2026-2027学年湘教版九年级上册数学期中测试卷（第二套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期九年级数学期中测试卷（第二套） 湘教版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第一章　反比例函数　第二章　一元二次方程　第三章　图形的相似　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若 y 与 x 成反比例，且当 x＝2 时 y＝－6，则 y 关于 x 的函数关系式为（　　） A. y＝　　　　B. y＝　　　　C. y＝－3x　　　　D. y＝－12x 2. 若点 A(a, b) 在反比例函数 y＝ 的图象上，则下列各点中一定也在该图象上的是（　　） A. (a, －b)　　　　B. (－a, b)　　　　C. (－a, －b)　　　　D. (a², b²) 3. 若关于 x 的一元二次方程 (m＋1)x²＋2x－1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A. m＞－2　　　　B. m＞－2 且 m≠－1 C. m≠－1　　　　D. m＜－2 4. 用配方法解方程 x²＋4x－1＝0，配方后所得的方程是（　　） A. (x＋2)²＝3　　　　B. (x＋2)²＝5 C. (x－2)²＝5　　　　D. (x＋2)²＝－3 5. 已知 ＝，则 的值为（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），若 AB＝4，则 AC 的长为（　　） A. 2√5－2　　　　B. 2√5＋2　　　　C. 6－2√5　　　　D. 2√5－4 7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，则图中相似的三角形共有（　　） A. 1 对　　　　B. 2 对　　　　C. 3 对　　　　D. 4 对 8. 某科技小组用输出电压恒为 12 V 的电源做实验，通过电阻 R（Ω）的电流 I（A）满足 I＝。若要求电流不超过 0.5 A，则电阻 R 应满足（　　） A. R≥24　　　　B. R≤24　　　　C. R≥6　　　　D. R≤6 9. 某农场要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为 40 m 的篱笆围成。设垂直于墙的一边长为 x m，要使养鸡场的面积为 192 m²，则可列方程为（　　） A. x(40－2x)＝192　　　　B. x(40－x)＝192 C. 2x(40－x)＝192　　　　D. x(20－x)＝192 10. 已知 △ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝6，且 △ABC 的面积为 8，则 △DEF 的面积为（　　） A. 12　　　　B. 16　　　　C. 18　　　　D. 24 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (－2, 5)，则当 x＝10 时，y＝＿＿＿＿。 12. 在反比例函数 y＝ 中，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而＿＿＿＿（填“增大”或“减小”）。 13. 若 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x²－mx＋6＝0 的一个根，则 m＝＿＿＿＿。 14. 已知 ＝＝≠0，则 的值为＿＿＿＿。 15. 已知 D、E 分别是 △ABC 的边 AB、AC 的中点，若 △ADE 的周长为 8，则 △ABC 的周长为＿＿＿＿。 16. 若关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋k＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤） 17.（8 分）(1) 用直接开平方法解方程：2(x－1)²＝18。 (2) 用配方法解方程：x²＋4x－5＝0。 18.（8 分）某印刷厂承接一批图书装订业务，若每天装订 500 册，恰好 24 天完成。设每天装订 x 册，需 y 天完成。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若要求 15 天完成，平均每天至少要装订多少册？ (3) 若每天装订 600 册，实际需要多少天完成？ 19.（8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，O 为坐标原点。 (1) 以点 O 为位似中心，在图中画出 △ABC 的位似图形 △A′B′C′，使 △ABC 与 △A′B′C′ 的位似比为 1∶2（即 △A′B′C′ 的各边长为 △ABC 对应边长的 2 倍），并写出点 A′、B′、C′ 的坐标； (2) 求 △A′B′C′ 的面积。 20.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－(m＋2)x＋2m＝0。 (1) 求证：无论 m 取何实数，该方程总有实数根； (2) 若该方程的两个根恰好是某矩形相邻两边的长，且该矩形的周长为 14，求 m 的值。 21.（9 分）甲、乙两地相距 240 km。 (1) 一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，设它的速度为每小时 v 千米，行驶时间为 t 小时，求 t 关于 v 的函数关系式； (2) 若该汽车去时速度为每小时 80 千米，返回时速度为每小时 60 千米，求往返一次共需多长时间； (3) 若要求往返一次的总时间不超过 8 h，且去时与返回时速度相同，求速度至少应为每小时多少千米。 22.（9 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝6，点 D 在边 BC 上，连接 AD，且 ∠BAD＝∠C。已知 BD＝4。 (1) 求证：△ABD∽△CBA； (2) 求 BC 的长； (3) 求 AD 的长。 23.（10 分）如图，某学校准备在一块长 40 m、宽 30 m 的矩形荒地上修建一个长方形花坛，使花坛四周留出宽度相同的走道。已知花坛的面积为 704 m²。 (1) 设走道的宽为 x m，用含 x 的代数式表示花坛的长与宽； (2) 求走道的宽度； (3) 若在花坛内铺设草坪，每平方米造价 60 元，求铺设草坪的总费用。 24.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 A(8, 0)、C(0, 4)，反比例函数 y＝（x＞0）的图象与 BC 交于点 D（D 为 BC 的中点），与 AB 交于点 E。 (1) 求反比例函数的表达式及点 E 的坐标； (2) 连接 OD、OE，求 △ODE 的面积； (3) 点 P 是该反比例函数图象上位于矩形 OABC 内部的一点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，设矩形 OMPN 的面积为 S。试说明 S 为定值，并求出 S 的值。 参考答案与详解 1．【答案】A 【详解】y 与 x 成反比例，设 y＝（k≠0）。把 x＝2，y＝－6 代入， 得 k＝2×(－6)＝－12，所以 y 关于 x 的函数关系式为 y＝。故选 A。 方法总结：“成反比例”就是“乘积为定值”，先设 y＝，再代入一组值求 k。 2．【答案】C 【详解】反比例函数的图象是中心对称图形，关于原点对称。 点 A(a, b) 在图象上，则 ab＝－8；点 (－a, －b) 的横、纵坐标之积为 (－a)×(－b)＝ab＝－8， 所以 (－a, －b) 一定在图象上。故选 C。 A：(－ab)＝8 ✗；B：(－ab)＝8 ✗；D：a²b²＝(ab)²＝64≠－8 ✗。 关键：判断一点是否在图象上，只看横、纵坐标之积是否等于 k。 3．【答案】B 【详解】“是一元二次方程”⟺ m＋1≠0，即 m≠－1； “有两个不相等的实数根”⟺ Δ＞0：Δ＝2²－4(m＋1)×(－1)＝4＋4m＋4＝4m＋8＞0， 解得 m＞－2。所以 m＞－2 且 m≠－1。故选 B。 易错点：二次项系数含字母时，先保证它不为 0，再讨论判别式，两个条件缺一不可。 4．【答案】B 【详解】移项得 x²＋4x＝1。一次项系数的一半是 2，平方得 4，两边同时加上 4： x²＋4x＋4＝5，即 (x＋2)²＝5。故选 B。 易错点：常数项必须加在方程两边，只加左边就错了。 5．【答案】B 【详解】由 ＝，根据等式的性质，两边同时加 1： ＋1＝＋1，即 ＝＋1＝。故选 B。 【另解】＝，两边同时加 1：＝＋1＝。 6．【答案】A 【详解】点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC＞BC，则较长的 AC 满足 ＝。 所以 AC＝×4＝2(√5－1)＝2√5－2。故选 A。 验证：2√5－2≈2.47，BC＝4－2.47≈1.53，AC＞BC ✓。 记忆：黄金分割比约为 0.618，即 。 7．【答案】C 【详解】因为 ∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以 ∠ADC＝∠BDC＝90°。 ① △ACD 与 △ABC：∠A 公共，∠ADC＝∠ACB＝90°，所以 △ACD∽△ABC； ② △CBD 与 △ABC：∠B 公共，∠BDC＝∠ACB＝90°，所以 △CBD∽△ABC； ③ 由①②，△ACD 与 △CBD 都相似于 △ABC，所以 △ACD∽△CBD。 所以图中共有 3 对相似三角形。故选 C。 提醒：数“相似的对数”时不要漏掉③，也别把同一个三角形与自己配对。 8．【答案】A 【详解】由 I＝，要求 I≤0.5，即 ≤0.5。 因为 R＞0，两边同乘 R 得 12≤0.5R，解得 R≥24。故选 A。 跨学科链接：电压一定时，电流与电阻成反比例关系，电阻越大、电流越小。 9．【答案】A 【详解】篱笆总长 40 m，围成三边：垂直于墙的两边各为 x m， 则平行于墙的一边为 (40－2x) m。由矩形面积公式得 x(40－2x)＝192。故选 A。 易错点：靠墙的一边不用篱笆，总长关系是“x＋x＋(40－2x)＝40”。 10．【答案】C 【详解】相似比为 AB∶DE＝4∶6＝2∶3，相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以 S△ABC∶S△DEF＝4∶9，即 8∶S△DEF＝4∶9， 解得 S△DEF＝8×9÷4＝18。故选 C。 11．【答案】－1 【详解】把 (－2, 5) 代入 y＝，得 k＝(－2)×5＝－10，所以 y＝。 当 x＝10 时，y＝－10÷10＝－1。 12．【答案】增大 【详解】k＝－3＜0，双曲线两支分别在第二、四象限，在每一支上 y 随 x 的增大而增大。 当 x＜0 时，图象是第二象限内的那一支，所以 y 随 x 的增大而增大。 验证：x＝－3 时 y＝1；x＝－1 时 y＝3，x 增大、y 增大 ✓。 13．【答案】5 【详解】把 x＝2 代入 x²－mx＋6＝0，得 4－2m＋6＝0，解得 m＝5。 此时方程为 x²－5x＋6＝0，两根为 2 和 3，x＝2 确是它的根 ✓。 14．【答案】 【详解】设 ＝＝＝t（t≠0），则 a＝2t，b＝3t，c＝4t， 所以 ＝(2t＋3t)÷4t＝5t÷4t＝。 通法：连比问题设比值为 t，把各字母都用 t 表示，再代入求值。 15．【答案】16 【详解】D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 DE 是 △ABC 的中位线， DE∥BC 且 DE＝·BC，所以 △ADE∽△ABC，相似比为 1∶2。 相似三角形的周长比等于相似比，所以 8∶C△ABC＝1∶2， 得 △ABC 的周长＝8×2＝16。 16．【答案】k≤1 【详解】“有两个实数根”包括两个相等与两个不相等两种情形，故 Δ≥0： Δ＝(－2)²－4k＝4－4k≥0，解得 k≤1。 辨析：“有实数根”对应 Δ≥0；“有两个不相等的实数根”对应 Δ＞0。 17．(1)【答案】x₁＝4，x₂＝－2 【详解】2(x－1)²＝18，两边同除以 2 得 (x－1)²＝9， 直接开平方得 x－1＝±3，所以 x₁＝4，x₂＝－2。 (2)【答案】x₁＝1，x₂＝－5 【详解】x²＋4x－5＝0，移项得 x²＋4x＝5，两边加上 2²＝4： x²＋4x＋4＝9，即 (x＋2)²＝9，开平方得 x＋2＝±3， 所以 x₁＝1，x₂＝－5。 对比：(1) 已含“平方＝常数”结构，用开平方法；(2) 需先配方。 18．【答案】 (1) 装订总册数一定：500×24＝12000（册）。由 xy＝12000 得 y＝。 (2) 由题意得 ≤15。因为 x＞0，两边同乘 x 得 12000≤15x， 解得 x≥800，所以平均每天至少要装订 800 册。 (3) 当 x＝600 时，y＝12000÷600＝20（天）。 核心：工作总量一定时，每天完成量与所需天数成反比例。 19．【答案】 (1) 以 O 为位似中心、位似比为 1∶2，对应点 A′、B′、C′ 分别在射线 OA、OB、OC 上， 且 OA′＝2OA，OB′＝2OB，OC′＝2OC。在网格中作图可得 A′(2, 2)，B′(6, 2)，C′(2, 4)。 作图要点：先连结 OA、OB、OC 并延长，再在延长线上截取 2 倍长，最后顺次连结三点； 也可用规律“以原点为位似中心、位似比为 2，对应点坐标为原坐标的 2 倍”。 (2) A′B′＝4，点 C′ 到直线 A′B′ 的距离为 2， 所以 S△A′B′C′＝×4×2＝4。 【另解】△ABC 中 AB＝2、高为 1，面积为 1；位似比为 1∶2 时面积比为 1∶4，故 S△A′B′C′＝4。 20．【答案】 (1) Δ＝(－(m＋2))²－4×1×2m＝m²＋4m＋4－8m＝m²－4m＋4＝(m－2)²≥0， 所以无论 m 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 先把左边因式分解：x²－(m＋2)x＋2m＝(x－m)(x－2)， （验证：(x－m)(x－2)＝x²－(m＋2)x＋2m ✓） 所以方程的两个根为 x₁＝m，x₂＝2。 由题意，矩形相邻两边长为 m 和 2，周长为 2(m＋2)＝14，解得 m＝5。 此时两边长为 5 和 2，均为正数，符合题意，所以 m＝5。 技巧：形如 x²－(a＋b)x＋ab 的方程可直接分解为 (x－a)(x－b)＝0。 21．【答案】 (1) 路程 240 km 一定，时间与速度成反比例，所以 t＝（v＞0）。 (2) 去时 t＝240÷80＝3（小时）；返回 t＝240÷60＝4（小时）， 往返一次共需 3＋4＝7（小时）。 (3) 设速度为每小时 v 千米，则往返总时间为 2×＝。 由 ≤8，因为 v＞0，两边同乘 v 得 480≤8v，解得 v≥60， 所以速度至少应为 60 。 思路：路程一定，速度越大时间越短，“不超过”就对应“至少”。 22．【答案】 (1) 在 △ABD 与 △CBA 中，∠B＝∠B（公共角），∠BAD＝∠C（已知）， 所以 △ABD∽△CBA（两角对应相等的两个三角形相似）。 (2) 由 △ABD∽△CBA，得对应边成比例：＝， 即 ＝，解得 BC＝9。 (3) DC＝BC－BD＝9－4＝5。又 ＝＝＝， 所以 AD＝CA×＝6×＝4。 （验证：△ABD 的三边为 6、4、4，满足 4＋4＞6，三角形存在 ✓） 关键：写相似三角形时字母顺序要对应，比例式才能写对。 23．【答案】 (1) 走道的宽为 x m，则花坛的长为 (40－2x) m，宽为 (30－2x) m。 (2) 由题意得 (40－2x)(30－2x)＝704， 整理得 4x²－140x＋496＝0，即 x²－35x＋124＝0， 因式分解得 (x－4)(x－31)＝0，解得 x₁＝4，x₂＝31。 当 x＝31 时，宽 30－2x＝－32＜0，不合题意，舍去， 所以走道的宽度为 4 m。 (3) 花坛面积为 704 m²，铺设草坪的总费用为 704×60＝42240（元）。 检验：x＝4 时花坛长 32 m、宽 22 m，32×22＝704 ✓；x＝31 使边长为负，必须舍去。 24．【答案】 (1) 因为 B(8, 4)、C(0, 4)，D 为 BC 的中点，所以 D(4, 4)。 把 D(4, 4) 代入 y＝，得 k＝4×4＝16，所以反比例函数的表达式为 y＝。 AB 垂直于 x 轴且过 A(8, 0)，所以 AB 上各点横坐标都是 8， 故 xE＝8，yE＝16÷8＝2，即 E(8, 2)。 (2) 连接 DE。S矩形OABC＝8×4＝32； S△OAE＝×OA×AE＝×8×2＝8； S△OCD＝×CD×OC＝×4×4＝8； S△BDE＝×BD×BE＝×4×2＝4； 所以 S△ODE＝32－8－8－4＝12。 (3) 设 P(p, q)（p＞0，q＞0）。点 P 在 y＝ 的图象上，所以 pq＝16。 由 PM⊥x 轴、PN⊥y 轴，得 OM＝p，ON＝q， 所以 S＝OM·ON＝pq＝16。 S 只与比例系数 k 有关，与点 P 的位置无关，所以 S 为定值 16。 重要结论：反比例函数 y＝ 图象上任一点向两坐标轴作垂线， 所围成的矩形面积恒为 |k|。 学科网（北京）股份有限公司 $