批食品需要在-26℃的室温下保存，若该厂 这个冷库每小时能降温4℃，则恰好降到所需温度需要() A.6小时 B.7小时 C.4小时 D.5小时 31.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标 着5，-2,19，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.从下到上前一个台阶上数的和为 30. 试卷第11页（共3页） 32.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议.如果从1层到5层参会人数分别为20、 16、10、10、12,在确定会议室所在楼层时，考虑到使所有参会人员到会议地点爬楼的距 离之和最短.现要在某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持 不变，则这10人应该加到() A.1层 B.2层 C.1层或2层 D.2层或3 层 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 a 33.实数a’b在数轴上的对应点如图所示，则a+b—0:a-b一0： 0.(填“<”或“>”) 2 0 b 34.在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论： a b c -1 0 abe<0.@l-+b-d-l-d.@la-b)(6-cHc-a)>0ald<1-beate>-1 ,④ 其中，正确的结论有 (填序号)· 35.如图，若点A,B,C所对应的数依次为a,b,C,则下列大小关系中，正确的是( ) 4 C B -3-2-10123 A.-b<a<c B.b<-c<a C.c<b<-a D.a<-c<-b 题型十二：数轴上的翻折 36.如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是-7,3，以点C为折 点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，若C点表示的数是-1，则折叠后线 段AB的长度是 试卷第12页（共3页） CB→ 37.如图，在可折叠的数轴上，点A,B表示的数分别是-5,2，以点C为折点，将此数 轴向右对折，若AB=1,且点A在点B右侧，则点C表示的数是 A B 38.如图，A、B两点表示的数分别是-11,3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A 折叠后在点B的右边，且AB=2,则C点表示的数是() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解答题 39.简便运算： 四器*可. e25((别 40.计算. 品6 242 41.薛老师给同学们出了这样一道题： 1(1,11 计算：24气324 试卷第13页（共3页） 下面是小刚和小明的解题过程： 2 小明：解： (+-（4((-24刘=8-126=2。 4 (1)请把小刚的解法补全： (2)由小明和小刚的算法，可以看出小明的算法可使计算简便，请利用小明发现的简便算法 17_5+37 进行计算：36(96418 42.最近几年，全球新能源汽车发展非常迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车的产销量 都大幅度增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录每天行驶的路程与 标准路程的差值（如表），以60km为标准，超过60km记为“+”，不足60m记为“- ”,刚好60m记为“0 第 第二 第三 第四 第五 第六 第七 天 天 天 天 天 天 天 与标准路程 的差值 -6 -10 -15 0 -35 +26 +30 (km) (1)小明家这7天里行驶路程最多的一天比最少的一天多 km (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗 电量为15度，每度电为0.5元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省了 多少钱？ 43.【知识拓展】 试卷第14页（共3页） 学习绝对值的定义我们蜘知道，4的意义是数辅上表示数“的点到原点的距离。由于原点表 示的数是0，因此la可以看作口-0，那么口-0的意义可以看作数轴上表示数a与0的 两点间的距离。这个结论还可以推广为 la-b 的意义为数轴上表示数“与的两点间的距 离，若表示数“的点是点P,表示数b的点是点2，则线段 O=a-b 例如， a-5 的意义为数轴上表示数与5的两点间的距离： a+=口-(-5列的意义为数轴上表示数a与5的两点间的距离： 若a列=2 则“的值为3或7 【拓展应用】 (1)如图，若点4、B、CD分别表示的数是4x2y, B CD 因+以 ②化简：xy ②活x-3-1,则的值为 一：若任+=3，则*的值为 3)求x+4+x-2 的最小值 试卷第15页（共3页)