专题3.4 相似三角形的性质 专项练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.4相似三角形的性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 相似三角形的对应边成比例 模块8相似三角形的性质结合判定求坐标 模块2 相似三角形的对应角相等 【微专题一】相似三角形的性质结合判定求最值 模块3 相似三角形的周长比等于相似比 【微专题二】 相似三角形的性质结合判定综合证明 模块4相似三角形的面积比等于相似比平方 【压轴一】图形相似背景下的动点问题 模块5相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 【压轴二】 图形相似背景下的规律探索 模块6相似三角形的性质结合判定求线段长度 通关检测·实战演练 模块7相似三角形的性质结合判定求面积 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 模块通关·举一反 三 【模块一】相似三角形的对应边成比例 在利用相似三角形对应边成比例这一性质解题时，首先需准确判定两个三角形的相似关系，明确对应顶点与对应边的匹配规则，避免因对应边混淆导致比例式列错。其次，列比例式时可结合图形的位置关系，将对应边的比例关系与已知线段长度、待求线段建立关联，若题目中未直接给出相似关系，需先通过平行线判定、角的等量关系等方法推证三角形相似后，再应用该性质。同时要注意，相似比具有顺序性，前一个三角形与后一个三角形的对应边之比需保持一致，不可颠倒。解题完成后可通过检验比例的内外项积是否相等，验证结果的合理性。 【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且．若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为________． 【变式1-1】如图，为等边边上一点，，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1-2】的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，则的边的长为（    ） A．15 B．36 C．39 D．以上都有可能 【变式1-3】．如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【模块二】 相似三角形的对应角相等 在利用相似三角形对应角相等的性质解题时，首先要依托相似三角形的判定前提，明确“对应角”的匹配规则——通常按对应顶点的顺序确定角的对应关系，避免因角的位置误判混淆等量关系。解题中可将对应角相等作为桥梁，结合已知角的度数、角的和差关系或平行线的角的传递性，推导目标角的大小，或为后续证明三角形相似、列比例式提供角的等量依据。 【典例2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 【变式2-1】已知，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；②分别以点和点为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则的大小为______度． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 【模块三】 相似三角形的周长比等于相似比 利用这一性质解题时，可先通过相似三角形的判定确定相似关系，得出对应边的相似比，再直接将相似比作为周长比，建立已知周长与待求周长的等量关系。遇到需结合周长求边长的问题时，可先根据周长比建立周长的方程，再结合对应边的比例关系联立求解。需注意区分周长比与面积比的差异，避免将二者混淆；若题目中给出的是相似比的平方形式，需先开方得到相似比后再用于周长计算。解题时可将周长比与对应边比例相互印证，确保应用逻辑一致。 【典例3】（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是和，其中较小三角形的周长是，则较大三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．两个相似三角形一组对应中线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是，则较大三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【模块四】相似三角形的面积比等于相似比平方 利用这一性质解题时，可先通过相似三角形的判定确定相似关系，得出对应边的相似比，再将相似比平方后得到面积比，建立已知面积与待求面积的等量关系。遇到需结合面积求边长或相似比的问题时，需先对面积比开平方得到相似比，再结合对应边的比例关系求解目标量。需注意区分面积比与周长比的差异，避免直接将面积比等同于相似比导致错误；若题目中给出的是相似比的倍数形式，需先准确计算出相似比的平方后再应用。解题时可将面积比与对应边的比例关系相互印证，确保推导过程逻辑严谨，同时结合图形的面积分割关系，验证面积比与相似比的平方对应一致。 【典例4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是______． 【变式4-1】已知∽，且，，则 ______ ． 【变式4-2】如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为4，则四边形的面积为（　　） A．5 B．8 C．9 D．12 【变式4-3】如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____． 【模块五】相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 利用相似三角形证明线段乘积等式时，可先将待证的乘积式转化为比例式，再通过寻找或构造包含四条对应线段的相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质推导得出结论。解题中需根据图形特征灵活选择判定方法，优先通过两角分别相等确定相似关系，若缺少直接相似的三角形，可通过作平行线构造辅助相似三角形，或利用等量线段替换、中间比过渡的方式，将比例式转化为可直接证明的形式。需注意，转化比例式时要保持线段的对应关系准确，避免因线段顺序颠倒导致比例式变形错误；若图形中存在公共角、对顶角或由平行线传递的等角，可优先作为相似判定的突破口。遇到多条线段交错的复杂图形时，可将比例式中的线段逐一对应到目标三角形中，确保相似三角形的选取与比例式的线段完全匹配，同时可结合图形中的公共边、等线段进行等量代换，简化证明过程。 【典例5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【变式5-1】如图，点E在线段上，，，．求证． 【变式5-2】如图，已知平分，的垂直平分线交的延长线于点P．求证：． 【变式5-3】如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 【模块六】相似三角形的性质结合判定求线段长度 利用相似三角形求线段长度时，可先通过相似判定确定对应边的比例关系，再结合已知线段的长度，将待求线段纳入对应边的比例式中建立方程求解。遇到所求线段未直接对应到已知相似三角形的情况时，可通过等量线段替换、中间比过渡，将目标线段与已知线段的比例关系串联起来，优先利用公共边、等线段或平行线传递的比例关系简化推导过程。需注意找准对应边的匹配关系，避免因对应边混淆导致比例式列错；若图形中存在多组相似三角形，可先筛选出包含已知线段与待求线段的那一组相似关系，再进行计算。解题时可将求得的线段长度代入比例式反向验证，确保相似比与对应线段的比例一致，同时结合图形的整体长度关系，避免出现与图形几何特征矛盾的结果。 【典例6】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式6-1】如图，边长为8的正方形中，内部有6个全等的正方形．小正方形的顶点E、F、G、H分别在边、、、上，则___________ 【变式6-2】如图，在中，D、E分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式6-3】如图，内接正方形，于M，交于H，若长，正方形边长为，则的长为___________． 【模块七】相似三角形的性质结合判定求面积 求解相似三角形相关面积问题时，可先通过两角相等、两边成比例且夹角相等或三边成比例的判定定理确定三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比平方的性质，将已知图形面积与待求面积建立对应等量关系。若待求面积对应的图形并非直接相似的三角形，可先通过线段比例关系推导相似比，再利用面积比与相似比的关联进行计算；遇到需结合三角形的高、底边长比例求解面积的情况时，可先由相似关系推出对应高的比例，再结合面积公式进一步推导面积的数量关系。需注意，应用面积比性质时需先确认相似关系成立，避免将非相似三角形的面积比直接等同于相似比的平方；若图形中存在多组相似三角形，需先找准与已知面积、待求面积直接对应的相似组，防止误用其他相似组的比例关系。解题后可通过将计算得到的面积代入相似比反向验算，确保面积比与相似比的平方匹配，同时结合图形的面积和差关系，验证结果是否符合整体图形的面积逻辑。 【典例7】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【变式7-1】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是的中点，若的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】如图，在平行四边形中，E是的延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若的面积为9，则的面积为 ． 【变式7-3】如图，在中，中线相交于点F，，交于点G．若的面积为2，则的面积为______． 【模块八】相似三角形的性质结合判定求坐标 求解平面直角坐标系中与相似三角形相关的坐标问题时，可先结合坐标系内的线段长度、点的位置特征，通过两角相等或两边成比例且夹角相等的判定定理确定三角形相似关系，再利用对应边成比例的性质，将已知点的坐标转化为线段长度，推导未知点的横、纵坐标。若待求点在已知直线或坐标轴上，可先将相似的比例关系转化为线段的数量等式，再结合坐标的平移、对称规律求解对应坐标。需注意，推导过程中要结合坐标系的象限位置，确认线段长度与坐标数值的正负对应关系，避免因忽略坐标符号导致坐标结果偏差；若图形存在多种相似对应情况，需分类讨论不同的顶点对应关系，防止漏解。 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C是线段的中点，轴于点D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点P作轴于点E，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，矩形在平面直角坐标系中，已知，，则点B的坐标为______． 【变式8-2】如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点P的坐标是 _____． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】相似三角形的性质结合判定求最值 求解相似三角形关联的最值问题时，可先结合判定定理确定三角形的相似关系，得到对应边、对应高或对应线段的比例表达式，再将待求的线段长度、图形面积或周长等目标量，用含变量的相似比结合已知固定线段表示为函数形式，借助二次函数的顶点性质或一次函数的增减性推导最值。若最值来自图形的动态变化，可先将动态线段的比例关系转化为变量间的函数关系，再结合自变量的取值范围确定最值的对应位置。需注意，建立函数表达式时要保证相似比的对应关系准确，避免因比例系数错误导致函数模型偏差；求解过程中需结合自变量的实际取值范围判断最值是否可取得，不能直接套用顶点公式而忽略线段长度非负、动态点的运动边界等约束条件。解题后可验证最值点对应的相似关系是否成立，确保推导的比例关系与图形的几何逻辑一致，避免出现脱离相似本质的纯代数计算错误。 【典例9】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【变式9-1】．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 【变式9-3】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【微专题二】 相似三角形的性质结合判定综合证明 证明相似三角形综合问题时，可先通过已知的平行、等角、比例线段等条件，结合两角分别相等、两边成比例且夹角相等或三边成比例的判定定理锁定相似三角形，再利用对应边成比例、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比的性质，串联已知条件与待证结论。若待证结论涉及线段乘积相等、角相等或平行关系，可通过相似性质将比例式转化为乘积式，或利用对应角相等推导角的等量关系，进而完成平行、等角的证明；遇到多三角形嵌套的复杂图形时，可先拆分图形，筛选出直接关联已知条件与待证结论的相似组，再通过中间比传递完成跨三角形的比例推导。需注意，证明前要明确相似三角形的对应顶点与对应元素，避免因对应关系错位导致比例式列错或角的等量关系推导错误；若图形中存在多组相似关系，需优先选择包含待证线段或角的相似组作为证明桥梁，避免绕远路或误用无关相似组的性质。 【典例10】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 【变式10-1】背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案） （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【变式10-2】如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【变式10-3】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． (1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． (2)拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】图形相似背景下的动点问题 求解相似图形背景下的动点问题时，可先明确动点的运动轨迹与运动范围，在动点运动的不同阶段，结合角度关系、边长比例判定三角形的相似关系，再利用相似的对应边成比例性质，将动点对应的线段长度转化为含运动时间或路程的函数表达式，进而求解线段长度、图形面积或存在性问题。需注意，动点运动过程中若会引发图形位置、角的对应关系变化，需按运动的关键节点拆分阶段分类讨论，避免因套用单一相似关系导致结果偏差。解题时要同步关注动点的运动边界，确认自变量取值范围与相似关系成立的前提条件相匹配，防止忽略特殊位置的相似对应错配，解题后可代入特殊位置的动点坐标，验证相似比例关系是否符合图形几何特征。 【典例11】如图，中，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当以为顶点的三角形与相似时，的值为（　　） A．2 B．2.5或 C．2或 D．2或 【变式11-1】在中，，点Q是边上一个动点，当________时，与相似． 【变式11-2】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝_____s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 【变式11-3】如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动______秒时，与相似； （2）当动点运动______秒时，． 【压轴二】 图形相似背景下的规律探索 求解相似图形背景下的规律探索类问题时，可先从题目给出的前几组具体图形、数值入手，通过计算对应线段的长度、面积或角度，分析后一组与前一组图形的相似关系，结合相似比的递推变化，总结出通用的通项规律。推导过程中可借助相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比平方的性质，将每组的数值转化为含相似比的表达式，再通过归纳递推关系得到最终规律。需注意，归纳规律时要明确相似比的起始基数与递推次数的对应关系，避免因混淆组次序号与相似比的幂次导致通项公式推导错误；若题目涉及图形的多次缩放、旋转或翻折，需确认每次变换后相似关系的保持性，避免将非相似变换的比例关系纳入规律推导。解题后可代入前几组已知数值验证通项公式，确保推导的规律既符合已知图形的相似特征，也与各组的计算数值匹配，避免出现规律适用范围的偏差。 【典例12】如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【变式12-1】.如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【变式12-2】如图，点A（0，1），点B（- ，0），作OA1⊥AB，垂足为A，以OA1为边做Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，使∠B1=30；作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2,使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△AnOBn．则当n=2018时，点B2018纵坐标为 ________ ． 【变式12-3】如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.已知，且．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．9 C．12 D．18 2．已知两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．7 D．8 4.如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5.如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（ ）． A． B． C． D． 二 填空题 6.已知∽，且，，则 ______ ． 7.如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 8.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 9.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 _____． 10.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 三解答题 11.如图，已知，，． (1)求的值； (2)若，求的长． 12如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 13.已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标． 14.如图，在矩形中，于，，． (1)证明； (2)求的长． 15某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究： (1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：． (2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． (3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.4相似三角形的性质》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 相似三角形的对应边成比例 模块8相似三角形的性质结合判定求坐标 模块2 相似三角形的对应角相等 【微专题一】相似三角形的性质结合判定求最值 模块3 相似三角形的周长比等于相似比 【微专题二】 相似三角形的性质结合判定综合证明 模块4相似三角形的面积比等于相似比平方 【压轴一】图形相似背景下的动点问题 模块5相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 【压轴二】 图形相似背景下的规律探索 模块6相似三角形的性质结合判定求线段长度 通关检测·实战演练 模块7相似三角形的性质结合判定求面积 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 模块通关·举一反 三 【模块一】相似三角形的对应边成比例 在利用相似三角形对应边成比例这一性质解题时，首先需准确判定两个三角形的相似关系，明确对应顶点与对应边的匹配规则，避免因对应边混淆导致比例式列错。其次，列比例式时可结合图形的位置关系，将对应边的比例关系与已知线段长度、待求线段建立关联，若题目中未直接给出相似关系，需先通过平行线判定、角的等量关系等方法推证三角形相似后，再应用该性质。同时要注意，相似比具有顺序性，前一个三角形与后一个三角形的对应边之比需保持一致，不可颠倒。解题完成后可通过检验比例的内外项积是否相等，验证结果的合理性。 【典例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且．若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，清晰的分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当△时，可得，当时，可得，再求解即可． 【详解】，，，， ． 当时，，即， ， ； 当时，，即， ， ． 综上，的长为或． 故答案为：或． 【变式1-1】如图，为等边边上一点，，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】证明，继而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1-2】的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，则的边的长为（    ） A．15 B．36 C．39 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质得到相似比，求出的三边长，即可得到答案． 【详解】解：的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15， 与的相似比为， 的三边长分别为，，， 的边的长为或或， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 【变式1-3】．如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】已知∠A是公共角，只需再满足或时，与相似，分别列比例式计算即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； 综上分析可知，等于或10，故C正确． 故选∶C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，分两种情况正确的作出图形，找准对应边是解题的关键． 【模块二】 相似三角形的对应角相等 在利用相似三角形对应角相等的性质解题时，首先要依托相似三角形的判定前提，明确“对应角”的匹配规则——通常按对应顶点的顺序确定角的对应关系，避免因角的位置误判混淆等量关系。解题中可将对应角相等作为桥梁，结合已知角的度数、角的和差关系或平行线的角的传递性，推导目标角的大小，或为后续证明三角形相似、列比例式提供角的等量依据。 【典例2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 【答案】50或65/65或50 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由于两个等腰三角形相似，对应角相等，已知一个三角形有一个内角为，在等腰三角形中，可能是顶角或底角，因此第一个三角形的底角可能为或，根据相似三角形的性质，另一个三角形的底角与第一个三角形的底角相等，据此求解． 【详解】解：设第一个等腰三角形的一个内角为， 若为顶角，则底角为； 若为底角，则另一个底角也为，顶角为； 因此，第一个三角形的底角为或， 由于两个三角形相似，对应角相等，故另一个三角形的底角也为或， 故答案为：或． 【变式2-1】已知，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形的内角和定理．熟练掌握相似三角形的对应角相等，是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；②分别以点和点为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；③作射线交边于点．若，则的大小为______度． 【答案】30 【分析】先判断，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，相似三角形的性质，熟悉角平分线的作图步骤与相似三角形的对应角相等是解本题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 【答案】 或 【分析】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 故答案为：；或． 【模块三】 相似三角形的周长比等于相似比 利用这一性质解题时，可先通过相似三角形的判定确定相似关系，得出对应边的相似比，再直接将相似比作为周长比，建立已知周长与待求周长的等量关系。遇到需结合周长求边长的问题时，可先根据周长比建立周长的方程，再结合对应边的比例关系联立求解。需注意区分周长比与面积比的差异，避免将二者混淆；若题目中给出的是相似比的平方形式，需先开方得到相似比后再用于周长计算。解题时可将周长比与对应边比例相互印证，确保应用逻辑一致。 【典例3】（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 【变式3-1】两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是和，其中较小三角形的周长是，则较大三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质得出相似比为，根据周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是和， ∴相似比为， ∵较小三角形的周长是， ∴较大三角形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据题意得出相似比是解题的关键． 【变式3-2】．两个相似三角形一组对应中线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是，则较大三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据相似三角形周长的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：设较大的三角形的周长是. 根据题意得：． 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是对于相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比的掌握． 【变式3-3】已知两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算． 【详解】设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为， ∴， 解得，经检验符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 【模块四】相似三角形的面积比等于相似比平方 利用这一性质解题时，可先通过相似三角形的判定确定相似关系，得出对应边的相似比，再将相似比平方后得到面积比，建立已知面积与待求面积的等量关系。遇到需结合面积求边长或相似比的问题时，需先对面积比开平方得到相似比，再结合对应边的比例关系求解目标量。需注意区分面积比与周长比的差异，避免直接将面积比等同于相似比导致错误；若题目中给出的是相似比的倍数形式，需先准确计算出相似比的平方后再应用。解题时可将面积比与对应边的比例关系相互印证，确保推导过程逻辑严谨，同时结合图形的面积分割关系，验证面积比与相似比的平方对应一致。 【典例4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元一次方程的应用，根据相似三角形的性质求出面积比，根据题意列出方程，解方程即可，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线之比是， ∴它们的面积比是， 设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是， ∴， 解得， ∴较大三角形的面积是， 故答案为：． 【变式4-1】已知∽，且，，则 ______ ． 【答案】16 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∽，， ：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为4，则四边形的面积为（　　） A．5 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先根据两边成比例夹角相等可证，再根据相似三角形的性质可得，进一步可得四边形的面积． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为9， ∴四边形的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【变式4-3】如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____． 【答案】9 【分析】根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：∵等边三角形沿边上的高线平移到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积记为，， ∴， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似． 【模块五】相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 利用相似三角形证明线段乘积等式时，可先将待证的乘积式转化为比例式，再通过寻找或构造包含四条对应线段的相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质推导得出结论。解题中需根据图形特征灵活选择判定方法，优先通过两角分别相等确定相似关系，若缺少直接相似的三角形，可通过作平行线构造辅助相似三角形，或利用等量线段替换、中间比过渡的方式，将比例式转化为可直接证明的形式。需注意，转化比例式时要保持线段的对应关系准确，避免因线段顺序颠倒导致比例式变形错误；若图形中存在公共角、对顶角或由平行线传递的等角，可优先作为相似判定的突破口。遇到多条线段交错的复杂图形时，可将比例式中的线段逐一对应到目标三角形中，确保相似三角形的选取与比例式的线段完全匹配，同时可结合图形中的公共边、等线段进行等量代换，简化证明过程。 【典例5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知， ， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-1】如图，点E在线段上，，，．求证． 【答案】见解析 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余和平角说明，再判断，最后利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：证明：，， ，． ， ． ， ． 又， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 【变式5-2】如图，已知平分，的垂直平分线交的延长线于点P．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接，根据中垂线的性质得到，证明，得到，即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∴． 又∵平分， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 即． ∵， ∴． 【点睛】本题考查中垂线的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似． 【变式5-3】如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据证明，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键． 【模块六】相似三角形的性质结合判定求线段长度 利用相似三角形求线段长度时，可先通过相似判定确定对应边的比例关系，再结合已知线段的长度，将待求线段纳入对应边的比例式中建立方程求解。遇到所求线段未直接对应到已知相似三角形的情况时，可通过等量线段替换、中间比过渡，将目标线段与已知线段的比例关系串联起来，优先利用公共边、等线段或平行线传递的比例关系简化推导过程。需注意找准对应边的匹配关系，避免因对应边混淆导致比例式列错；若图形中存在多组相似三角形，可先筛选出包含已知线段与待求线段的那一组相似关系，再进行计算。解题时可将求得的线段长度代入比例式反向验证，确保相似比与对应线段的比例一致，同时结合图形的整体长度关系，避免出现与图形几何特征矛盾的结果。 【典例6】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 【变式6-1】如图，边长为8的正方形中，内部有6个全等的正方形．小正方形的顶点E、F、G、H分别在边、、、上，则___________ 【答案】 【分析】过点G作，根据正方形的性质及直角三角形的两个锐角互余，易证，然后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：过点G作，交于点M 四边形是正方形 正方形中，内部有6个全等的正方形 ， ， 正方形的边长为8 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式6-2】如图，在中，D、E分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据同角的补角相等证明，再由即可证明； （2）先求出，再由相似三角形的性质得到，代值计算求出，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴．　 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式6-3】如图，内接正方形，于M，交于H，若长，正方形边长为，则的长为___________． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，则，再证明，得到，即，由此即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【模块七】相似三角形的性质结合判定求面积 求解相似三角形相关面积问题时，可先通过两角相等、两边成比例且夹角相等或三边成比例的判定定理确定三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比平方的性质，将已知图形面积与待求面积建立对应等量关系。若待求面积对应的图形并非直接相似的三角形，可先通过线段比例关系推导相似比，再利用面积比与相似比的关联进行计算；遇到需结合三角形的高、底边长比例求解面积的情况时，可先由相似关系推出对应高的比例，再结合面积公式进一步推导面积的数量关系。需注意，应用面积比性质时需先确认相似关系成立，避免将非相似三角形的面积比直接等同于相似比的平方；若图形中存在多组相似三角形，需先找准与已知面积、待求面积直接对应的相似组，防止误用其他相似组的比例关系。解题后可通过将计算得到的面积代入相似比反向验算，确保面积比与相似比的平方匹配，同时结合图形的面积和差关系，验证结果是否符合整体图形的面积逻辑。 【典例7】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 【变式7-1】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是的中点，若的面积为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及三角形中位线可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的性质及相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，在平行四边形中，E是的延长线上一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若的面积为9，则的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)36 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，，再由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为． 故答案为：36 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，在中，中线相交于点F，，交于点G．若的面积为2，则的面积为______． 【答案】18 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的面积为2， ∴的面积为18． 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【模块八】相似三角形的性质结合判定求坐标 求解平面直角坐标系中与相似三角形相关的坐标问题时，可先结合坐标系内的线段长度、点的位置特征，通过两角相等或两边成比例且夹角相等的判定定理确定三角形相似关系，再利用对应边成比例的性质，将已知点的坐标转化为线段长度，推导未知点的横、纵坐标。若待求点在已知直线或坐标轴上，可先将相似的比例关系转化为线段的数量等式，再结合坐标的平移、对称规律求解对应坐标。需注意，推导过程中要结合坐标系的象限位置，确认线段长度与坐标数值的正负对应关系，避免因忽略坐标符号导致坐标结果偏差；若图形存在多种相似对应情况，需分类讨论不同的顶点对应关系，防止漏解。 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C是线段的中点，轴于点D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点P作轴于点E，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得和的长，再判定，列出相关的比例式，求得的长，最后根据的长得到点的坐标． 【详解】解：延长交于点,当时, 由题意知, 是的中点, 是的中点, 易知四边形为矩形， 设,则, , , , 即 , 当直线与直线第一次垂直时，，即点的坐标为 故选：B 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似． 【变式8-1】．如图，矩形在平面直角坐标系中，已知，，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴，过点作轴，矩形交轴于点，由题意可，，设B点坐标为，则，证明，则，可解得，，从而可得点B的坐标． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，矩形交轴于点 ∵在矩形中， 设B点坐标为 则 ， 轴， ， ， 则，， B点坐标为 故答案为： 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想是解题关键． 【变式8-2】如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格中，是格点三角形（三角形的三个顶点是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点P的坐标是 _____． 【答案】（1，4）或（3，4） 【分析】运用相似三角形的判定及性质定理可知对应或，且相似比为，再根据图分别写出两个点P的坐标即可． 【详解】如图： 此时，对应或，且相似比为， ∴格点P的坐标是（1，4）或（3，4） 故答案为：（1，4）或（3，4） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____. 【答案】（0，6）（8，0）（，0 ） 【分析】根据题意可以分情况进行讨论：①,②,③,根据三种情况进而求出点P坐标. 【详解】解：根据题意可以分情况进行讨论： ① 此时：, 因为, 进而得出, ， ② 此时：, 因为, 进而得出, ， ③ 此时：, 因为, 进而得出, , 故答案为： ，，. 【点睛】本题考查的是相似的知识点，解题关键在于对不同情况的讨论. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】相似三角形的性质结合判定求最值 求解相似三角形关联的最值问题时，可先结合判定定理确定三角形的相似关系，得到对应边、对应高或对应线段的比例表达式，再将待求的线段长度、图形面积或周长等目标量，用含变量的相似比结合已知固定线段表示为函数形式，借助二次函数的顶点性质或一次函数的增减性推导最值。若最值来自图形的动态变化，可先将动态线段的比例关系转化为变量间的函数关系，再结合自变量的取值范围确定最值的对应位置。需注意，建立函数表达式时要保证相似比的对应关系准确，避免因比例系数错误导致函数模型偏差；求解过程中需结合自变量的实际取值范围判断最值是否可取得，不能直接套用顶点公式而忽略线段长度非负、动态点的运动边界等约束条件。解题后可验证最值点对应的相似关系是否成立，确保推导的比例关系与图形的几何逻辑一致，避免出现脱离相似本质的纯代数计算错误。 【典例9】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、， ∵ ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 【变式9-1】．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式9-2】（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，连接并延长，交的延长线于点，证明，得，当点在边上运动时，点随之在边上运动．当时，的值最小．在中，运用角所对的直角边等于斜边一半可得．当时，的值最小．证明，根据相似三角形的判定与性质可得． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． 在中，， ． ， ，即． ， ， ， 当点在边上运动时，点随之在边上运动． 当时，的值最小． 在中，， ． 当时，的值最小． 在中，， ． ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：，3． 【变式9-3】如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB． ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm， ∴C（-3，0），B（0，4）， ∵∠CDB=90°， ∴BC==5（cm）， ∵EH∥CD， ∴△BEH∽△BCD， ∴， ∴， ∴EH=0.3t，BH=0.4t， ∴E（-0.3t，4-0.4t）， ∵F（0，0.4t）， ∵QE=QF， ∴Q（-t，2）， ∴点Q在直线y=2上运动， ∵B，D关于直线y=2对称， ∴QD=QB， ∴QP+QD=QB+QP， ∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)， ∴QP+QD≥2， ∴QP+QD的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动． 【微专题二】 相似三角形的性质结合判定综合证明 证明相似三角形综合问题时，可先通过已知的平行、等角、比例线段等条件，结合两角分别相等、两边成比例且夹角相等或三边成比例的判定定理锁定相似三角形，再利用对应边成比例、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比的性质，串联已知条件与待证结论。若待证结论涉及线段乘积相等、角相等或平行关系，可通过相似性质将比例式转化为乘积式，或利用对应角相等推导角的等量关系，进而完成平行、等角的证明；遇到多三角形嵌套的复杂图形时，可先拆分图形，筛选出直接关联已知条件与待证结论的相似组，再通过中间比传递完成跨三角形的比例推导。需注意，证明前要明确相似三角形的对应顶点与对应元素，避免因对应关系错位导致比例式列错或角的等量关系推导错误；若图形中存在多组相似关系，需优先选择包含待证线段或角的相似组作为证明桥梁，避免绕远路或误用无关相似组的性质。 【典例10】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【分析】（）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴； （3）证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式10-1】背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案） （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】（1），；（2），；（3）260 【分析】（1）延长DG交BE于M，交AB于N，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根据三角形内角和定理得到BE⊥DG； （2）设与交于，与交于点，由比的性质求出、的值，由相似三角形的判定证得，由相似三角形的性质得出，，根据三角形和内角和定理得出，即； （3）连接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出结论． 【详解】（1）延长DG交BE于M，交AB于  N，如图2， ∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°， ∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG， 即 ∠DAG＝∠BAE， 在△DAG和△BAE中， ∴△DAG≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE， ∵∠AND＝∠BNM， ∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG， 故答案为：；； （2），，理由如下： 设与交于，与交于点，如图3， ∵，，， ∴，． ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）连接EG、BD，如图3 ∵，，， ∴，． ∵四边形和四边形为矩形， ∴ ∴，， 由（2）证得 ， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 【变式10-2】如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【变式10-3】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． (1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． (2)拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 【答案】(1)，45； (2)和β的大小无变化； (3)△BCE的面积为 或． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断． （2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题． （3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． （2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． （3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】图形相似背景下的动点问题 求解相似图形背景下的动点问题时，可先明确动点的运动轨迹与运动范围，在动点运动的不同阶段，结合角度关系、边长比例判定三角形的相似关系，再利用相似的对应边成比例性质，将动点对应的线段长度转化为含运动时间或路程的函数表达式，进而求解线段长度、图形面积或存在性问题。需注意，动点运动过程中若会引发图形位置、角的对应关系变化，需按运动的关键节点拆分阶段分类讨论，避免因套用单一相似关系导致结果偏差。解题时要同步关注动点的运动边界，确认自变量取值范围与相似关系成立的前提条件相匹配，防止忽略特殊位置的相似对应错配，解题后可代入特殊位置的动点坐标，验证相似比例关系是否符合图形几何特征。 【典例11】如图，中，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当以为顶点的三角形与相似时，的值为（　　） A．2 B．2.5或 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】求出cm，分两种情况：①当时，，得出cm，即可得出s；②当时，证出，得出，因此cm,得出；即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴cm， 分两种情况： ①当时， ， ∵D为的中点， ∴cm，E为的中点，cm, ∴s； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴cm, ∴cm, ∴s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 【变式11-1】在中，，点Q是边上一个动点，当________时，与相似． 【答案】2或8/8或2 【分析】直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：, 当时, 则 故 解得： 当时, 则 故 解得： 综上所述：当或8时，与相似 故答案为：2或8 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键． 【变式11-2】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝_____s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】s或 【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△BPQ∽△BAC或当时，△BPQ∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可． 【详解】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t， ∵∠PBC＝∠ABC， ∴当时，△BPQ∽△BAC， 即，解得t＝， 当时，△BPQ∽△BCA， 即，解得t＝， 即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 故答案为∶s或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的应用． 【变式11-3】如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接． （1）当动点运动______秒时，与相似； （2）当动点运动______秒时，． 【答案】 或 【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可； （2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，则， 在中，由勾股定理得， 当时， ∴，即， 解得； 当时， ∴，即， 解得； 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或； （2）如图所示，过点E作于F，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【压轴二】 图形相似背景下的规律探索 求解相似图形背景下的规律探索类问题时，可先从题目给出的前几组具体图形、数值入手，通过计算对应线段的长度、面积或角度，分析后一组与前一组图形的相似关系，结合相似比的递推变化，总结出通用的通项规律。推导过程中可借助相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比平方的性质，将每组的数值转化为含相似比的表达式，再通过归纳递推关系得到最终规律。需注意，归纳规律时要明确相似比的起始基数与递推次数的对应关系，避免因混淆组次序号与相似比的幂次导致通项公式推导错误；若题目涉及图形的多次缩放、旋转或翻折，需确认每次变换后相似关系的保持性，避免将非相似变换的比例关系纳入规律推导。解题后可代入前几组已知数值验证通项公式，确保推导的规律既符合已知图形的相似特征，也与各组的计算数值匹配，避免出现规律适用范围的偏差。 【典例12】如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长． 【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2， 点纵坐标为1． 分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条； , 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 ， 不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得： ， ， 按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为， 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧． 【变式12-1】.如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3．在Rt△ABC内并排放入（不重叠）n个小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D、E分别在AC、BC上，求小正方形的边长（用n的代数式表示）． 【答案】x= 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，易证△DEC∽△ABC，CH:CF=DE:AB，即（-x）：=nx：5 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H 易得CF= ∵DE∥AB ∴△DEC∽△ABC 又∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB ∴（-x）：=nx：5 解得x= 【变式12-2】如图，点A（0，1），点B（- ，0），作OA1⊥AB，垂足为A，以OA1为边做Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，使∠B1=30；作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2,使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△AnOBn．则当n=2018时，点B2018纵坐标为 ________ ． 【答案】 【分析】利用已知求出∠ABO=30°，由OA1⊥AB，可得A1O=OB=，∠AOA1=30°，可知每次逆时针旋转30°，点所在的射线12次一循环；由于每次旋转后，原三角形的高变为新的直角边，可得到三角形依次减小，且相似比为；由于2018÷12=168……2，当n=2018时，点A2018与A2的纵坐标在同一直线上，可求OA2018的长，即得点B2018的纵坐标． 【详解】解：在Rt△AOB中，OA=1，OB=， ∴∠ABO=30°， ∵OA₁⊥AB， ∴A1O=OB=，∠AOA1=30°， ∴可知每次逆时针旋转30°，点所在的射线12次一循环， ∵每次旋转后，原三角形的高变新的直角边， ∴三角形依次减小，且相似比为， ∵2018÷12=168……2， ∴当n=2018时，点A2018与A2的纵坐标在同一直线上，OA2018=， ∴点B2018的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标、含30°的直角三角形的性质、相似三角形规律的发现，根据相似比求OA2018的长是解题的关键． 【变式12-3】如图，在中，．点，，分别在上，且四边形是正方形，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，…，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是______． 【答案】 【分析】先证明，可得，从而得到，同理，，……，根据规律解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理， ， …… 由此发现，． 故答案为： 【点睛】此题属规律性题目，考查了性质及正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是找出规律，根据此规律求解． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.已知，且．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积比等于边长之比的平方的性质，即可解答． 【详解】解：，且， ， 的面积为8， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于边长之比的平方是解题的关键． 2．已知两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算． 【详解】设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为， ∴， 解得，经检验符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 3.如图，在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】由公共角，已知，可证，利用相似比求． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由已知角，公共角的相等关系证明三角形相似，利用相似比列方程求解． 4.如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】已知∠A是公共角，只需再满足或时，与相似，分别列比例式计算即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； 综上分析可知，等于或10，故C正确． 故选∶C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，分两种情况正确的作出图形，找准对应边是解题的关键． 5.如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以可求出前几个三角形的周长，进而找出其内在规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1（2+k）． 【详解】∵AB=AC=1， ∴△ABC的周长为2+k； △BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）； △CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）； 依此类推，第2020个黄金三角形的周长为； 故答案为：C． 【点睛】此题属于规律性问题，结合黄金三角形考查相似三角形的性质问题，找出各个三角形周长之间的关系是解题的关键． 二 填空题 6.已知∽，且，，则 ______ ． 【答案】16 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∽，， ：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7.如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ． 【答案】或 【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：沿折叠和重合， ， 设，则， 当时，， ，， ∴， 解得：， 则， 当时，，即， 解得：， 则， 故或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程． 8.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5/5或2 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 9.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 _____． 【答案】或或． 【分析】先求出点A和点B的坐标，根据勾股定理求出的长，得到，然后分三种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：直线，当时，； 当时，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， 如图1， 点P在上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2， 点P在上，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， 点P在上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标是或或． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点P的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案． 10.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】在直线上取点F，使，连接，可得为等边三角形，设，则，证明，可得，即，可得，从而得到当最小时，最小，且当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点F，使，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， 由旋转的性质得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，且当时，取得最小值， 如图， 此时， ∴， 即的最小值为． 三解答题 11.如图，已知，，． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据的值代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ （2）∵， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 12如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 13.已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标． 【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）． 【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论． 【详解】解：点的坐标为， ，，，． 如图，当时， ，即， ，， ； 当时， ，即，解得， ， ； 当时， ，即，解得， ； 综上所述，点坐标为：或或． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14.如图，在矩形中，于，，． (1)证明； (2)求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形相似的条件，两个角对应相等，两个三角形相似，即可求解； （2）由（1）可知，，，根据相似三角形对应边成比例，直角三角形的勾股定理由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵于， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形，于，，， ∴，， 由（1）可知，，则， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形，直角三角形的综合，掌握矩形的性质，直角三角形的勾股定理，余弦的计算方法是解题的关键． 15某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究： (1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：． (2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． (3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，最小值为4 (3) 【分析】（1）根据“边角边”可证明，即可求解； （2）根据对应边成比例，两边的夹角相等可证，从而证明，根据点到直线的垂线段最短，构造直角三角形，根据含有特殊角的直角三角形的性质即可求解； （3）如图所示，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，可证，设，则，根据勾股定理的长度，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：存在最小值，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为， ∵， ∴ ，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴存在最小值，最小值为． （3）解：如图所示，连接，过作于， ∵为正方形的中心， ∴，即是等腰直角三角形， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：，解得：或（舍）， ∴，在中，， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查图像运动的规律，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $