2026-2027学年湘教版数学九年级上册期中测试卷

2026年下期九年级期中测试卷 测试范围：湘教版2024九年级上册第1-3单元 测试时长：120分钟 卷面满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将待求分式变形为含的形式，结合已知比例求出的值后整体代入计算． 【详解】解：∵． ∴，即． ∵． ∴． 3．下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：选项C中的图形是相似图形． 4．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 5．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，据此进行逐项分析，可得答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程需同时满足：是整式方程，只含有1个未知数，未知数的最高次数为2， ∴ 对各选项逐一判断： A、是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合条件； B、中未知数的最高次数为1，不符合； C、是分式方程，不是整式方程，不符合； D、含有、两个未知数，不符合． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用方程的根的意义得到的值，再整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 7．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负两个条件． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 8．若方程的两个实数根为，，则，分别等于（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先找出一元二次方程中二次项系数，一次项系数及常数项，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：方程中，，，， 由根与系数的关系得 ，． 9．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答． 【详解】解：如图过点作交的延长线于点， 则,, ∴, ∴． 10．如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出，结合已知角度关系推导出为等腰三角形且，利用相似三角形性质求出与的数量关系，进而计算比值. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴. 二、填空题 11．若，则________． 【答案】/ 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 12．如图，，，则与的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 13．求值：________． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． 14．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 【答案】 【分析】黄金分割点将线段分成两部分，较长部分与整条线段的比值等于黄金比． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵的长为8， ∴． 15．已知一元二次方程的两个根分别是，，则_________． 【答案】 【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴， ∴． 16．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，且相似比为， ∴周长比为． 19．解下列方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法，结果保留根号）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为要求用因式分解法求解，所以先将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，分别解一元一次方程得到根． （2）因为要求用公式法求解，所以先确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再代入求根公式计算得到根． 【详解】（1）解：， 因式分解得 ， ∴ 或， 解得． （2）解：， ∵， ∴， 由求根公式得， 即 ，． 20．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)，， (2)线段的长为 【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 代入得：， 解得：， ． （2）解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ， 线段的长度为正数， ． 21．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 22．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)10 【分析】（1）首先证明，，即可证明； （2）首先利用勾股定理解得，结合是的中点易得，由相似三角形的性质可得，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 23．如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 24．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期九年级期中测试卷 测试范围：湘教版2024九年级上册第1-3单元 测试时长：120分钟 卷面满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C．3 D． 3．下面几组图形中，相似的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 8．若方程的两个实数根为，，则，分别等于（     ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且．与交于点，连接，若，则的值为(     ) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若，则________． 12．如图，，，则与的周长之比为________． 13．求值：________． 14．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图点P是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为______． 15．已知一元二次方程的两个根分别是，，则_________． 16．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 三、解答题（共72分，17、18每题6分，19、20每题8分，20、21每题10分、23、24每题12分） 17．计算： (1)． (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 19．解下列方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法，结果保留根号）． 20．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 21．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高；(2)求水库坝底宽的长． 22．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $