重庆市2026-2027学年高三上学期数学期中模拟考试卷二

2026-2027学年度高三上期数学期中考试模拟卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知角终边上一点，则（     ） A． B． C． D．2 3．（本题5分）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（本题5分）函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 5．（本题5分）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（本题5分）关于的方程有下列四个命题： 甲：该方程两根异号；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（本题5分）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 8．（本题5分）是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 10．（本题6分）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 11．（本题6分）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13．（本题5分）已知为等比数列，，，则__________． 14．（本题5分）设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 16．（本题15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 17．（本题15分）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 18．（本题17分）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 19．（本题17分）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三上期数学期中考试模拟卷（解析版） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先由且确定全集，再求及其在中的补集． 【详解】∵且，∴，即． 又，，∴． ∴. 2．（本题5分）已知角终边上一点，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】先利用角终边上点的坐标求出的值，再根据三角函数诱导公式化简待求表达式，最后代入化简后的式子计算即可求解. 【详解】已知角终边上一点， 则，， 因为，， 所以. 3．（本题5分）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．（本题5分）函数 的导函数 的图象如图所示，则（    ） A．是函数 的极大值点 B． 在 处切线的斜率小于零 C．是函数 的最小值点 D． 在区间 上单调递增 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的图象与单调性的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】由导函数 的图象可知：当时，，当时，， 对于AC，是函数 的极小值点，无极大值点，故AC错误， 对于B，由导数图象可知，故 在 处切线的斜率大于0，B错误， 对于D, 由于时，，故 在区间 上单调递增,D正确. 5．（本题5分）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】法一：过点分别作，垂足分别是，根据已知得与（即）的关系，根据平面向量基本定理即可求出；法二：构建合适的平面直角坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得. 【详解】因为正八边形的中心为，所以. 法一：如图，过点分别作，垂足分别是， 所以四边形为正方形，所以，且，所以， 又，由平面向量基本定理得，则. 法二：以所在直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 因为，即， 所以，解得，则. 6．（本题5分）关于的方程有下列四个命题： 甲：该方程两根异号；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：是该方程的根． 如果这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、推理案例赏析、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】逐一假设某个命题为假，检验其余三个能否同时成立． 【详解】若甲假，则乙、丙、丁真：由乙、丁知两根为3和1，此时两根之积为， 甲确实为假，但丙“两根之和为2”也是假（和为 4），出现两个假命题，不符合题意； 若乙假，则甲、丙、丁真：由丁知是根，由丙知另一根为1，则两根同号，甲为假，也不符合题意； 若丙假，则甲、乙、丁真：由乙、丁知两根为3和1，此时两根同号，甲为假，不符合题意； 若丁假，则甲、乙、丙真：由乙知是根，由丙知另一根为， 此时两根之积为 ，甲（两根异号）成立，符合题意． 故只有丁是假命题． 7．（本题5分）已知等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前项和的分段等比性质列方程求解，结合公比偶次幂的正性排除负解即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 根据等比数列前项和的性质： 当时，仍为等比数列，取，则成等比数列， 已知，，设，由等比中项性质可得： ， 展开整理得，解得或，又因为，其中， 故，结合，可得，因此舍去，即. 8．（本题5分）是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数b的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由指数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意，分析函数的单调性，结合指数的运算性质将不等式转化为，再根据函数的奇偶性及单调性转化为，再结合题意，按绝对值的性质分析的取值范围，从而求得实数b的最大值. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，单调递增， 所以当时，单调递减. 对任意的，， 所以由，得， 因为， 所以， 当时，恒成立； 当时，， 所以或， 因为（不成立，舍去），所以. 当时，， 对，，， ，所以恒成立. 故实数b的最大值是. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 10．（本题6分）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 【答案】AB 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可. 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【知识点】正弦函数图象的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 13．（本题5分）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【详解】设数列的公比为，则，则. 14．（本题5分）设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 【答案】/ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围. 【详解】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意. （2）因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16．（本题15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17．（本题15分）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明：方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）略 18．（本题17分）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 19．（本题17分）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、组合数的计算、数列新定义 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $